Trillingen
Begrippen:
Trilling / oscillatie = een periodieke beweging veroorzaakt door de verstoring van een stabiele
evenwichtssituatie
Uitwijking = de afstand x van de massa tot het evenwichtspunt, op elk moment in de tijd
Amplitude A = de grootte van de maximale uitwijking/de grootste afstand tot het
evenwichtspunt
Cyclus = een complete heen-en-weer-beweging (van x = +A naar x = -A)
Periode T = tijd die het kost om een volledige cyclus te doorlopen T=1/f (s)
Frequentie f = het aantal doorlopen cycli per seconde. 1 Hz = 1 cyclus per f = 1/T (Hz)
seconde (s-1)
•Trillingen van een veer
- Een harmonische trilling: altijd onder invloed van een kracht evenredig en tegengesteld aan de
uitwijking
- Als een voorwerp steeds langs dezelfde weg heen en weer trilt/oscilleert, waarbij iedere trilling
evenveel tijd in beslag neemt = een periodieke beweging
- Periodieke beweging → een voorwerp voert een trilling uit aan het uiteinde
van een schroefveer
We nemen aan dat: k F=0
m
- de massa m van de veer mag verwaarloosd
X=0
- dat de veer horizontaal gemonteerd is
- zodat het voorwerp met massa zonder wrijving over het horizontale oppervlak glijdt
Iedere veer heeft uit zichzelf een lengte waarbij hij geen kracht uitoefent op de massa m
De plaats van de massa op dit punt wordt evenwichtsstand genoemd: x = 0
m m m
Voorwerp trekken naar rechts → veer uitgerokken
Voorwerp duwen naar links → veer gecomprimeerd
,Steeds oefent de veer kracht F uit op de massa in de richting waarin de massa terugkeert naar
→
de evenwichtsstand → terugdrijvende kracht F genoemd
F = -k.x → door de veer uitoefende kracht
Het minteken in de vgl. → de terugdrijvende kracht werkt altijd in tegenovergestelde richting
van uitwijking x
Veer ingedrukt → x negatief, de kracht → naar rechts gericht
De evenredigheidsconstante k = veerconstante/veerstijfheidsconstante
Hoe hoger de waarde van k, hoe groter de kracht die nodig is om de veer een zekere afstand uit te
rekken => hoe stijver de weer hoe groter k
→
F1
m m
→ →
Kracht F → niet constant, hangt af van de mate van uitrekking: F1 < F2
Daarom is versnelling a van de massa niet constant → vergelijkingen voor constante
versnelling gaat niet
F = -k.x → door de veer uitoefende kracht Fext = +k.x → externe kracht op de veer
Wat als de veer ingedrukt is over een afstand x = -A en dan
losgelaten wordt?
- Veer oefent kracht F uit op massa m → geduwd naar
evenwichtsstand
- De massa heeft traagheid → deze schiet met snelheid v de
evenwichtsstand voorbij
- Het punt waar de massa de evenwichtsstand bereikt → F = 0
- Snelheid v → bereikt vmax
- Terwijl de massa verder naar rechts beweegt, → een
toenemende afremmende kracht → de massa vertraagt en een
ogenblik tot stilstand x = A
- Vervolgens begint de massa terug te bewegen in de
tegenovergestelde richting en versnelt ze tot het evenwichtspunt
wordt gepasseerd, waarna ze weer afremt en een snelheid nul
bereikt op het oorspronkelijke beginpunt x = -A
, - Daarna herhaalt de massa de beweging waarbij het heen en weer gaat tussen x = A en x = -A
- de trilling van een verticaal opgehangen veer verschilt niet
wezenlijk van die van een horizontale veer
- de veer is in evenwicht als:
∑ F = 0 = mg – kx0
Dus de veer wordt een extra stuk x0 uitgerekt om in evenwicht te
komen x0 = m.g/k
•Enkelvoudige harmonische beweging
Goniometrische cirkel
- de tweede wet van Newton → F = m.a
- vesrnelling → a = d.v/d.t = d/d.t.(d.x/d.t) = d².x/d.t²
- Bewegingsvergelijking voor de enkelvoudige harmonische oscillator
F = m.d².x/d.t² = -k.x → d².x/d.t² + k/m.x = 0
- Voor algemene bewegingsvergelijking:
d².x/d.t² + k/m.x = 0
- Voorstel:
x = A.cos (𝜔.t + 𝜑)
- Alternatief:
x = a.cos cos𝜔.t + b = sin𝜔.t
Klopt het?
x = x(t) twee maal differentiëren
Begrippen:
Trilling / oscillatie = een periodieke beweging veroorzaakt door de verstoring van een stabiele
evenwichtssituatie
Uitwijking = de afstand x van de massa tot het evenwichtspunt, op elk moment in de tijd
Amplitude A = de grootte van de maximale uitwijking/de grootste afstand tot het
evenwichtspunt
Cyclus = een complete heen-en-weer-beweging (van x = +A naar x = -A)
Periode T = tijd die het kost om een volledige cyclus te doorlopen T=1/f (s)
Frequentie f = het aantal doorlopen cycli per seconde. 1 Hz = 1 cyclus per f = 1/T (Hz)
seconde (s-1)
•Trillingen van een veer
- Een harmonische trilling: altijd onder invloed van een kracht evenredig en tegengesteld aan de
uitwijking
- Als een voorwerp steeds langs dezelfde weg heen en weer trilt/oscilleert, waarbij iedere trilling
evenveel tijd in beslag neemt = een periodieke beweging
- Periodieke beweging → een voorwerp voert een trilling uit aan het uiteinde
van een schroefveer
We nemen aan dat: k F=0
m
- de massa m van de veer mag verwaarloosd
X=0
- dat de veer horizontaal gemonteerd is
- zodat het voorwerp met massa zonder wrijving over het horizontale oppervlak glijdt
Iedere veer heeft uit zichzelf een lengte waarbij hij geen kracht uitoefent op de massa m
De plaats van de massa op dit punt wordt evenwichtsstand genoemd: x = 0
m m m
Voorwerp trekken naar rechts → veer uitgerokken
Voorwerp duwen naar links → veer gecomprimeerd
,Steeds oefent de veer kracht F uit op de massa in de richting waarin de massa terugkeert naar
→
de evenwichtsstand → terugdrijvende kracht F genoemd
F = -k.x → door de veer uitoefende kracht
Het minteken in de vgl. → de terugdrijvende kracht werkt altijd in tegenovergestelde richting
van uitwijking x
Veer ingedrukt → x negatief, de kracht → naar rechts gericht
De evenredigheidsconstante k = veerconstante/veerstijfheidsconstante
Hoe hoger de waarde van k, hoe groter de kracht die nodig is om de veer een zekere afstand uit te
rekken => hoe stijver de weer hoe groter k
→
F1
m m
→ →
Kracht F → niet constant, hangt af van de mate van uitrekking: F1 < F2
Daarom is versnelling a van de massa niet constant → vergelijkingen voor constante
versnelling gaat niet
F = -k.x → door de veer uitoefende kracht Fext = +k.x → externe kracht op de veer
Wat als de veer ingedrukt is over een afstand x = -A en dan
losgelaten wordt?
- Veer oefent kracht F uit op massa m → geduwd naar
evenwichtsstand
- De massa heeft traagheid → deze schiet met snelheid v de
evenwichtsstand voorbij
- Het punt waar de massa de evenwichtsstand bereikt → F = 0
- Snelheid v → bereikt vmax
- Terwijl de massa verder naar rechts beweegt, → een
toenemende afremmende kracht → de massa vertraagt en een
ogenblik tot stilstand x = A
- Vervolgens begint de massa terug te bewegen in de
tegenovergestelde richting en versnelt ze tot het evenwichtspunt
wordt gepasseerd, waarna ze weer afremt en een snelheid nul
bereikt op het oorspronkelijke beginpunt x = -A
, - Daarna herhaalt de massa de beweging waarbij het heen en weer gaat tussen x = A en x = -A
- de trilling van een verticaal opgehangen veer verschilt niet
wezenlijk van die van een horizontale veer
- de veer is in evenwicht als:
∑ F = 0 = mg – kx0
Dus de veer wordt een extra stuk x0 uitgerekt om in evenwicht te
komen x0 = m.g/k
•Enkelvoudige harmonische beweging
Goniometrische cirkel
- de tweede wet van Newton → F = m.a
- vesrnelling → a = d.v/d.t = d/d.t.(d.x/d.t) = d².x/d.t²
- Bewegingsvergelijking voor de enkelvoudige harmonische oscillator
F = m.d².x/d.t² = -k.x → d².x/d.t² + k/m.x = 0
- Voor algemene bewegingsvergelijking:
d².x/d.t² + k/m.x = 0
- Voorstel:
x = A.cos (𝜔.t + 𝜑)
- Alternatief:
x = a.cos cos𝜔.t + b = sin𝜔.t
Klopt het?
x = x(t) twee maal differentiëren
