samenvatting fysica miv wiskunde: 2e orde differentiaal

Fysica miv wiskunde: wiskunde – 2E ORDE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN

2
d y dy
Algemene vorm: a +b + cy=f ( x)
dx 2
dx
vb: y’’+2y’ – y = x2

homogeen: gelijk aan 0 inhomogeen: niet gelijk aan nul, maar aan een functie

homogene, 2e orde, lineaire DV
y = e λx invullen in DV  (a λ 2 + b λ + c)e λx = 0
aan homogene functie voldaan als a λ 2 + b λ + c = 0 => karakteristieke vergelijking
oplossingen worden bepaald door discriminant

discriminant > 0
integraal wordt dan: y(x) = Ae λ x + Be λ x
1 2




discriminant = 0
integraal wordt dan: y(x) = (A+Bx)e λx

discriminant < 0
integraal wordt dan: y(x) = epx(C1cosqx + C2sinqx)
λ = p+qi en p-qi i2 = -1 p = -b/2a q = √−D/2a

Particuliere integraal : integraal die voldoet aan bestaansvoorwaarden (BVW)

Inhomogene 2e orde DV
d2 y dy
Algemene vorm: a 2
+b + cy=f ( x)
dx dx

Algemene integraal: y(x) = y0(x) + y*(x)
- y0(x) = algemen integraal van overeenkomstige homogene DV ay’’+by’+cy = 0
- y*(x) = willekeurige particuliere integraal van inhomogene DV

α is geen wortel van karakteristieke vergelijking: y*(x) = Qn(x)e αx
α is enkelvoudige wortel van karakteristieke vergelijking: y*(x) = xQn(x)e αx
α is dubbele wortel van karakteristieke vergelijking: y*(x) = x2Qn(x)e αx

Particuliere oplossing als f(x) = Qn(x)e αx

Vb: y’’ + 4y’ + 3y = x  Q(x) = x en α = 0
Karakteristieke vergelijking: λ 2 + 4 λ + 3 = 0 waaruit λ = -1 en λ = -3
-x -3x
Algemene integraal: y0(x) = Ae + Be
Particuliere integraal: y*(x) = A0 + A1x (gelijk aan graad Q(x))
Invullen in vergelijking opgave: 0 + 4A1 + 3(A0 + A1x) = x

4A1 + 3A0 = 0 A0 = -4/9 y*(x) = -4/9 + x/3
3A1 = 1 A1 = 1/3


2e orde differentiaalvergelijkingen - 1