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Microéconomie 2 - Chapitre 3 "La Minimisation Du Profit"
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Ce fichier contient le 3ème Chapitre du cours Microéconomie 2.
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DamienGth
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CHAPITRE 3LA MINIMISATION DU COUT
Plan du cours
CHAP 3 : La minimisation du cout
I. Minimisation du coût
- Méthode mathématique
- Représentation graphique
II. Exemples
- Cobb Douglas
- Leontief
- C.E.S
III. Prix des facteurs et élasticité de substitution
IV. Prix des facteurs et part dans le coût total
I. Minimisation du coût
Le coût de production est :
𝒘𝟏 𝒙𝟏 + 𝒘𝟐 , 𝒙𝟐
L’objectif de l’entreprise est de minimiser les coûts pour un niveau de production donné :
𝐦𝐢𝐧𝐢𝐦𝐢𝐬𝐞𝐫(𝒘𝟏 𝒙𝟏 + 𝒘𝟐 𝒙𝟐 ), 𝒕𝒆𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝒇(𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 ) = 𝒚
𝒙𝟏 ,𝒙𝟐
L’équation 𝒇(𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 ) = 𝒚 est appelé contrainte et le problème ci-dessus s’appelle problème de
minimisation sous contrainte. Pour résoudre ce problème nous utilisons la méthode de Lagrange. Cette
méthode consiste à maximiser sans contrainte une fonction appelée fonction lagrangienne ou simplement
le lagrangien.
Le lagrangien du problème de minimisation est :
𝑳 = 𝒘𝟏 𝒙𝟏 + 𝒘𝟐 𝒙𝟐 − 𝝀(𝒇(𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 ) − 𝒚)
Ou la variable 𝝀 prend le nome de multiplicateur de Lagrange. Minimisons le lagrangien en égalisant à zéro
les dérivées par rapport à 𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 et 𝝀 :
𝝏𝑳 𝝏𝒇(𝒙)
= 𝟎 Þ 𝒘𝟏 − 𝝀 =𝟎
𝝏𝒙𝟏 𝝏𝒙𝟏
𝝏𝑳 𝝏𝒇(𝒙)
= 𝟎 Þ 𝒘𝟐 − 𝝀 =𝟎
𝝏𝒙𝟐 𝝏𝒙𝟐
𝝏𝑳
= 𝟎 Þ 𝐟(𝐗) − 𝒚 = 𝟎
𝝏𝝀
Ce système d’équation prend le nom de condition du premier ordre de la minimisation du coût.
Comme d’habitude nous marquons avec un’astérisque les solutions des conditions du premier
ordre : 𝒙∗𝟏 , 𝒙∗𝟐 et 𝝀∗ .
Les solutions 𝒙∗𝟏 et 𝒙∗𝟐 sont appelé demandes conditionnelles des facteurs car elles expriment
la quantité demandée de chaque facteur, conditionnelle à la production d’un niveau d’output
égal à 𝒚 et conditionnelle à dépenser le moins possible.
Les demandes conditionnelles des facteurs dépendent des paramètres du modèle. Pour
remarquer ce fait nous écrirons souvent 𝒙∗𝟏 ( 𝒘𝟏 , 𝒘𝟐 , 𝒚), et 𝒙∗𝟐 ( 𝒘𝟏 , 𝒘𝟐 , 𝒚).
, Le problème de la minimisation des coûts ne contient pas le prix de l’output 𝒑, le
comportement de minimisation des coûts est indépendant du comportement de l’entreprise
en matière de prix.
En remplaçant les demandes de facteurs dans l’expression des coûts nous obtenons la fonction
de coût :
𝒄∗ ( 𝒘𝟏 , 𝒘𝟐 , 𝒚) = 𝒘𝟏 𝒙∗𝟏 ( 𝒘𝟏 , 𝒘𝟐 , 𝒚) + 𝒘𝟐 𝒙∗𝟐 ( 𝒘𝟏 , 𝒘𝟐 , 𝒚)
On voit que le coût dépend de :
- Des prix des facteurs ;
- De la quantité d’output que la firme veut produire.
DEFINITION 1 :
• Cout marginal :
𝝏𝒄∗ ( 𝒘𝟏 , 𝒘𝟐 , 𝒚)
𝝏𝒚
• Cout moyen :
𝒄∗ ( 𝒘𝟏 , 𝒘𝟐 , 𝒚)
𝒚
• La part de l’input 𝒙𝒊 dans le coût totale :
𝒘𝒊 𝒙∗𝒊
, 𝒊 = 𝟏, 𝟐
𝒄∗ ( 𝒘𝟏 , 𝒘𝟐 , 𝒚)
Les fonctions à rendement d’échelle constant ont la propriété que le coût marginal est égale au
coût moyen.
DEFINITION 2 :
Taux de substitution économique (TSÉ) : C’est le taux auquel un facteur doit se substituer à
l’autre afin que le coût reste constant.
Pour le calculer on doit écrire en forme mathématique notre définition verbale. On commence par
fixer un coût de production (avant optimisation) que l’on appellera 𝒄. On veut que le coût soit
égale a 𝒄, donc on écrit: 𝒄 = 𝒘𝟏 𝒙𝟏 + 𝒘𝟐 𝒙𝟐 .
Dans cette équation nous isolons 𝒙𝟐 :
𝑐 𝑤(
𝒙𝟐 = − 𝑥 .
𝑤' 𝑤' (
Mathématiquement le TSÉ est donné par :
𝑑𝑥'
𝑇𝑆É = J
𝑑𝑤( )
Si l’on calcule cette dérivé dans l’expressions (11) on obtient :
𝑤(
𝑇𝑆É = −
𝑤'
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