Resume
Samenvatting Vector Calculus (FEB21023)
- Cours
- Établissement
Uitgebreide samenvatting van Vector Calculus (econometrie EUR)
[Montrer plus]
Vendeur
S'abonner
LeonVerweij
Avis reçus
Aperçu du contenu
Week 1Eigenwaarde en eigenvector
Zij A een n × n matrix. Een scalaire λ is een eigenwaarde als er een vector x bestaat,
waarvoor 𝑥 ≠ 0 en 𝐴𝑥 = 𝜆𝑥. In dit geval noemen we x een eigenvector.
Checken of getal eigenwaarde is
Getal is een eigenwaarde als de nulruimte van 𝐴 − 𝜆𝐼 ten minste één vector x bevat, 𝑥 ≠ 0
Eigenruimte
Zij A een n × n matrix en λ een eigenwaarde van A. De verzameling van alle eigenvectoren
behorend bij λ, samen met de nulvector, is de eigenruimte van λ in A, en noteren we als 𝐸!
Inhoud eigenruimte
Als 𝑥 een eigenvector is, is 𝑐𝑥 ook een eigenvector
Als 𝑦 ook een eigenvector is met de eigenwaarde 𝜆 van A, dan is elke lineaire combinatie
van 𝑥 en 𝑦, 𝑧 = 𝑐" 𝑥 + 𝑐# 𝑦, ook een eigenvector behorend bij de eigenwaarde λ van A
Dus voor matrix A met eigenwaarde λ zodanig dat 𝑥" , … , 𝑥$ allen eigenvectoren zijn, geldt
dat alle lineaire combinaties van 𝑥" , … , 𝑥$ ook eigenvectoren zijn, oftewel
𝑠𝑝𝑎𝑛(𝑥" , … , 𝑥$ ) ⊆ 𝐸!
Eigenruimte bepalen voor een gegeven eigenwaarde
Zij A een matrix met eigenwaarde λ. De eigenruimte 𝐸! bevat alle vectoren x zodat
(𝐴 − 𝜆𝐼)𝑥 = 0, oftewel de eigenruimte 𝐸! is de nulruimte van (𝐴 − 𝜆𝐼)
Eigenwaarde bepalen
Zij A een n × n matrix. De waarde λ is een eigenwaarde als ∃𝑥 ≠ 0 zodat 𝐴𝑥 = 𝜆𝑥
⟹ de nulruimte van(𝐴 − 𝜆𝐼) is niet leeg
⟹ (𝐴 − 𝜆𝐼) is niet inverteerbaar
⟹ de determinant van (𝐴 − 𝜆𝐼) is gelijk aan 0
Karakteristieke polynoom
De uitdrukking 𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼) noemen we de karakteristieke polynoom in λ
Karakteristieke vergelijking
De vergelijking 𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼) = 0 noemen we de karakteristieke vergelijking in λ
Hoofdstelling van de Algebra
Elk polynoom 𝑃(𝜆) van graad n is te schrijven als product van n lineaire factoren
𝑃(𝜆) = 𝑎(𝜆 − 𝑏" )(𝜆 − 𝑏# ) … (𝜆 − 𝑏% ) met 𝑎 ≠ 0 en 𝑎 en 𝑏& complexe getallen zijn
Algebraïsche multipliciteit
De algebraïsche multipliciteit van een eigenwaarde 𝜆 = 𝑐 is het aantal keer dat de factor
(𝜆 − 𝑐) voorkomt in de karakteristieke polynoom
Geometrische multipliciteit
De dimensie van een eigenruimte behorend bij de eigenwaarde λ, noemen we de
geometrische multipliciteit van de eigenwaarde λ
Eigenwaarde van driehoeksmatrices
De eigenwaarden van een driehoeksmatrix zijn de diagonaalelementen
Eigenwaarde van inverteerbare matrices
Een n × n matrix A is inverteerbaar ⟺ 0 geen eigenwaarde is van A
Spoor en determinant
Zij A een n × n matrix met eigenwaarden 𝜆" , … , 𝜆% die niet noodzakelijk allemaal verschillend
zijn. Er geldt spoor(𝐴) = ∑%&'" 𝜆& en det(𝐴) = ∏%&'" 𝜆&
Eigenwaarden van machten van matrices
Zij A een n × n matrix met eigenwaarde λ en bijbehorende eigenvector x, zodat
𝐴𝑥 = 𝜆𝑥, dan geldt
a) Voor een positief geheel getal m geldt dat 𝜆( een eigenwaarde is van 𝐴(
"
b) Als A inverteerbaar is dan is ! een eigenwaarde van 𝐴 )"
c) Als A inv is dan geldt voor elk geheel getal m dat 𝜆( een eigenwaarde is van 𝐴(
, Vectoren die geen eigenvectoren zijn
Zij A een n x n matrix met eigenvectoren 𝑣" , … , 𝑣( en bijbehorende eigenwaarden
respectievelijk 𝜆" , … , 𝜆( . Als 𝑥 ∈ ℝ% geschreven kan worden als een lineaire combinatie van
de eigenvectoren, oftewel 𝑥 = 𝑐" 𝑣" + ⋯ + 𝑐( 𝑣( , dan geldt voor elk geheel getal 𝑘 ≥ 0, en
als A inverteerbaar is ook voor elk geheel getal 𝑘 < 0, dat 𝐴$ 𝑥 = 𝑐" 𝜆"$ 𝑣" + ⋯ + 𝑐( 𝜆$( 𝑣(
Stellingen opdrachten
a) A is een nilpotente matrix (𝐴( = 0) ⟹ 𝜆 = 0 is de enige eigenwaarde
b) A is een idempotente matrix is (𝐴# = 𝐴) ⟹ 𝜆 = 1 en 𝜆 = 0 zijn de enige eigenwaarde
Week 2
Lineaire onafhankelijkheid van eigenvectoren
Zij A een n × n matrix en 𝜆" , … , 𝜆( verschillende bijbehorende eigenwaarden met
eigenvectoren respectievelijk 𝑣" , … , 𝑣( . De eigenvectoren 𝑣" , … , 𝑣( zijn lineair
onafhankelijk
Gelijksoortigheid
De n × n matrices A en B zijn gelijksoortig als er een inverteerbare n × n matrix P bestaat
zodat 𝑃)" 𝐴𝑃 = 𝐵. In dat geval schrijven we 𝐴 ~ 𝐵
Equivalentie relatie gelijksoortigheid
Zij A, B en C n × n matrices, dan geldt
a) 𝐴 ~ 𝐴
b) als 𝐴 ~ 𝐵 dan 𝐵 ~ 𝐴
c) als 𝐴 ~ 𝐵 en 𝐵 ~ 𝐶 dan 𝐴 ~ 𝐶
Eigenschappen van gelijksoortige matrices
Zij A en B n × n matrices zodat 𝐴 ~ 𝐵, dan geldt
a) 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 𝑑𝑒𝑡(𝐵)
b) A is inverteerbaar ⟺ B inverteerbaar is
c) 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐴) = 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐵)
d) A en B hebben dezelfde karakteristieke polynoom
e) A en B hebben dezelfde eigenwaarden
f) 𝐴( ~ 𝐵( voor elk geheel getal 𝑚 ≥ 0
g) Als A inverteerbaar is dan 𝐴( ~ 𝐵( voor elk geheel getal m
Matrices kunnen aan alle eigenschappen voldoen maar niet gelijksoortig zijn
Als aan tenminste 1 eigenschap niet voldaan wordt, zijn de matrices niet gelijksoortig
Diagonaliseerbaarheid
Een n × n matrix A is diagonaliseerbaar als er een diagonaalmatrix D bestaat zodat 𝐴 ~ 𝐷
oftewel, als er een inverteerbare matrix P en diagonaalmatrix D bestaan zodat 𝑃)" 𝐴𝑃 = 𝐷
Diagonalisatie en eigenwaarden en eigenvectoren
Een n × n matrix A is diagonaliseerbaar ⟺ er 𝑛 lineair onafhankelijke eigenvectoren
behoren bij A
Om precies te zijn, ∃ 𝑖𝑛𝑣 𝑃 en diagonaalmatrix D zodat 𝑃)" 𝐴𝑃 = 𝐷 ⟺ de kolommen van P
bestaan uit 𝑛 lineair onafhankelijke eigenvectoren van A en de diagonaalelementen van D
respectievelijk de bijbehorende eigenwaarden zijn
𝑛 verschillende eigenwaarden
Als A een n × n matrix is met n verschillende eigenwaarden dan is A diagonaliseerbaar
Bases van eigenruimtes stelling
Zij A een n × n matrix met verschillende eigenwaarden 𝜆" , … , 𝜆$ . Als 𝛽& een basis is voor de
eigenruimte 𝐸!! dan zijn de vectoren in verzameling 𝛽 = 𝛽" ∪ … ∪ 𝛽$ lineair onafhankelijk
Algebraïsche en geometrische multipliciteit
Zij 𝜆 een eigenwaarde van de n × n matrix A. De geometrische multipliciteit van 𝜆 is kleiner
of gelijk aan de algebraïsche multipliciteit
Les avantages d'acheter des résumés chez Stuvia:
Qualité garantie par les avis des clients
Les clients de Stuvia ont évalués plus de 700 000 résumés. C'est comme ça que vous savez que vous achetez les meilleurs documents.
L’achat facile et rapide
Vous pouvez payer rapidement avec iDeal, carte de crédit ou Stuvia-crédit pour les résumés. Il n'y a pas d'adhésion nécessaire.
Focus sur l’essentiel
Vos camarades écrivent eux-mêmes les notes d’étude, c’est pourquoi les documents sont toujours fiables et à jour. Cela garantit que vous arrivez rapidement au coeur du matériel.
Foire aux questions
Qu'est-ce que j'obtiens en achetant ce document ?
Vous obtenez un PDF, disponible immédiatement après votre achat. Le document acheté est accessible à tout moment, n'importe où et indéfiniment via votre profil.
Garantie de remboursement : comment ça marche ?
Notre garantie de satisfaction garantit que vous trouverez toujours un document d'étude qui vous convient. Vous remplissez un formulaire et notre équipe du service client s'occupe du reste.
Auprès de qui est-ce que j'achète ce résumé ?
Stuvia est une place de marché. Alors, vous n'achetez donc pas ce document chez nous, mais auprès du vendeur LeonVerweij. Stuvia facilite les paiements au vendeur.
Est-ce que j'aurai un abonnement?
Non, vous n'achetez ce résumé que pour €6,99. Vous n'êtes lié à rien après votre achat.
Peut-on faire confiance à Stuvia ?
4.6 étoiles sur Google & Trustpilot (+1000 avis)
71498 résumés ont été vendus ces 30 derniers jours
Fondée en 2010, la référence pour acheter des résumés depuis déjà 14 ans