HOOFDSTUK 1: Getting Started
In dit hoofdstuk worden enkele basisdefinities vermeld met als belangrijkste onderstaande:
1.1.2.0.6 Compendium
Een compendium is een document (bv. deze cursus) die voorzien is van hyperlinks, die verwijzen
naar een databank van al die gearchiveerde berekeningen, die u toelaten om met 1 of twee kliks
die berekeningen te reproduceren en dus te hergebruiken.
1.4.1 Werking R Framework
Als je in RFC inlogt en een berekening uitvoert, dan wordt die niet uitgevoerd op je computer, maar
wordt de instructie opgestuurd via het internet naar een server. Op die server wordt een R-script
uitgevoerd. Dat resultaat wordt omgezet in html en wordt dan teruggestuurd naar uw browser.
Maar van bijna alle modules die wij gaan bekijken krijgen wij ook de R-code zelf, zodat we het in R-
studio zelf kunnen invoeren, uitvoeren, aanpassen, ermee experimenteren, om hetzelfde resultaat
te bekomen als op de online versie.
1.4.2 Univariaat
Je hebt 1 datareeks (1 kolom, 1 dataset).
1.4.3 Bivariaat
Je hebt 2 datareeksen die je met elkaar gaat vergelijken (2 kolommen, 2 datasets).
1.4.4 Trivariaat
Je hebt 3 datareeksen die je met elkaar vergelijken (3 kolommen, 3 datasets).
1.4.5 Multivariaat
Je hebt meer dan 3 datareeksen (1 dataset met daarin verschillende kolommen).
1.4.7 Reproduceren
Heel belangrijke functie! Je kan elke berekening die je maakt reproduceren. Dus zowel de
berekeningen die docent ons geeft vanuit het handboek, maar ook uw eigen berekeningen.
Voorbeeld: Op examen maak je een berekening, en daarna een andere berekening, maar je denkt
“ahnee, ik moet eigenlijk nog een stap teruggaan. Ik moet die vorige berekening terug hebben en
daar nog iets aan aanpassen”. Dit kan allemaal, aangezien al je berekeningen worden bijgehouden
en dus gearchiveerd. Docent kan ook al je berekeningen zien die je gemaakt hebt.
1.5 Collaborative Compendium Writing
We gaan geen echte paper moeten schrijven. Maar wel eentje als voorbereiding op het examen
(die je niet moet indienen). Daarin moet je alles berekenen zodat je op het examen geen 5 uur
voorbereiding meer nodig hebt.
1
,1.7 Instant Messaging
Onder “Home / Instant Messages” heb je een venster om een boodschap door te sturen
bijvoorbeeld naar elkaar. Dit is volledig privé. Een bericht naar de docent is een bericht naar de
system administrator of hood.
2
,HOOFDSTUK 2: Introduction to Probability
Nederlands: Introductie tot waarschijnlijkheden.
Op het einde van de meeste hoofdstukken staan ‘Problems’. Dit zijn oefeningen die je kan
oplossen en de oplossingen staan ook achteraan in het boek. Doe dit zeker!
2.1 Definities van waarschijnlijkheden
Er zijn heel veel verschillende soorten van definities. Wij bekijken een heel eenvoudige definitie,
namelijk die van Harold Jeffreys:
“Waarschijnlijkheid is de mate waarin we vertrouwen hebben in een bepaalde uitspraak”
Hiervoor moet je wel enkele assumpties aannemen. Jeffrey zegt: laten we een afspraak maken dat
een waarschijnlijkheid altijd gelegen is tussen 0 en 1.
De probability/kans (P) van een Event1 (bv. het regent, de zon schijnt, ik ga winnen met de lotto, …)
is altijd een getal tussen 0 en 1. Nul wil zeggen dat er geen kans is dat het zich voordoet. Eén wil
zeggen dat het absoluut zeker is dat de kans zich voordoet.
0 ≤ P (Event1) ≤ 1
Wat is dan de probability van notEvent1? Stel dat Event1 = het regent. Dan is notEvent1 = het
regent niet. Dan is de waarschijnlijkheid dat het niet regent = 1 – P(Event1)
P(notEvent1) = 1 – P(Event1)
Jeffreys heeft een heel aantal eigenschappen opgesteld waarvan wij er hier kort enkele bespreken.
In de cursus staan deze allemaal.
2.1.0.0.2 Doorsnede
A ∩ B (A doorsnede B) betekent eigenlijk: A EN B (vermenigvuldigen)
Dus de kans dat A en B zich tegelijk voordoen schrijven we meestal met een doorsnede.
2.1.0.0.3 Unie
A U B (A unie B) betekent eigenlijk: A OF B (optellen)
Dus de kans dat A of B zich voordoet, of de twee tegelijk, dan spreken we van een unie.
2.1.0.0.6 Exclusiveness
3
,De waarschijnlijkheid van ‘OF’en’ is gewoon de som van de waarschijnlijkheden. Dus de
waarschijnlijkheid dat Event1 zich voordoet + die van Event2 etc. OP VOORWAARDE dat ze
allemaal exclusief zijn! Ze moeten elkaar dus uitsluiten.
Jeffreys is het enige goed uitgewerkte systeem die redeneert met conditionele
waarschijnlijkheden. Dit is een heel belangrijk model. Daarom dat wij ook dit model bekijken.
Als het waar zijn van X geen invloed heeft op het waar zijn van C, dan heeft dat de implicatie dat ze
onafhankelijk zijn. Of dus dat C onafhankelijk is van X.
• P(C | X) = P(C)
Rechter kant van de gelijkheid (niet-conditionele waarschijnlijkheid): we denken na over kans
dat het regent zonder dat we bijkomende informatie hebben. (geen smartphone, zonder het weer te
kijken, etc.)
Linker kant van de gelijkheid (conditionele waarschijnlijkheid): de X die daar staat is de
informatie die je hebt. Bv. het weerbericht heeft voorspeld dat het vandaag gaat regenen. Als het
weerbericht niets te maken heeft met de werkelijkheid (dus m.a.w. als de weerman zomaar iets
verzint, dan heeft het weerbericht niets te maken met wat zich in werkelijkheid voordoet) dan is de
waarschijnlijkheid van C gegeven X, gelijk aan de waarschijnlijkheid van C.
Aangezien die twee aan elkaar gelijk zijn is X dus nutteloos. X is dus onafhankelijk.
Wij gaan voornamelijk met conditionele waarschijnlijkheden werken. Waarom? Als je onderzoek
doet heb je al wel wat voorkennis. Je hebt bv. al gesproken met mensen die er veel over weten, of
voorgaand onderzoek hebben uitgevoerd.
Als het waar zijn van X wel degelijk invloed heeft op het waar zijn van C, dan heeft dat de implicatie
dat ze afhankelijk zijn. Of dus dat C afhankelijk is van X.
De waarschijnlijkheid van C gegeven X is gewoon de verhouding van de waarschijnlijkheid van C
en X tezamen (dus dat ze allebei voorkomen), gedeeld door de waarschijnlijkheid van X op
voorwaarde dat P(X) niet nul is, want delen door 0 mag uiteraard niet!
Alle andere eigenschappen die nog op die pagina staan zijn nuttig en leuk om eens te bekijken,
maar wij slagen die over om snel tot de conclusie te komen.
2.3. Theorema van Bayes
Uitspraak: “Bejs” zoals de telecom provider Base en dus niet “Bajes”
Hij heeft een theorema ontwikkeld waarmee je met conditionele waarschijnlijkheden op een
correcte manier kan redeneren.
4
, P (AB) is uiteraard hetzelfde als P(BA). Daardoor kan je die
in elkaar substitueren en dan krijg je de blauwe kader.
Bayes vertelt ons hoe je een conditionele waarschijnlijkheid A gegeven B, kan omdraaien in
termen van B gegeven A.
Voorbeeld:
A = slagen voor examen statistiek
B = oefeningen maken uit het handboek
Wat is de kans dat je slaagt gegeven dat je alle oefeningen uit het handboek hebt gemaakt? Die
kans kan je uitdrukken in termen van de omgekeerde kans. De waarschijnlijkheid dat je de
oefeningen hebt gemaakt (B) gegeven dat je geslaagd bent (A). Na het examen kan je meten
hoeveel geslaagden er zijn die de oefeningen hebben gemaakt. Wat aan de rechterkant van de
gelijkheid staat kan je dus meten op basis van data die je kan observeren!
Onderstaande formule moet je aannemen dat het zo is. Hoe we die bekomen hebben vanuit de
vorige foto het blad hierboven, moet je in feite niet weten.
H staat voor hypothese, een veronderstelling, iets dat je gelooft of iets dat je wil onderzoeken. Je
wil weten of hypothese 1 waarschijnlijker is dan hypothese 2 of omgekeerd. Welke van de twee is
dus het meest waarschijnlijk?
Conditionele waarschijnlijkheid van hypothese 1 zet je in de teller, die van hypothese 2 in de
noemer en je neemt dus de verhouding van die twee.
Likelihood ratio is observeerbaar, dit kunnen we meten. Dit vermenigvuldigen we met de
onconditionele waarschijnlijkheden dat hypothese 1 en 2 zich zullen voordoen (prior odds).
5
, Als je de likelihood ratio neemt die uit de data blijkt en die vermenigvuldigt met de voorkennis die
we hebben als er geen data is dan krijg je aan de linkerkant datgene dat je wilt hebben.
2.3.0.0.2 Voorbeeld
• 2 ondoorzichtige zakken met goudstukken en zilverstukken.
• 2 zakken met andere verhouding van inhoud.
o Zak 1: 150 gouden munten en 50 zilver
o Zak 2: 100 goud en 200 zilver
• We trekken uit willekeurige zak 1 muntstuk.
• We weten niet welke zak dit is.
→ We hebben een goudstuk.
Wat is de kans dat dit goudstuk uit zak 1 komt?
HYPOTHESE 1: komt uit zak 1
HYPOTHESE 2: komt uit zak 2
We nemen de likelihood ratio, dus we nemen de waarschijnlijkheid dat je een goudstuk uit de
eerste zak neemt, want dat weten we wel. Daarna moet je vermenigvuldigen met de a priori
informatie. Heb je een reden dat de eerste zak meer kans heeft om getrokken te worden dan de
tweede zak? Het experiment gebeurt op een faire manier dus er is 50% kans dat je uit 1e zak
neemt en 50% kans dat je uit 2e zak neemt. .
Betekenis teller van de breuk: De kans op H1 gegeven dat het goud is, is gelijk aan de kans op
goud gegeven dat het uit zak 1 komt maal de kans dat je zak 1 trekt.
De kans dat het goudstuk uit de eerste zak komt = 9/13
De kans dat het goudstuk uit de tweede zak komt = 4/13
Merk op dat de som van deze kansen gelijk is aan 13/13, dus gelijk aan 1.
Heel belangrijk om te onthouden: de stelling van Bayes toont aan dat je conditionele
waarschijnlijkheden kan omdraaien!
6
