Resume
Analyse - Deel 2: samenvatting Theorie
- Cours
- Analyse, Deel 2
- Établissement
- Katholieke Universiteit Leuven (KU Leuven)
Zeer uitgebreid en gedetailleerd document, bevat alle geziene en te kennen afleidingen en bewijzen.
[Montrer plus]
Aperçu du contenu
DefinitiesHoofdstuk 3: Stelsel differentiaalvergelijkingen
Stelling 3.1.1 – Existentie- en éénduidigheidsstelling
Zij A(t) en B(t) continu in interval I en t 0 ∈ I , dan heeft het beginwaardeprobleem
⃗
Y ( t )= A ( t ) ⃗ B (t) en ⃗
Y ( t ) +⃗ Y ( t 0 )=Y⃗0 slechts één oplossing
'
Definitie 3.2.1 – Lineaire onafhankelijkheid
De vectorfuncties ⃗
Y 1 (t) , ⃗
Y 2 ( t ) , … , Y⃗n (t ) zijn lineair onafhankelijk op interval I , indien
n
∑ ci ⃗Y i ( t )= ⃗0 op I , impliceert dat c i=0 ,i=1 , … , n
i=1
Definitie 3.2.2 – Lineaire afhankelijkheid
De vectorfuncties ⃗
Y 1 (t) , ⃗
Y 2 ( t ) , … , Y⃗n (t ) zijn lineair afhankelijk op interval I , indien er constanten c i
n
bestaan, niet alle 0, zodanig dat ∑ ci ⃗Y i ( t )= ⃗0 voor alle t ∈ I
i=1
Definitie 3.2.3 Fundamenteel stel oplossingen
De verzameling vectorfuncties {Y
⃗1 ( t ) , ⃗ Y n (t) } vormt een fundamenteel stel oplossingen voor
Y 2 (t ) , … , ⃗
het homogeen stelsel ⃗
Y ' (t )= A ( t ) ⃗
Y ( t ) op I indien
i. ⃗
Y i ( t )= A ( t ) Y⃗ i ( t ) ,i=1 , … , n
'
ii. ⃗
Y 1 (t) , ⃗
Y 2 ( t ) , … , Y⃗n (t ) lineair onafhankelijk zijn op I
Bewijs: We beschouwen de lineaire afhankelijkheid
De voorwaarde is nodig:
Uit de definitie van lineaire onafhankelijkheid volgt dat er coëfficiënten c i bestaan – niet allen nul
– zodat
n
∑ ci ⃗Y i ( t )= ⃗0
i=1
Vermits dit geldt ∀ t ∈ I :
n
∑ ci ⃗Y i ( t0 ) =⃗0
i=1
Of m.a.w. de vectoren ⃗
Y 1 ( t0 ) , ⃗
Y 2 ( t0 ) , … , ⃗
Y n ( t 0 ) zijn lineair onafhankelijk.
, De voorwaarde is voldoende:
Stel dat er constanten c i – niet allen nul – bestaan zodat:
n
∑ ci ⃗Y i ( t )= ⃗Y ( t )
i=1
Deze vectorfunctie is een oplossing van het homogeen stelsel vermits:
n n
⃗
Y ' ( t ) =∑ c i ⃗
Y ' i ( t )=∑ c i A i ( t ) Y⃗ i ( t )= A ( t ) Y⃗ ( t )
i=1 i=1
Zij voldoet bovendien aan de beginvoorwaarden ⃗ Y ( t 0 )=0⃗ en moet dus volgens de
eenduidigheidsstelling gelijk zijn aan de triviale oplossing. Daarmee is aangetoond dat de
vectorfuncties ⃗
Y 1 (t) , ⃗
Y 2 ( t ) , … , Y⃗n ( t ) voldoen aan de lineaire onafhankelijkheid.
Stelling 3.2.5 – Algemene oplossing van een homogeen stelsel.
Zij {Y
⃗1 ( t ) , ⃗ Y n (t) } een fundamenteel stel oplossingen van ⃗
Y 2 (t) , … , ⃗ Y (t )= A ( t ) ⃗
'
Y ( t ), dan wordt de
algemene oplossing van het homogeen stelsel gegeven door
n
Y ( t )=∑ c i Y⃗ i ( t )
⃗
i=1
met c 1 , c2 , … c n willekeurige constanten.
Stelling 3.3.1 – Algemene oplossing van een niet-homogeen stelsel.
Zij {Y
⃗1 ( t ) , ⃗ Y n (t) } een fundamenteel stel oplossingen van ⃗
Y 2 (t) , … , ⃗ Y ( t ) en ⃗
Y ' (t )= A ( t ) ⃗ Y p ( t ) een
gekende oplossing van ⃗
Y ( t )= A ( t ) ⃗
'
Y ( t ) +⃗
B (t) dan wordt de algemene oplossing van het niet-homogeen
stelsel gegeven door
n
⃗ Y p ( t ) + ∑ ci ⃗
Y ( t )=⃗ Y i(t )
i=1
met c 1 , c2 , … c n willekeurige constanten.
Bewijs: De vectorfunctie ⃗
U ( t )= ⃗
Y ( t ) −⃗
Y p ( t ) voldoet aan het homogeen stelsel immers:
U (t)=⃗
⃗ Y ( t )−⃗
' ' '
Y p (t)
¿ A ( t )∗⃗ Y (t)+⃗ B ( t )− A ( t )∗⃗
Y p ( t )− ⃗
'
B (t )
⃗ ⃗
¿ A ( t ) ( Y ( t ) −Y p ( t ) )
¿ A ( t )∗U ⃗ (t )
n
Uit ⃗
Y ' ( t )= ∑ c i Y⃗ i ( t ) volgt aan onmiddellijk hetzelfde
i=1
,3.3.2 De methode van de variatie van de constanten
We geven nu een algemene methode voor het vinden van een particuliere oplossingen ⃗Y p ( t ). Verwijzend
naar de matrixoplossing Z(t) kan de algemene oplossing van het homogeen stelsel ook geschreven
worden als
[]
c1
⃗ ⃗ c
Y h ( t ) =Z ( t ) ⃗
C met C= 2
…
cn
We zoeken dan een particuliere oplossing van het niet-homogeen stelsel in de vorm
⃗ ⃗ (t)
Y p ( t )=Z ( t ) C
Ingevuld in ⃗
Y ( t )= A ( t ) ⃗
'
Y ( t ) +⃗
B (t ) geeft dit de voorwaarde
⃗
Y p (t )= A ( t ) ⃗
'
Y p ( t ) +⃗
B (t)
' ⃗ ⃗ ' ⃗ (t)+ ⃗
Z ( t ) C ( t ) +Z ( t ) C ( t )= A ( t ) Z ( t ) C B (t )
Rekening houdend met Z' ( t )=A ( t ) Z ( t )
⃗ ' ( t )= ⃗
Z (t )C B (t )
⃗
C ( t )=Z (t) ⃗
' −1
B (t )
t
C ( t )=∫ Z ( ξ ) ⃗
−1
B ( ξ ) dξ
t0
Met t 0 ∈ I . De algemene oplossing van in ⃗
Y ' (t )= A ( t ) ⃗
Y ( t ) +⃗
B (t) wordt dus gegeven door
( )
t
⃗
Y ( t )= ⃗ C +∫ Z ( ξ ) ⃗
Y h ( t ) + Y⃗ p ( t )=Z ( t ) ⃗
−1
B ( ξ ) dξ
t0
Substitueren we hierin de waarde t=t 0, dan bekomen we
⃗
Y ( t 0 )=Z ( t 0 ) ⃗
C of ⃗
C=Z−1 ( t 0 ) ⃗
Y0
De oplossing van het beginwaardeprobleem wordt dus
( )
t
Y ( t )=Z ( t ) Z ( t 0 ) Y⃗ 0+∫ Z ( ξ ) ⃗
⃗ −1 −1
B ( ξ ) dξ
t0
Stelling 3.4.4 Oplossing van het homogeen stelsel
, Beschouw het homogeen stelsel ⃗
Y ' ( t )= A . ⃗
Y ( t ) met A een constante n x n – matrix voor elke
eigenwaarde x met bijhorden eigenvector ⃗
E is ⃗
Y ( t )= ⃗
E . e λt een oplossing.
Bewijs: Uit ⃗
Y ( t )= ⃗
λt
E . e volgt dat
⃗
Y ' ( t )=⃗
E λe
λt
Vermits A ⃗
E =λ ⃗
E geldt dat
⃗
Y ' ( t )=A ⃗
E e λt = A . ⃗
Y (t )
3.4.3 Oplossing van het niet-homogeen stelsel
Ook voor het vinden van een particuliere oplossing van een niet-homogeen stelsel
⃗
Y (t )= A Y⃗ ( t )+ ⃗
'
B (t)
Met A een n × n constante matrix, kunnen we op een efficiënte manier gebruik maken van de
eigenwaarden en eigenvectoren van A . We beschouwen enkel het geval dat A allemaal reële
eigenwaarden en lineair onafhankelijke eigenvectoren heeft. Substitutie van A=P J P−1 in
bovenstaande vergelijking geeft
⃗
Y ' (t )=P J P−1 Y⃗ ( t ) + ⃗
B (t)
P Y ( t )=J P Y ( t ) + P ⃗
⃗ ⃗
−1 ' −1 −1
B (t)
Stellen we dan
⃗
U ( t )=P ⃗
−1
Y (t )
⃗
C ( t )=P ⃗
−1
B (t )
Dan hebben we het oorspronkelijke stelsel teruggebracht tot
⃗ '
⃗ ( t ) +⃗
U ( t ) =J U C( t)
Dit nieuwe stelsel is ontkoppeld in n eerste orde differentiaalvergelijkingen die één na één afzonderlijk
kunnen opgelost worden. Uitgeschreven wordt dit stelsel immers
u'i ( t )=λi ui ( t ) +c i ( t ) , i=1 , … ,n
Met als algemene oplossing
( )
t
K i+∫ e
λ il −λ i l
ui ( t )=e c i ( ξ ) dξ
t0
En K i een constante. Hebben we een beginwaardenprobleem
⃗
Y ( t 0 )=Y⃗0
Dan kunnen deze voorwaarden onmiddellijk in rekening gebracht worden vermits
⃗
U ( t 0 )=P ⃗
−1
Y0
−λ i l
We stellen K i=e ui ( t 0 ) , i=1 , … , n.
Les avantages d'acheter des résumés chez Stuvia:
Qualité garantie par les avis des clients
Les clients de Stuvia ont évalués plus de 700 000 résumés. C'est comme ça que vous savez que vous achetez les meilleurs documents.
L’achat facile et rapide
Vous pouvez payer rapidement avec iDeal, carte de crédit ou Stuvia-crédit pour les résumés. Il n'y a pas d'adhésion nécessaire.
Focus sur l’essentiel
Vos camarades écrivent eux-mêmes les notes d’étude, c’est pourquoi les documents sont toujours fiables et à jour. Cela garantit que vous arrivez rapidement au coeur du matériel.
Foire aux questions
Qu'est-ce que j'obtiens en achetant ce document ?
Vous obtenez un PDF, disponible immédiatement après votre achat. Le document acheté est accessible à tout moment, n'importe où et indéfiniment via votre profil.
Garantie de remboursement : comment ça marche ?
Notre garantie de satisfaction garantit que vous trouverez toujours un document d'étude qui vous convient. Vous remplissez un formulaire et notre équipe du service client s'occupe du reste.
Auprès de qui est-ce que j'achète ce résumé ?
Stuvia est une place de marché. Alors, vous n'achetez donc pas ce document chez nous, mais auprès du vendeur jefvanhoudt. Stuvia facilite les paiements au vendeur.
Est-ce que j'aurai un abonnement?
Non, vous n'achetez ce résumé que pour €8,99. Vous n'êtes lié à rien après votre achat.
Peut-on faire confiance à Stuvia ?
4.6 étoiles sur Google & Trustpilot (+1000 avis)
53068 résumés ont été vendus ces 30 derniers jours
Fondée en 2010, la référence pour acheter des résumés depuis déjà 14 ans