Resume

Samenvatting Hoofdstuk 3: Gehele Getallen

0 fois vendu

Cours
Discrete Wiskunde

Établissement
Vrije Universiteit Brussel (VUB)

Dit is de samenvatting van het derde hoofdstuk van het vak Discrete Wiskunde. In deze samenvatting werd zowel alle informatie uit de slides als bijkomende informatie uit eigen notities en de cursustekst opgenomen.

[Montrer plus]

Aperçu 3 sur 24 pages

Voir l'exemple

Publié le 27 juillet 2022
Nombre de pages 24
Écrit en 2020/2021
Type Resume

lennyS Membre depuis 5 année 136 documents vendus

€3,48

Egalement disponible en groupe à partir de €9,99

Ajouter au panier

Enregistrer

Garantie de satisfaction à 100%
Disponible immédiatement après paiement
En ligne et en PDF
Tu n'es attaché à rien

Document également disponible en groupe (1)

Volledige Samenvatting Discrete Wiskunde

€ 13,92 € 9,99

8x vendu

5 éléments

1. Resume - Samenvatting hoofdstuk 6: recurrentievergelijkingen
2. Resume - Samenvatting hoofdstuk 5: genererende functies
3. Resume - Samenvatting hoofdstuk 3: gehele getallen
4. Resume - Samenvatting hoofdstuk 2: eenvoudige principes van de discrete wiskunde
5. Resume - Samenvatting hoofdstuk 1: inleidende begrippen
Montrer plus

Hoofdstuk 3: Gehele getallen
1 Ring
Zij R een verzameling voorzien van twee bewerkingen
+: (RxR) → R
*: (RxR) → R
die voldoen aan volgende eigenschappen:
1. (R,+) is een abelse of commutatieve groep:
• De optelling is associatief
➢∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅: (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐)
• De optelling heeft een neutraal element
➢∃𝑛 ∈ 𝑅: ∀𝑎 ∈ 𝑅: 𝑎 + 𝑛 = 𝑎 = 𝑛 + 𝑎
• Elk element a heeft een invers of symmetrisch element t.o.v. de optelling (dat
we noteren als −a)
➢∀𝑎 ∈ 𝑅: ∃𝑏 ∈ 𝑅: 𝑎 + 𝑏 = 𝑛 = 𝑏 + 𝑎
• De optelling is commutatief
➢∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅: 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎
2. (R,*) is een monoide:
• De vermenigvuldiging is associatief
➢∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅: 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐) = (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐
• De vermenigvuldiging heeft een neutraal element
➢∀𝑎 ∈ 𝑅: ∃𝑒 ∈ 𝑅: 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑎 = 𝑒 ∗ 𝑎
• De vermenigvuldiging is distributief t.o.v. de optelling
➢∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅: 𝑎 ∗ (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 ∗ 𝑏 + 𝑎 ∗ 𝑐
➢∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅: (𝑎 + 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ 𝑐 + 𝑏 ∗ 𝑐
We zeggen dat (R, +, *) een ring met eenheid is. Wanneer ook de vermenigvuldiging
commutatief is, spreken we van een commutatieve ring met eenheid.
Notatie:
We schrijven a − b voor a + (−b). a − b is dus kort voor “a plus het symmetrisch element van
b”.
Eigenschap:
De symmetrische en neutrale elementen zijn uniek.
Eigenschap:
∀𝑚, 𝑛 ∈ 𝑅: 𝑚 − (−𝑛) = 𝑚 + 𝑛
Bewijs:
Als we bewijzen dat −(−n) = n is het in orde, want m−(−n) = m+ (−(−n)). Maar vermits
symmetrische elementen uniek zijn is dit duidelijk want n + (−n) = 0. ∎

1.1 De ring van gehele getallen
De verzameling van alle gehele getallen uitgerust met + en · is een ring met 0 als neutraal
element voor de optelling en 1 als neutraal element voor de vermenigvuldiging die we
noteren als (ℤ, +, ·).

1

,1.2 Andere voorbeelden van ringen
Veeltermen
De verzameling van veeltermen met reële coëfficiënten en onbekende X is
𝑛

ℝ[𝑋] ≔ {∑ 𝑎𝑖 𝑋 𝑖 |𝑛 ∈ ℕ, ∀𝑖 ∈ [0. . 𝑛]: 𝑎𝑖 ∈ ℝ}
𝑖=0

Op deze verzameling definiëren we een optelling door
𝑛 𝑚 max⁡{𝑚,𝑛}
𝑖 𝑗 (𝑎𝑘 + 𝑏𝑘 ) 𝑋 𝑘
(∑ 𝑎𝑖 𝑋 ) + (∑ 𝑏𝑗 𝑋 ) = ∑
𝑖=0 𝑗=𝑜 𝑘=0

waarbij we veronderstellen dat ak = 0 voor k > n en bk = 0 voor k > m. We definiëren ook een
vermenigvuldiging door
𝑛 𝑚 𝑚+𝑛

(∑ 𝑎𝑖 𝑋 ) ∗ (∑ 𝑏𝑗 𝑋 ) = ∑ 𝑐𝑘 𝑋 𝑘
𝑖 𝑗

𝑖=0 𝑗=0 𝑘=0

Waarbij

De formule voor ck drukt gewoon uit dat je de som neemt van alle producten van termen uit
de eerste en de tweede veelterm die Xk opleveren. Met deze definities is (R[X], +, *) een ring.
Analoog zijn ook (Z[X], +, *) en (Q[X], +, *) ringen.
Matrices
Een voorbeeld van een niet-commutatieve ring is de verzameling van alle reële (n × n)-
matrices, voor een gegeven n ∈ N0, met de optelling en de vermenigvuldiging die we gewoon
zijn.

2 Welorde
De elementen van ℤ zijn ook geordend door de relatie ≤. Deze heeft ook enkele goed
gekende eigenschappen:

• ≤ is reflexief
➢ ∀𝑎 ∈ ℤ: 𝑎 ≤ 𝑎
• ≤ is antisymmetrisch
➢ ∀𝑎. 𝑏 ∈ ℤ: (𝑎 ≤ 𝑏) ∧ (𝑏 ≤ 𝑎) ⟹ (𝑎 = 𝑏)
• ≤ is transitief
➢ ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ: (𝑎 ≤ 𝑏) ∧ (𝑏 ≤ 𝑐) ⟹ (𝑎 ≤ 𝑐)
• Bovendien geldt:
➢ ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ: 𝑎 ≤ 𝑏 ⇒ 𝑎 + 𝑐 ≤ 𝑏 + 𝑐 en ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ: 𝑎 ≤ 𝑏 ⇒ 𝑎. 𝑐 ≤ 𝑏. 𝑐
Eigenschap:
Als a ≤ b, dan −b ≤ −a.

2

, Bewijs:
Trek van beide leden a af. Je krijgt: 0 ≤ b− a. Trek vervolgens van beide leden b af: −b ≤ −a.
∎
Definitie:
Zij S ⊂ Z. x ∈ Z heet een ondergrens van S indien ∀s ∈ S : x ≤ s. Het infimum van S is de
grootste ondergrens van S.
Definitie:
Indien het infimum van een verzameling S zelf tot S behoort, dan noemen we het een
minimum.
Principe van de welgeordendheid (in feite een axioma):
Elke niet-lege deelverzameling van Z die een ondergrens heeft, heeft ook een minimum.

3 Bewijs per inductie
Inleidend voorbeeld:
Hoe bewijzen we dat ∀n ∈ N0 geldt dat

1 + 3 + 5 + ⋯ + (2𝑛 − 1) = 𝑛2
We merken eerst op dat voor n = 1, het kleinste element van N0, de eigenschap waar is:

1 = 12

• Dan gaan we ervan uit dat de eigenschap geldt voor n = k en we bewijzen hieruit dat
de eigenschap dan ook moet waar zijn voor n = k + 1.
• Dus nemen we aan dat 1 + 3 + 5 + · · · + (2k − 1) = k2 en dan tonen we aan dat 1 + 3
+ 5 + · · · + (2k − 1) + (2k + 1) = (k + 1)2 .
o Gebruikmakend van de aanname, wordt het linker lid k2 + (2k + 1) = k2 + 2k +
1 = (k + 1)2 . Kunnen we uit deze algemene redenering afleiden dat de
eigenschap geldt voor alle n ∈ N?

Bewijs:
Onderstel van niet. Zij S = {n ∈ N | ¬P(n) waar}, dan is deze verzameling niet leeg.

• Vermits S ⊂ N heeft S een ondergrens (bijvoorbeeld −1).
• Door de welgeordendheid van de gehele getallen heeft S een minimum, m.
o Door de basis van de inductie weten we dat 0 ∉ S en dus m ≥ 1. Omdat m
een minimum is, hebben we zeker (m − 1) ∉⁡S zodat P(m − 1) waar is, maar
de inductiestap verzekert dan dat P(m) ook waar is, wat een tegenspraak
oplevert.∎

3

Les avantages d'acheter des résumés chez Stuvia:

Qualité garantie par les avis des clients

Les clients de Stuvia ont évalués plus de 700 000 résumés. C'est comme ça que vous savez que vous achetez les meilleurs documents.

L’achat facile et rapide

Vous pouvez payer rapidement avec iDeal, carte de crédit ou Stuvia-crédit pour les résumés. Il n'y a pas d'adhésion nécessaire.

Focus sur l’essentiel

Vos camarades écrivent eux-mêmes les notes d’étude, c’est pourquoi les documents sont toujours fiables et à jour. Cela garantit que vous arrivez rapidement au coeur du matériel.

Foire aux questions

Qu'est-ce que j'obtiens en achetant ce document ?

Vous obtenez un PDF, disponible immédiatement après votre achat. Le document acheté est accessible à tout moment, n'importe où et indéfiniment via votre profil.

Garantie de remboursement : comment ça marche ?

Notre garantie de satisfaction garantit que vous trouverez toujours un document d'étude qui vous convient. Vous remplissez un formulaire et notre équipe du service client s'occupe du reste.

Auprès de qui est-ce que j'achète ce résumé ?

Stuvia est une place de marché. Alors, vous n'achetez donc pas ce document chez nous, mais auprès du vendeur lennyS. Stuvia facilite les paiements au vendeur.