Samenvatting Functies van meer variabelen (Voortgezette Analyse)

V O O R T G E Z E T T E A N A L YS E
FUNCTIE S VAN ME E R VARIABE LE N

, FUNCTIES VAN MEER VARIABELEN

14.1 FUNCTIES VAN MEER VARIABELEN

Functies in de vorm 𝑦 = 𝑓(𝑥) leveren een grafiek in het xy-vlak op. Er kan ook een verband bestaan
die afhankelijk is van meer variabelen, zoals het volume van een cilinder.

Een functie van twee variabelen is een voorschrift dat aan ieder geordend paar (𝑥, 𝑦) uit een
verzameling 𝐷 ⊂ ℝ2 een waarde 𝑓(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ toevoegt. D is het domein van f en het bereik is gelijk
aan de functiewaarden {𝑓(𝑥, 𝑦)| (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷}. We schrijven ook vaak 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑧.

√𝑥+𝑦+1
Voorbeeld: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥−1
√3+2+1 1
𝑓(3,2) = = 2 √6
3−1
Maar wat mag je hier niet invullen uit ℝ2 ? De noemer mag niet 0 worden en de uitdrukking
onder de wortel moet altijd groter dan of gelijk aan 0 zijn.
𝑥≠1
Domein is daarom: { 𝐷𝑓 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 | 𝑦 ≥ −𝑥 − 1 ∧ 𝑥 ≠ 1}
𝑥+𝑦+1 ≥ 0

In het xy-vlak ziet het domein er zo uit zoals hiernaast.




Voorbeeld: Bepaal het domein van 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4√𝑥 − 5𝑦 .
𝑥 − 5𝑦 ≥ 0
−5𝑦 ≥ −𝑥
1
𝑦≤ 𝑥
5
1
𝐷 = {(𝑥, 𝑦) | 𝑦 ≤ 5 𝑥}


Voorbeeld: Bepaal het domein van 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥 2 + 𝑦 2 − 16
𝑥 2 + 𝑦 2 − 16 ≥ 0
𝑥 2 + 𝑦 2 ≥ 16
𝐷 = {(𝑥, 𝑦) | 𝑥 2 + 𝑦 2 ≥ 16}

𝑥+𝑦
Voorbeeld: Bepaal het domein van 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥−𝑦
𝑥−𝑦 ≠ 0
𝑦≠𝑥
𝐷 = {(𝑥, 𝑦) | 𝑦 ≠ 𝑥}

ln(2−𝑥)
Voorbeeld: Bepaal het domein van 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1−𝑥 2−𝑦2
1 − 𝑥2 − 𝑦 2 ≠ 0
𝑥2 + 𝑦 2 ≠ 1
Én 2−𝑥 > 0
−𝑥 > −2
𝑥<2
𝐷 = {(𝑥, 𝑦) | 𝑥 2 + 𝑦 2 ≠ 1 ∧ 𝑥 < 2}



2

, Als f een functie van twee variabelen is waarvan het domein D is, dan is de grafiek van f de
verzameling van alle punten (𝑥, 𝑦, 𝑧) in ℝ3 zodat 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) en (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷.

Voorbeeld: Schets de grafiek van de functie 𝑓(𝑥, 𝑦) = 6 − 3𝑥 − 2𝑦 ofwel 𝑧 = 6 − 3𝑥 − 2𝑦. Dit is een
vlak. Daarom gaan we op zoek naar de snijpunten met de assen.
Als 𝑧 = 0 en 𝑦 = 0 Als 𝑧 = 0 en x= 0 Als 𝑥 = 0 en 𝑦 = 0
6 − 3𝑥 = 0 6 − 2𝑦 = 0 𝑧=6
−3𝑥 = −6 2𝑦 = −6 Dus (0,0,6)
𝑥=2 𝑦=3
Dus (2,0,0) Dus (0,3,0)




Voorbeeld: Schets de grafiek van de functie 𝑓(𝑥, 𝑦) = √9 − 𝑥 2 − 𝑦 2
9 − 𝑥2 − 𝑦 2 ≥ 0
𝑥2 + 𝑦 2 ≤ 9
𝐷𝑓 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 | 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 9} en 𝐵𝑓 = [0,4].




Voorbeeld: Bepaal het domein en bereik van 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥 2 + 𝑦 2 en schets de grafiek.
𝐷𝑓 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 } en 𝐵𝑓 = [0, ∞).

Als 𝑥 = 0 dan 𝑧 = 𝑦 2 in het yz-vlak (uitgestrekte parabool).
Als 𝑦 = 0 dan 𝑧 = 4𝑥 2 in het xz-vlak.
In het xy-vlak hebben we een parabool 4𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑘.

De grafiek ziet eruit zoals hiernaast en hier spreken we van een elliptische paraboloïde.


De niveaukromme van een functie f van twee variabelen zijn de krommen met vergelijking
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑘 waarbij k constant is en 𝑘 ∈ 𝐵𝑓 . Waar twee niveaukrommen dicht bij elkaar liggen
betekent dit dat de oppervlakte steil is. Als je over een contourlijn ‘loopt’ zal je niet stijgen/dalen. Deze
lijn laat zien waar de functie allemaal de waarde k heeft.




3