Alles komt relatief uitgebreid aan bod. Uitleg over Cauchy is vrij gedetailleerd ook de convergentiewijzen worden duidelijk geïllustreerd door middel van een tekening.
Lijnintegraal van een complexe functie
5.2.2 Basisdefinitie en basiseigenschappen
f ( z )=w
w is een complex getal van de vorm: w=u+i ∙ v
z is een complex getal van de vorm: z=x +i∙ y
∫ f ( z ) dz=¿∫ f ( z ) dx +if ( z ) dy=∫ udx +i∫ vdx +i∫ udy−∫ vdy ¿
c c c c c c
C={z=γ ( t )=α ( t ) +iβ ( t ) ,t ∈ [ a , b ] }
(eerste stap lijkt wat raar als je erover nadenkt maar dit is gewoon de opsplitsing van z in x+iy)
Eigenlijk heeft het imaginaire lijnintegraal veel weg van 2D: stel z = [x,y] en w = [u,v] dan kunnen we
bovenstaande integraal ook als volgt noteren
∫ f ( z ) dz=∫ [ f ( z ) , if ( z ) ] ∙ d ⃗P
c c
Met d ⃗P de afgeleide van de parameterVGL d ⃗
P=[∂x ( ¿ ∂ C1 ) , ∂ y (¿ ∂ C 2)] omdat zowel in C1 als in C2
de parameter t voorkomt zullen we deze dan door middel van de kettingregel verder moeten
afleiden en deze wordt dan meestal afgezonderd en achterop gezwierd
Dit is momenteel de enige manier die ons in de mogelijkheid stelt om de integraal uit te rekenen
aangezien we geen andere manieren kennen om een complexe lijnintegraal op te lossen.
Een eenvoudigere manier om dit dan uit te rekenen vinden we als volgt:
z=γ (t ) en dz=γ ' (t) dt
∫ f ( z ) dz=∫ f (γ ( t )) ∙ γ ' ( t ) ∙ dt
c c
Volgende eigenschappen gelden bij complexe lijnintegralen:
∫ f ( z ) dz=∫ f ( z ) d z
c c
∫ f ( z ) dz=−∫ f ( z ) dz
−c c
|∫ f ( z ) dz|=≤∫|f ( z )|dz ≤ L❑ ∨f (z )∨¿ ¿
c
c c
met Lc = ∫ ds de lengt van de gladde kromme C
c
5.2.3 De complexe stelling van Green
Zoals voorheen reeds vermeld kunnen we het volgende stellen: f ( z )=u ( x , y )+ iv(x , y )
De stelling van green(vorige thema) zegt het volgende:
, ∫ ¿
∂ ⃗
+¿
G
dP=¿∫ (∂ x f 2−∂ y f 1 )dA ¿¿
F ∘⃗
G
Dit kunnen we ook perfect toepassen op complexe lijnintegralen. Want een lijnintegraal van een
complex functie zouden we kunnen zien als een vectorveld van 2 dimensies F = [u,v]
∫ ¿
c +¿ f ( z ) dz=¿2 i∫ ( ∂ f ) dA ¿¿
K
5.2.4 De formule van Pompeiu
1
f ( z0 ) =
2 πi
∫ ¿
f (z) 1 ∂ f (z )
dz− ∬
+¿
c ¿
z −z0 π K z−z0
Dit zorgt voor iets interessants namelijk dat wanneer de functie holomorf is dus ∂( f )=0 dan valt de
laatste term weg. Dat is de reden dat we in het volgende thema dieper ingaan op holomorfe functies
Holomorfe functies
6.1 Holomorfie
Een functie is holomorf als en slecht als aan volgende voorwaarden is voldaan:
De functie is continu differentieerbaar in een gebied omega
De Cauchy-Riemann operator van de functie is steeds gelijk aan 0: ∂ f =0∈Ω
We noemen een functie geheel holomorf als Ω=C
De verzameling van de holomorfe functie is een vectorveld hieruit volgen enkele eigenschappen:
Stelling 6.1.2
z=x +iy
f =u ( x , y ) +i ∙ v (x , y )
Stel dan ⃗
F:
⃗
F =[u ( x , y ) ,−v ( x , y ) ]
Dan vinden we volgend verband:
∂ f =0 ⇔ f is holomorf ∈Ω⇔ ⃗
F iseen vectorveld dat voldoet aan het rieszstelsel
∂ f =0 ⇒
{ ∂ x u=∂ y v
∂ x v=−∂ y u
dit heten we het Cauchy-Riemann stelsel en dit kan ook worden gevonden door de voorwaarden van
F met ⃗
rotatievrij en divergentevrij op te stellen voor ⃗ F =[u( x , y),−v ( x , y)]
6.2 Complexe afgeleide
Een complexe functie is analytisch als en slecht als ze in heel haar bestaansgebied een afgeleide heeft
Een functie is pas analytisch als in Ω als en slechts als ze holomorf is in Ω en omgekeerd geld dus
ook.
Les avantages d'acheter des résumés chez Stuvia:
Qualité garantie par les avis des clients
Les clients de Stuvia ont évalués plus de 700 000 résumés. C'est comme ça que vous savez que vous achetez les meilleurs documents.
L’achat facile et rapide
Vous pouvez payer rapidement avec iDeal, carte de crédit ou Stuvia-crédit pour les résumés. Il n'y a pas d'adhésion nécessaire.
Focus sur l’essentiel
Vos camarades écrivent eux-mêmes les notes d’étude, c’est pourquoi les documents sont toujours fiables et à jour. Cela garantit que vous arrivez rapidement au coeur du matériel.
Foire aux questions
Qu'est-ce que j'obtiens en achetant ce document ?
Vous obtenez un PDF, disponible immédiatement après votre achat. Le document acheté est accessible à tout moment, n'importe où et indéfiniment via votre profil.
Garantie de remboursement : comment ça marche ?
Notre garantie de satisfaction garantit que vous trouverez toujours un document d'étude qui vous convient. Vous remplissez un formulaire et notre équipe du service client s'occupe du reste.
Auprès de qui est-ce que j'achète ce résumé ?
Stuvia est une place de marché. Alors, vous n'achetez donc pas ce document chez nous, mais auprès du vendeur Pietverstraete. Stuvia facilite les paiements au vendeur.
Est-ce que j'aurai un abonnement?
Non, vous n'achetez ce résumé que pour €5,49. Vous n'êtes lié à rien après votre achat.
