1. Verzamelingen en functies
1.1 Verzamelingen
Verzameling = het geheel v/e aantal objecten, een zak met elementen.
Elk object uit een verz = element v/d verz.
een verz kan een eindig of een oneindig aantal elementen bevatten.
lege verz = ∅
Er zijn 2 mogelijke notaties:
- Als een beschrijving: 𝐴 = {𝑥 ∈ ℤ |𝑥 𝑖𝑠 … }
- Als een opsomming: 𝐴 = {𝑒𝑙1, 𝑒𝑙2, 𝑒𝑙2, … }
2 verz zijn gelijk als ze exact dezelfde elementen bevatten.
- 𝑥 behoort tot A: 𝑥 ∈ 𝐴
- 𝑥 behoort niet tot A: 𝑥 ∉ 𝐴
Deelverzameling = een verz B is een deelverzameling v/e verz A indien elk el van B ook tot A behoort.
=𝐵 ⊆𝐴
Strikte deelverz = als we zeker zijn dat er een el bestaat dat tot A behoort maar niet tot B.
=𝐵 ⊂𝐴
Bewerkingen voor 2 gegeven verz A en B:
- Doorsnede: 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 𝑒𝑛 𝑥 ∈ 𝐵} (alles wat in A en B zit)
- Unie: 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 𝑜𝑓 𝑥 ∈ 𝐵} (alles in B, alles in A en alles in de doorsnede)
- Verschil: 𝐴 ∖ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 𝑒𝑛 𝑥 ∉ 𝐵} (alles in A, maar niet in B)
- Productverzameling: 𝐴 × 𝐵 = {(𝑥, 𝑦)|𝑥 ∈ 𝐴 𝑒𝑛 𝑦 ∈ 𝐵} (koppels met 1e el uit A en 2e uit B)
1.2 Relaties
!Relatie = een relatie v/e verz A naar een verz B is een deelverz P v/d productverzameling 𝐴 × 𝐵, het
verband tussen A en B.
Men kan een relatie aanschouwelijk maken d.m.v. een grafische voorstelling aan de hand van pijlen.
Notaties: (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 of 𝑥 𝑅 𝑦 (x staat in relatie met y)
Definitieverzameling of domein van R = de deelverz van A met als elementen alle 𝑥 ∈ 𝐴 waarvoor er
een 𝑦 ∈ 𝐵 bestaat waarvoor 𝑥 𝑅 𝑦.
Beeld of bereik van R = de deelverz van B die alle elementen y bevat waarvoor er een 𝑥 ∈ 𝐴 bestaat
met 𝑥 𝑅 𝑦.
Eigenschappen bij een verz die in relatie staat met zichzelf 𝑅 ⊆ 𝐴 × 𝐴:
- Reflexief: indien voor alle 𝑥 ∈ 𝐴 geldt dat 𝑥 𝑅 𝑥, (𝑥, 𝑥) ∈ 𝑅, of een pijl naar zichzelf.
- Symmetrisch: indien voor elke 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 waarvoor 𝑥 𝑅 𝑦, ook 𝑦 𝑅 𝑥, een pijl in beide richtingen.
- Transitief: indien voor elke 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐴 waarvoor zowel 𝑥 𝑅 𝑦 als 𝑦 𝑅 𝑧, ook 𝑥 𝑅 𝑧, een pijl van x
naar y en een pijl van y naar z, betekent ook een pijl van x naar z.
- Antisymmetrisch: indien voor elke 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 met 𝑥 ≠ 𝑦 waarvoor 𝑥 𝑅 𝑦, dan is (𝑦, 𝑥) ∉ 𝑅, als x in
relatie staat met y, staat y niet in relatie met x, er komt nooit een pijl terug.
- Equivalentierelatie: indien de relatie reflexief, symmetrisch en transitief is.
- Orderelatie: indien de relatie reflexief, antisymmetrisch en transitief is.
- Totaal geordend: een orderelatie met de eigenschap dat elke 2 el (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 ofwel 𝑥 𝑅 𝑦, ofwel
𝑦 𝑅 𝑥. Elke el staat i/e relatie met elk ander el uit de verz.
Equivalentieklasse van x = een deelverz van alle el die in relatie staan met x.
,Beschouw een verz A, waarvoor we een orderelatie 𝑅 ⊆ 𝐴 × 𝐴 kennen. Veronderstel dat B een
deelverz is van A:
- Maximaal element b = 𝑥 𝑅 𝑏, voor alle 𝑥 ∈ 𝐵. Een pijl komt van alle andere.
- Minimaal element b = 𝑏 𝑅 𝑥, voor alle 𝑥 ∈ 𝐵. Een pijl naar alle andere.
- Bovengrens van B is a = 𝑎 ∈ 𝐴 en 𝑥 𝑅 𝑎 voor alle 𝑥 ∈ 𝐵. Een pijl uit alle elementen naar a.
- Ondergrens van B is a = 𝑎 ∈ 𝐴 en 𝑎 𝑅 𝑥 voor alle 𝑥 ∈ 𝐵. Er komt een pijl uit naar alle elementen.
Beschouw nu de deelverz C van A die bestaat uit alle bovengrenzen van B. Analoog beschouw de
deelverz D van A die bestaat uit alle ondergrenzen van B:
- Supremum s van B = s is minimum element van C. Het minimum el v/d bovenste deelverz. De
kleinste bovengrens.
- Infimum i van B = maximum element van D of v/d onderste deelverz. De grootste ondergrens.
Hasse-diagram = een pijlenvoorstelling, rekening houdend met de reflexiviteit en de transiviteit.
1.3 Functies
!Functie = een relatie 𝑅 ⊆ 𝐴 × 𝐵 is een functie indien voor elke 𝑥 ∈ 𝐴 er ten hoogste één el 𝑦 ∈ 𝐵
bestaat waarvoor 𝑥 𝑅 𝑦.
Notatie: 𝑓: 𝐴 → 𝐵, 𝑦 = 𝑓(𝑥) of 𝑥 ↦ 𝑦 = 𝑓(𝑥)
x is hier de onafhankelijke variabele of het argument v/d functie.
y is hier de afhankelijke variabele of de functiewaarde of het beeld van x onder f.
!Samenstelling = de samenstelling van 2 functies 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 en 𝑔 ∶ 𝐵 ⟶ 𝐶 is de functie “g na f”,
gegeven door 𝑔 ∘ 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐶 ∶ 𝑥 ↦ 𝑔(𝑓(𝑥)).
!Afbeelding = een functie 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 is een afbeelding indien er voor elke 𝑥 ∈ 𝐴 juist één el y uit B
bestaat waarvoor 𝑦 = 𝑓(𝑥). Elk el heeft een beeld.
Elke functie is een afbeelding als we haar beperken tot haar domein.
Een afbeelding 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 is
- Een !injectie = indien voor alle verschillende x1 en x2 uit A geldt dat ook f(x1) verschilt van f(x2), bij
elk beeld komt ten hoogste één pijl aan.
- Een !surjectie = indien er voor elk el y uit B een corresponderend el x uit A bestaat waarvoor
f(x)=y, in elk beeld komt een pijl aan.
- Een !bijectie = als f zowel injectief als surjectief is, in elk beeld komt net 1 pijl aan.
!Stelling: een afbeelding 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 is bijectief als en slechts als er een afbeelding 𝑔 ∶ 𝐵 → 𝐴 bestaat
die voldoet aan (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑥, ∀𝑥 ∈ 𝐴 en (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑦) = 𝑦, ∀𝑦 ∈ 𝐵.
Bewijs 1.1.
Onder de voorwaarden v/h bewijs noemt men g daarom de inverse afbeelding van f, en men noteert
𝑔 = 𝑓 −1.
,2. Groepen en velden
2.1 Getallenverzamelingen
Verzamelingen van getallen:
- ℕ = Natuurlijke getallen = alle positieve getallen.
- ℤ = Gehele getallen = alle ronde getallen, zowel positief als negatief.
- ℚ = Rationale getallen = elk getal dat als breuk geschreven kan worden, alle kommagetallen met
een eindig aantal cijfers na de komma. Voor deze getallen bestaat er een onvereenvoudigbare
vorm.
- ℝ = Reële getallen = de irrartionale getallen, p11.
Interval = de verz van alle getallen tussen 2 waarden.
Het optellen en het vermenigvuldigen kunnen ook als functies gezien worden.
Groepsstructuur = zowel de optelling als de vermenigvuldiging voorzien de verz ℝ van een
groepsstructuur.
2.2 Groepen en velden
!Groep = een verz V met een afbeelding ∗∶ 𝑉 × 𝑉 → 𝑉 wordt een groep 𝑉,∗ genoemd indien er aan
de volgende voorwaarden voldaan is:
1) ∗ is inwendig: ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉 is 𝑥 ∗ 𝑦 ∈ 𝑉.
2) ∗ is associatief: ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑉 is (𝑥 ∗ 𝑦) ∗ 𝑧 = 𝑥 ∗ (𝑦 ∗ 𝑧).
We mogen voor beide leden dus gewoon 𝑥 ∗ 𝑦 ∗ 𝑧 schrijven.
3) Er bestaat een neutraal el = 𝑛 ∈ 𝑉, dat voldoet aan 𝑥 ∗ 𝑛 = 𝑥 = 𝑛 ∗ 𝑥 voor alle 𝑥 ∈ 𝑉.
4) Elk el 𝑥 ∈ 𝑉 heeft een symmetrisch el = 𝑥̅ ∈ 𝑉, dat voldoet aan 𝑥 ∗ 𝑥̅ = 𝑛 = 𝑥̅ ∗ 𝑥.
De vermenigvuldiging is geen groep, enkel zonder 0.
Commutatieve groep = een groep die ook commutatief (∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉 ∶ 𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑦 ∗ 𝑥) is.
Veldstructuur = zowel de optelling als de vermenigvuldiging geven aanleiding tot een
groepsstructuur, de abstracte interpretatie van dit gegeven noemt men een veldstructuur.
!Veld = een verz is een veld 𝑉,∗,∘ als:
1) 𝑉,∗ is een commutatieve groep (met neutraal el n).
2) 𝑉 ∖ {𝑛},∘ is een commutatieve groep (met n het neutrale element v/d bewerking ∗).
3) ∘ is distributief t.o.v. ∗: Voor elke 𝑣, 𝑤, 𝑢 ∈ 𝑉 geldt er 𝑣 ∘ (𝑤 ∗ 𝑢) = (𝑣 ∘ 𝑤) ∗ (𝑣 ∘ 𝑢).
2.3 Complexe getallen
2.3.1 Constructie
Beschouw koppel (a,b) uit de productverz ℝ2 = ℝ × ℝ:
- De verz kan voorzien w v/d bewerking + : (𝑎1 , 𝑏1 ) + (𝑎2 , 𝑏2 ) = (𝑎1 + 𝑎2 , 𝑏1 + 𝑏2 ).
- De verz kan voorzien w v/d scalaire vermenigvuldiging: 𝜆(𝑎, 𝑏) = (𝜆𝑎, 𝜆𝑏).
- Om een veldstructuur op ℝ2 te definiëren kan de verz voorzien w v/d bewerking ℝ2 × ℝ2 → ℝ2 :
((𝑎1 , 𝑏1 ), (𝑎2 , 𝑏2 )) ⟼ (𝑎1 , 𝑏1 ) ⋅ (𝑎2 , 𝑏2 ) = (𝑎1 𝑎2 − 𝑏1 𝑏2 , 𝑎1 𝑏2 + 𝑎2 𝑏1 ).
➔ De bewerking voldoet aan alle eigenschappen:
• Neutraal el is (1,0).
• Symmetrisch el is (zie p15)
• Er w voldaan aan de distributiviteitswet (p16).
, ➔ De verz met de 2 bewerkingen is dus een veld.
➔ Dit veld is het complexe vlak ℂ met el genaamd complexe getallen.
➔ De verz van reële getallen is een deelverz van het complexe vlak.
Notatie:
- Reële getallen zijn een deelverz: {(𝑎, 0) |𝑎 ∈ ℝ}
- (0,1) = i
- (a,b) = a+bi
- i.i = -1 → 𝑖 2 = −1
- (0,b) = bi
a+bi = imaginair
{𝑏𝑖 = (0, 𝑏)|𝑏 ∈ ℝ} = de verz v/d zuiver imaginaire getallen → bi = zuiver imaginair
→ a is het reële deel en bi is het imaginaire deel v/h complex getal.
Gebruikelijke rekenregels w ook gebruikt voor complexe getallen:
- (𝑎1 + 𝑏1 𝑖) + (𝑎2 + 𝑏2 𝑖) = (𝑎1 + 𝑎2 ) + (𝑏1 + 𝑏2 )𝑖
- (𝑎1 + 𝑏1 𝑖) ⋅ (𝑎2 + 𝑏2 𝑖) = (𝑎1 𝑎2 − 𝑏1 𝑏2 ) + (𝑎1 𝑏2 + 𝑎2 𝑏1 )𝑖
1
Invers getal v/e complex getal = (𝑎 + 𝑏𝑖)−1 = 𝑎2 +𝑏2 (𝑎 − 𝑏𝑖)
➔ Het !toegevoegd complex getal van a+bi = ̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑎 − 𝑏𝑖.
= het koppel dat symmetrisch ligt t.o.v. de X-as.
!!Wanneer we een complex getal met haar complex toegevoegde vermenigvuldigen is het resultaat
steeds een positief reëel getal: (𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑎 − 𝑏𝑖) = 𝑎2 + 𝑏 2 ≥ 0.
2.3.2 Polaire vorm
De getallen (𝑎, 𝑏) ∈ ℝ2 v/e punt i/h vlak w de cartesische coördinaten v/h punt genoemd.
Een andere voorstelling hiervoor zijn de poolcoördinaten (𝑟, 𝜑) v/h punt.
𝑎 = 𝑟 cos(𝜑)
→ Worden bepaald door {
𝑏 = 𝑟 sin(𝜑)
met 𝑟 ≥ 0 = de modulus en 0 ≤ 𝜑 < 2 = de poolhoek of het argument
→ 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑟(cos( 𝜑) + sin(𝜑) 𝑖) = de goniometrische / polaire vorm
𝑟 = √𝑎2 + 𝑏 2
Handige uitdrukking:{ 𝑏
tan(𝜑) = 𝑎
Deze uitkomst zal 2 hoeken geven: zoek het kwadrant waarin de hoek ligt i/d goniometrische cirkel.
Meetkundige interpretatie v/d vermenigvuldiging:
𝑧1 𝑧2 = (𝑟1 (cos(𝜃1 ) + sin(𝜃1 ) 𝑖))(𝑟2 (cos(𝜃2 ) + 𝑠𝑖𝑛(𝜃2 )𝑖)) = 𝑟1 𝑟2 (cos(𝜃1 + 𝜃2 ) + sin (𝜃1 + 𝜃2 )𝑖)
!Formule van De Moivre =
Voor elke 𝑛 ∈ ℤ geldt: 〈𝑟(cos(𝜑) + sin (𝜑)𝑖)〉𝑛 = 𝑟 𝑛 (cos(𝑛𝜑) + sin(𝑛𝜑) 𝑖)
Bewijs 2.1.
2.4 ℝ𝑛 als verzameling van vectoren
Met ℝ𝑛 bedoelen we de verz van koppels {(𝑥1 , 𝑥2,⋯ , 𝑥𝑛 )|𝑥𝑖 ∈ ℝ, 𝑖 = 1, … , 𝑛}.
De elementen worden vaak vectoren genoemd en genoteerd als 𝑥⃗, 𝑦⃗, 𝑒𝑡𝑐 en ze zullen geïdentificeerd
worden met kolommatrices.
ℝ𝑛 , +is een groep, maar ℝ𝑛 × ℝ𝑛 → ℝ𝑛 is geen veld: er ontbreekt een 2e inwendige bewerking.
Een veel gebruikte grafische voorstelling is die waarbij de vectoren getekend w met pijlen.(p 22-24)
