Dit is de samenvatting van het eerste hoofdstuk van het vak Discrete Wiskunde. In deze samenvatting werd zowel alle informatie uit de slides als bijkomende informatie uit eigen notities en de cursustekst opgenomen.
Hoofdstuk 1: Inleidende begrippen
Logica
Wiskunde is opgebouwd uit logische redeneringen. Wij gebruiken de taal en notatie van de
predicatenlogica om redeneringen neer te schrijven.
• Propositie: een bewering p die ofwel waar, ofwel onwaar is.
• Conjunctie: p ∧ q (”p en q”) en Disjunctie: p ∨ q (”p of q”)
• Implicatie: p ⇒ q (“Als p dan q”)
o Voorbeeld. “x is deelbaar door 10 ⇒ x is even”
• Equivalentie: p ⇔ q (“p is equivalent met q”) betekent (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
o Voorbeeld. “n2 even ⇔ n even”
• Negatie: ¬p
o Voorbeeld. “Het regent niet.”
Opmerking:
De negatie van de implicatie is niet hetzelfde als contrapositie!
• Negatie van de implicatie: ¬(p ⇒ q) is equivalent met p ∧ ¬q
• Contrapositie van de implicatie: p ⇒ q is equivalent met ¬q ⇒ ¬p
• Voorbeeld. Om te bewijzen dat “n 2 even ⇒ n even” is het gemakkelijker te bewijzen
dat “n oneven ⇒ n 2 oneven”.
Verzamelingen
Verzamelingen laten toe alle (wiskundige) objecten met dezelfde kenmerken te groeperen of
te verzamelen. Een object uit een gegeven verzameling heet een element.
Voorbeelden
• De verzameling priemgetallen groepeert alle positieve gehele getallen die juist twee
verschillende delers bezitten.
• N = {0, 1, 2, . . .}: de natuurlijke getallen
• Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, . . .}: de gehele getallen
• Q = { a/b | a, b ∈ Z ∧ b 6= 0}: de rationale getallen
• R = de reële getallen
• C = {a + bi | a, b ∈ R}: de complexe getallen
N, Z, Q = discrete verzamelingen
R, C = continue verzamelingen
Kwantoren
Sommige uitspraken of eigenschappen zijn geldig voor alle objecten in een gegeven
verzameling. Om dit te noteren gebruiken we de kwantor “voor alle”: ∀.
Voorbeeld. ∀ x ∈ R : x 2 ≥ 0
Het dubbelpunt “:” betekent in een logische uitspraak “geldt”.
1
, Er is ook een kwantor “er bestaat” indien men wil zeggen dat een eigenschap geldt voor
minstens een element in een gegeven verzameling.
Voorbeeld. ∃ x ∈ R : x 2 = x.
Soms wil men benadrukken dat er slechts een element bestaat met de gegeven eigenschap.
Voorbeeld. ∃! 𝑥 ∈ ℝ+ 2
0 ∶ 𝑥 =𝑥
De volgorde van kwantoren heeft belang! Bijvoorbeeld
∀ 𝑥 ∈ ℝ ∶ ∃ 𝑦 ∈ ℝ+ : 𝑥 2 = 𝑦
is waar, terwijl
∃ 𝑦 ∈ ℝ+ ∶ ∀ 𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 2 = 𝑦
onwaar is.
Negaties van uitspraken zijn zeer belangrijk. Denk bijvoorbeeld aan het bewijs door
contrapositie.
De negatie van ∀ x ∈ X : p(x) is ∃ x ∈ X : ¬p(x) en de negatie van ∃ x ∈ X : p(x) is ∀ x ∈ X :
¬p(x).
Deelverzamelingen
Indien elk element van een verzameling A ook behoort tot een verzameling B, zeggen we dat
A een deelverzameling is van B of dat B de verzameling A omvat.
Symbolisch:
𝐴⊂𝐵⇔∀𝑎∈𝐴∶𝑎∈𝐵
Ook steeds
• 𝐵⊂𝐵
• 𝜙⊂𝐵
Alle andere deelverzamelingen van B noemen we echte deelverzamelingen van B.
Twee verzamelingen A en B zijn gelijk indien ze dezelfde elementen hebben.
Symbolisch:
(𝐴 ⊂ 𝐵) ∧ (𝐵 ⊂ 𝐴)
Gevolg:
𝐴 ≠ 𝐵 ⇔ (𝐴 ⊄ 𝐵) ∨ (𝐵 ⊄ 𝐴)
De verzameling van alle deelverzamelingen van een gegeven verzameling X noteren we
𝒫(𝑋).
Bewerkingen met verzamelingen
A ∩ B = {x ∈ A | x ∈ B} : Doorsnede
A ∪ B = {x | (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)} : Unie
A \ B = {x | (x ∈ A) ∧ (x ∉ B)} : Verschil
2
Les avantages d'acheter des résumés chez Stuvia:
Qualité garantie par les avis des clients
Les clients de Stuvia ont évalués plus de 700 000 résumés. C'est comme ça que vous savez que vous achetez les meilleurs documents.
L’achat facile et rapide
Vous pouvez payer rapidement avec iDeal, carte de crédit ou Stuvia-crédit pour les résumés. Il n'y a pas d'adhésion nécessaire.
Focus sur l’essentiel
Vos camarades écrivent eux-mêmes les notes d’étude, c’est pourquoi les documents sont toujours fiables et à jour. Cela garantit que vous arrivez rapidement au coeur du matériel.
Foire aux questions
Qu'est-ce que j'obtiens en achetant ce document ?
Vous obtenez un PDF, disponible immédiatement après votre achat. Le document acheté est accessible à tout moment, n'importe où et indéfiniment via votre profil.
Garantie de remboursement : comment ça marche ?
Notre garantie de satisfaction garantit que vous trouverez toujours un document d'étude qui vous convient. Vous remplissez un formulaire et notre équipe du service client s'occupe du reste.
Auprès de qui est-ce que j'achète ce résumé ?
Stuvia est une place de marché. Alors, vous n'achetez donc pas ce document chez nous, mais auprès du vendeur lennyS. Stuvia facilite les paiements au vendeur.
Est-ce que j'aurai un abonnement?
Non, vous n'achetez ce résumé que pour €0,00. Vous n'êtes lié à rien après votre achat.
