Dit is een document met alle te kennen eigenschappen, definities, regels en methodes van de wiskunde van TEW. Dit document omvat dus ongeveer alle theorie van het vak van het tweede semester. Let op: hier staan de bewijzen nog niet in!
WISKUNDE MET
(BEDRIJFS)ECONOMISCHE
TOEPASSINGEN (TEW)
DEEL IV: INLEIDING
HOOFDSTUK 10: INLEIDING
1. Complexe getallen
1.1.Definities
Complexe getallen We definiëren i als het “getal” waarvoor geldt: i 2=−1
Met deze definitie wordt de verzameling van een
complexe getallen dan gedefinieerd als de verzameling
van alle lineaire combinaties van reële getallen en dit
getal i, of
C={ a+ b∗i|a ,b ∈ R }
In de notatie a+b*i noem men a het reële deel en b*i het
imaginaire deel.
Toegevoegd Men difinieert het toegevoegd complex getak van a+b*i
complex getal als
a+ b∗i=a−b∗i
Goniometrische of Een complex getal a+b*i kan in het complexe vlak
polaire vorm meetkundig voorgesteld worden door het punt met
Cartesische coördinaten (a,b), of
Poolcoördinaten ( r , φ ) bepaald door
{a=r cos φ met r ≥0 en 0 ≤ φ<2 π
b=r sin φ
Er geldt
a+ b∗i=r ( cos φ+i∗sin φ ) ;
Het rechterlid noemt men de goniometrische of polaire
vorm van het complexe getal.
1.2.Eigenschappen
Machten van i Voor de machten van i geldt:
2
i =−1
i 3=−i
4
i =+ 1
5
i =+i
…
Voor het omgekeerde van i geldt:
1
=−i
i
1
, Formule van De Voor elk complex getal met modulus 1 geldt
Moivre (cos φ+i∗sin φ)n =cos( nφ)+i∗sin ( nφ ) (n ∈ Z )
Vierkantsvergelijkin Een vierkantsvergelijking
gen met complexe a x +bx+ c=0
2
wortels Met negatieve discriminant, Δ=b 2−4 ac< 0
Heeft twee toegevoegde complexe wortels:
{
−b+ √ −∆∗i
x 1=
2a
−b− √−∆∗i
x2 =
2a
1.3.Regels/methodes
Bewerkingen met Optelling:
complexe getallen ( a+ b∗i ) + ( c+ d∗i )=( a+ c )+ ( b+d )∗i
Vermenigvuldiging
( a+ b∗i )∗( c +d∗i ) =( a c−bd ) + ( ad +bc )∗i
Machtsverheffing
(a+ b∗i) =⏟
n
( a+b∗i )∗( a+ b∗i )∗…∗( a+b∗i) (n∈ N 0)
n factoren
Toepassing De Om de n-de macht te bepalen van een willekeurig
Moivre complex getal, stap je best over op de goniometrische
vorm.
Als
a+ b∗i=r (cos φ+i∗sin φ)
Dan is
n n
(a+ b∗i) =r ∗¿
2. Getallenrijen (10.4)
2.1.Definities
Getallenrij Een getallenrij is een geordende (oneindige) verzameling
van getallen.
Notatie: { u n } staat voor u1 ,u 2 , u3 , … ,u n , …
Gedrag van een Men noemt een getallenrij { u n }
getallenrij
Convergent, indien nlim
→∞
un bestaat en eindig is
Divergent, indien nlim
→∞
un=±∞
Onbepaald, indien nlim
→∞
un niet bestaat
Rekenkundige Men noemt een getallenrij { u n } rekenkunidg, indien het
getallenrij verschil tussen opeenvolgende elementen van de rij
constant is.
Notatie: d=un−un −1 (n≥ 2)
Meetkundige Men noemt een getallenrij { u n } meetkundig, indien de
getallenrij verhouding tussen opeenvolgende elementen van de rij
cosntant is.
2
, un
Notatie: q= ( n ≥ 2 ) (rede )
un−1
Hyperharmonische Men noemt een getallenrij { u n } harmonisch, indien elk
getallenrij element van de rij een vaste negatieve macht is van de
index.
1
Notatie: un = p
, met p> 0.
n
Bij p = 1 spreekt men van een “harmonische” rij.
2.2.Eigenschappen
Rekenkundige De algemene term van een rekenkundige getallenrij { u n }
getallenrij kan gevonden worden als
un =u1+ ( n−1 ) d
Een rekenkundige rij is
Convergent indien d=0 ;er geldt dan nlim
→∞
un=u 1
Divergent indien d ≠ 0; er geldt dan nlim
→∞
un=± ∞
Meetkundige De algemene term van een meetkundige getallenrij { u n }
getallenrij kan gevonden worden als
n−1
un =u1∗q
Een meetkundige rij is
Convergent indien -1 < q < +1 ; er geldt dan
lim un=0 ;
n→∞
Convergent indien q = +1 ; er geldt dan nlim
→∞
un=u 1 ;
Divergent indien q > 1 ; er geldt dan nlim
→∞
un=±∞ ;
Onbepaald indien q -1 ; nlim
→∞
un bestaat dan niet
Hyperharmonische Een hyperharmonische rij { u n } met
getallenrij 1
un = ( p >0 )
np
Is steeds convergent.
Er geldt immers nlim
→∞
un=0
DEEL V: INTEGRALEN
H O O F D S T U K 1 1 : O N B E P A A L D E E N B E PA A L D E I N T E G R A L E N
1. Kernbegrippen
1.1.definities
3
Les avantages d'acheter des résumés chez Stuvia:
Qualité garantie par les avis des clients
Les clients de Stuvia ont évalués plus de 700 000 résumés. C'est comme ça que vous savez que vous achetez les meilleurs documents.
L’achat facile et rapide
Vous pouvez payer rapidement avec iDeal, carte de crédit ou Stuvia-crédit pour les résumés. Il n'y a pas d'adhésion nécessaire.
Focus sur l’essentiel
Vos camarades écrivent eux-mêmes les notes d’étude, c’est pourquoi les documents sont toujours fiables et à jour. Cela garantit que vous arrivez rapidement au coeur du matériel.
Foire aux questions
Qu'est-ce que j'obtiens en achetant ce document ?
Vous obtenez un PDF, disponible immédiatement après votre achat. Le document acheté est accessible à tout moment, n'importe où et indéfiniment via votre profil.
Garantie de remboursement : comment ça marche ?
Notre garantie de satisfaction garantit que vous trouverez toujours un document d'étude qui vous convient. Vous remplissez un formulaire et notre équipe du service client s'occupe du reste.
Auprès de qui est-ce que j'achète ce résumé ?
Stuvia est une place de marché. Alors, vous n'achetez donc pas ce document chez nous, mais auprès du vendeur emmavanhoestenberghe. Stuvia facilite les paiements au vendeur.
Est-ce que j'aurai un abonnement?
Non, vous n'achetez ce résumé que pour €6,49. Vous n'êtes lié à rien après votre achat.
