Resume

Samenvatting Wiskundige Methoden I (Calculus)

2 fois vendu

Cours
Wiskundige methoden in de fysica I

Établissement
Universiteit Antwerpen (UA)

Het vak wiskundige methoden in de fysica I wordt gegeven door David Eelbode aan de universiteit van Antwerpen. Het gedeelte calculus wordt gegeven aan de fysici en wiskundige.

[Montrer plus]

Aperçu 3 sur 28 pages

Voir l'exemple

Publié le 20 décembre 2022
Nombre de pages 28
Écrit en 2021/2022
Type Resume

€5,49

Ajouter au panier

Ajouter au liste de veux

Garantie de satisfaction à 100%
Disponible immédiatement après paiement
En ligne et en PDF
Tu n'es attaché à rien

MOHAMED LAH AA FYSICA BAI
SAMENVATTING WISKUNDIGE METHODEN VOOR DE FYSICA I ( CALCULUS )
HOOFDSTUK (I) LIMIETEN EN CONTINUÏTEIT IN EEN PUNT :

DEFINITIE :

Z f :D → IR EEN FUNCTIE MET DOMEIN D, EN BESCHOUW QE D. DE FUNCTIE IS CONTINU IN Q ALS EN SLECHTS ALS : y
n >

( HE > 0) ( 75 > 0) ( H ✗ C- D) ( IX -
al < S | 5-( x ) -
5- (a) < E ) „ a) + { is • Y = -5(×)

5- ( a) -0

|
5-(a) EN-

°

DE FUNCTIE -5 IS DAARAANTEGEN DISCONTINU IN Q ALS EN SLECHTS Als :

( 7E > 0) (VS > 0) (2x c- D) ( 1×-01<8 EN lfcx) 5- (a) 1-
≥ E)
>
a ;] ;[ ÷, ×

VOORBEELDEN :

1) TOON AAN DAT DE FUNCTIE 5- (x ) = 2X -
3 CONTINU IS IN ✗ = 4 .

GEG : 5- (x) = 2×-3 ,
✗ = 4 E>0
,

GEV : S = ?

/ 2×-3-51=12×-81--21×-41 8=
OPL Ifcx) 5- (4) 1 28 E 28 Ez ☒
: -
= < =

2) TOON AAN DAT ✗ t> Mxtb CONTINU IS IN ALLE QEIR .

1m18
lf (x) 5- (a) 1 bl IMX mal 1m11 al E. = 1m18 S
§ ☒
- = 1m ✗ + b- MQ -
= - = ✗ -
< =

,

2
3) GEBRUIK DE ( E ) S) DEFINITIE OM AAN TE TONEN DAT - ✗ t> ✗ CONTINU IS IN ALLE QEIR .

lfcx) -
f- (a) 1--1×2-021 = 1×-011×+01 =) 1 ✗ + al = IX -
Q 1- Zal ≤ 1 ✗ -
al 1- 21 QI ( St 2191

< 8 ( St 21011 ) ENKEL + WANT S> 0

Í
" '
821-2101 St E
'

E = 82+210118 ⇐) = 0
f =
-
2101 4012 -
4E =
-
1 al + 02 -
E f = -1011 t 012 -
E ☒
2

4) GEBRUIK DE ( Eis) DEFINITIE OM -
AAN TE TONEN DAT DE FUNCTIE ✗ t> OF CONTINU IS IN [ o, o [ .

Als 01=0 :

lfcx) -
5- (a) 1 = IN 1 = RT < g E= TE S = EZ
ALS Q =/ 0 :

lfcx) -
fca) / = IVI - Tal =
( rx -
ra) ( Atta)
( rx 1- Ta)
= 1 ✗

rxt ra
- al ≤ 1x -

ra
al <
¥ E =

¥ 5- TQE ☒

↳ × ≥0

'
5) GEBRUIK DE ( Eis) DEFINITIE -
OM AAN TE TONEN DAT DE FUNCTIE ✗ t> ✗2+1 CONTINU IS IN HET PUNT Q = 1 .

( V2 ) ( V2 ) ✗21-1
'

|
' '
✗ 21-1 2
/ fcx) f- (a) / = ✗ 2+1 12+1 ✗ 2+1
*
1×2-11 1×-111×+11
-

-
- = -
= ≤ =
'

( V2 ) ✗ 21-1 * V2
'

✗ 2+1 *

E-TÌO Er >0

1×-1+21 ≤ 1×-11+2<8+2 If ( x ) S ( 8+2) 8+25=38
1×+11 = = ) -5 (a) 1 < ≤ g ≤
§
-

EIS SÉI
5- min
{Ç } .
' ☒

6) GEBRUIK DE ( Eis) DEFINITIE OM AAN TE TONEN DAT DE FUNCTIE ✗
-
t> 1×1 CONTINU IS IN ALLE QEIR .

/ 5- (x) -
5- (a) 1=11×1 -
101 / ≤ 1 ✗ -
al <
f 8 = E

EIGENSCHAP :

PAAR HANDIGE EIGENSCHAPPEN DIE JE KAN GEBRUIKEN B ABSOLUTE WAARDES :

(I) / Qbl = 101 Lbl -
(I) / Qtbl ≤ tal + lbl (II) 11011 -
lbl 1 ≤ IQ bl -

STELLING :

ALS f : Df → IR CONTINU IS IN QE Dt EN g :
Dg → IR CONTINU IS IN 5- (a) , EN ALS { tcx ) : ✗ C- Dt } (
Dg ,

DAN IS DE SAMENSTELLING gof :
Df -3112 CONTINU IN Q .

Ĳ Ĳ

, STELLING :

BESCHOUW TWEE REËLE FUNCTIES f EN 9 , BEIDEN CONTINU IN QE IR .
DAN GELDT :

( I) ftg ,
f- g EN
-

tg Z N CONTINU IN Q

(I) ALS 9 (a) ≠ 0 DAN IS t/ CONTINU IN Q
, g
(II) If I IS CONTINU IN Q

STELLING :

ALS f CONTINU IS IN QE Df EN -5 (a) =/ 0 DAN BEHOUDT DE FUNCTIE 5- HAAR TEKEN IN EEN OMGEVING VAN Q ( ] a- S, at I [)
,
.

BWS :

( HE > 0) ( 78 > 0) ( Y ✗ C- D) ( 1 ✗ - al < S If (x) -
fca) 1 < E) 0 < 5- (a) -
E < 5- ( x ) ( f ( a) t E

KIES E =
1-25 ( a) >0 : 1 ✗ al- < f 5- (a) -
E =
1-2 5- (a) < f ( x) KIES E. = -

1-2 5- ( a) =
S : 5- (x) ( f (a) + E = 5- (a) t
f¥ =
¥) < 0
↳ POSITIEF

DEFINITIE :

Z f :D -3112 EEN FUNCTIE MET DOMEIN D , EN BESCHOUW QED .
DE FUNCTIE f IS RECHTS CONTINU IN Q ALS EN SLECHTS ALS :

( HE > 0) ( 7s > 0) ( ✗ C- D) ( Q ≤ ✗ < a +8 1 5- (x) -
5- (a) t < E)

DE FUNCTIE 5- IS LINKS CONTINU IN Q ALS EN SLECHTS ALS :

( HE > 0) ( 7s > 0) ( ✗ C- D) ( Q 8 <
-
✗≤ Q lfcx) -
5- (a) t ( E)

STELLING :

EEN FUNCTIE f :D → IR IS CONTINU IN Q C- D ALS EN SLECHTS ALS f LINKS -
EN RECHTSCONTINU IS IN Q .

DEFINITIE :

EEN REËLE FUNCTIE 5- IS BEGRENSD IN EEN DEELVERZAMELING DE Dt VAN HAAR DOMEIN ALS EN SLECHTS ALS ER TWEE REËLE GETALLEN

M EN M BESTAAN ZODANIG DAT
,
: U✗ C- D : m ≤ 5- (x) ≤ M MEN NOEMT M EEN ONDERGRENS EN M EEN BOVENGRENS VOOR 5- IN D .
,

•
CONTINUE FUNCTIES WORDEN NAAR BOVEN EN ONDERBEGRENSD

◦
EENZ DIG CONTINUE FUNCTIES WORDEN SLECHTS EEN VAN BEIDE BEGRENSD

• DISCONTINUE FUNCTIES Z N ONBEGRENSD

STELLING :

INDIEN EEN NIET LEDIGE VERZAMELING AC IR NAAR BOVEN BEGRENSD IS , DAN HEEFT A EEN KLEINSTE
-
BOVENGRENS OF SUPREMUM 7 :

Ha c- A : a ≤
§ VOORBEELD :
{ }
'
SUPCA ) 1
G SUP ( A) A i
j
= ..
=
= , ,
. . .
, , ,
.

{ > 0) (jas c- A) ( G -

E < QS < &

STELLING :

INDIEN EEN NIET LEDIGE VERZAMELING AC IR NAAR
-
ONDER BEGRENSD IS , DAN HEEFT A EEN GROOTSTE ONDERGRENS OF INFIMUM Y :

{
" c- A : " ≥ M VOORBEELD :
y = WE ( A) A =
{ 1 , ± 1-3 ,
,
. . .

, j ,
. ..

} INFCA ) =
0

(HE > 0) ( Jai C- A) ( Mt E > ai ≥
M)

DEFINITIE :

EEN REËLE FUNCTIE f :D → IR IS CONTINU IN D ALS EN SLECHTS ALS DIE CONTINU IS IN ELK PUNT QED VAN HAAR DOMEIN .

ĳĲĲ Ĳ

, STELLING :

INDIEN EEN FUNCTIE f : [ a , b] → IR CONTINU IS IN HET INTERVAL [a , b] , DAN IS f OOK BEGRENSD IN [a , b ] .

BWS :

STAP 1) VERDEEL [al b] IN 10 GEL KE STUKKEN → KIES EEN INTERVAL [Qi ,
b , ] WAAROP fcx) ONBEGRENSD IS .

STAP 2) VERDEEL [Qi , b ,] IN 10 GEL KE STUKKEN → KIES EEN INTERVAL [Qz
, bz] WAAROP f-(x ) ONBEGRENSD IS .

HERHAAL DIT N KEER → ↑ [ Qn , bn] =
{r} MET RE [a , b] ( CANTOR INTERSECTIONTHEOREM) .

n= ,

PER DEFINITIE GELDT : ( HE >0) ( JS >0 ) ( f ✗ C- D) ( r S - (✗( rts 5- ( r ) -
E < -5 (x ) ( 5- ( r ) t E)

DIT WIL ZEGGEN DAT 5- (x ) IS BEGRENSD OP ] f- 8 , rt S [ KIES n C- IN MET [an , bn] ( ] r 8, -
r + JE ,
,

}
DAN : (I ) 5- (x ) ONBEGRENSD IN [Qnibn] 5- (× ) IS BEGRENSD
tegenstr dig ! AANAME VERKEERD .

(I) 5- (x) BEGRENSD IN [an , bn ]

STELLING ( WEIERSTRASS) :

ALS f : [a , b] → IR CONTINU IS , DAN HEEFT -5 OP [a , b ] EEN MAXIMUM EN EEN MINIMUM .

BWS :

VOOR FUNCTIE 5 DIE CONTINU IS IN [aib] BESTAAT ER EEN BOVENGRENS M lfx c- [Qib] : 5- (x ) ≤ M
, .

WE BEWEREN DAT ER EEN CE [a , b] BESTAAT ZODAT 5- ( c) = M .

WE DEFINIEEREN DE FUNCTIE b ] → IR : ✗ H (x) : = M 5- ( x)
g :[
: a,
-

.

- '
CONTINU EN STRIKT POSITIEF ( IRÒ ) , ER GELDT OOK DAT ( 9(x)) CONTINU IS OP [a , b]
g IS BEGRENSD
.

,

ER BESTAAT DUS EEN SUPREMUM BE / R ZODANIG DAT
# m.ly
=
,
≤ 9 ,
ER GELDT OOK : M -
f (x ) ≥
§ M -

§ ≥ 5- (x ) .

WE HEBBEN EEN BOVENGRENS GEVONDEN DIE STRIKT KLEINER IS DAN M , DIT IS IN TEGENSPRAAK ! ER BESTAAT EEN CE [aib] ZODANIG DAT 5- ( c ) = M .

DEFINITIE :

( I) WE NOEMEN EEN FUNCTIE f : ✗ → Y EEN INJECTIE VAN ZODRA AAN ÉÉN VAN DE VOLGENDE VOORWAARDEN VOLDAAN IS :

•
U ✗1 ,
✗ 2 C- ✗ : f(✗ , ) = f- ( ✗ 2 ) ×, = ✗2

•
U ✗1 ,
✗ 2 C- ✗ :
× , ≠ ✗2 f (k ) ≠ 5- (x2 )

BESTAAT ER HOOGSTENS ÉÉN ELEMENT ✗ C- ✗ WAARVOOR GELDT DAT 5- ( x )
VOOR ELK ELEMENT
y EY y
• =
.

( I) WE NOEMEN EEN FUNCTIE f : ✗ → Y EEN SURJECTIE VAN ZODRA AAN ÉÉN VAN VOLGENDE VOORWAARDEN VOLDAAN IS :

•
H c- Y, 3- ✗ C- ✗ : f ( x) =
y
•
f(x) = Y

VOOR ELK ELEMENT BESTAAT ER MINSTENS ÉÉN ELEMENT ✗ C- ✗ WAARVOOR GELDT DAT 5- (x )
y EY y
• =
.

( II) WE NOEMEN EEN FUNCTIE f: ✗ → Y EEN B ECTIE VAN ZODRA AAN ÉÉN VAN VOLGENDE VOORWAARDEN VOLDAAN IS :

•
f IS ZOWEL EEN INJECTIE ALS EEN SURJECTIE

•
H C- Y, 7 ! ✗ C- ✗ : 5 (x ) = y

•
VOOR ELK ELEMENT
y EY BESTAAT ER PERCIES ÉÉN ELEMENT ✗ C- ✗ WAARVOOR GELDT DAT 5- (x ) =
y .

" "
"
. .
.

.
.
.
. .

- _

. . .
.

"
"

, ,
.

INJECTIE SURJECTIE B ECTIE

VOORBEELDEN :

1) DE FUNCTIE ✗t 3×+2 IS EEN INJECTIE 3011-2 = 351-2 =) Q = b f. ( a) = 5- ( b)

2) DE FUNCTIE ✗ t ✗
2
IS GEEN INJECTIE 012 = 5 ☒ = TE ±Q = ±b a = b, a = -
b I

3) DE FUNCTIE f : IR → [ I -

, I] : ✗ t COS ( X) IS GEEN INJECTIE , WANT ELK GETAL 1×1 ≤ 1 HEEFT ONEINDIG VEEL ORGINELEN .

Ĳ
ĳĳ Ĳ

ĳ

Les avantages d'acheter des résumés chez Stuvia:

Qualité garantie par les avis des clients

Les clients de Stuvia ont évalués plus de 700 000 résumés. C'est comme ça que vous savez que vous achetez les meilleurs documents.

L’achat facile et rapide

Vous pouvez payer rapidement avec iDeal, carte de crédit ou Stuvia-crédit pour les résumés. Il n'y a pas d'adhésion nécessaire.

Focus sur l’essentiel

Vos camarades écrivent eux-mêmes les notes d’étude, c’est pourquoi les documents sont toujours fiables et à jour. Cela garantit que vous arrivez rapidement au coeur du matériel.

Foire aux questions

Qu'est-ce que j'obtiens en achetant ce document ?

Vous obtenez un PDF, disponible immédiatement après votre achat. Le document acheté est accessible à tout moment, n'importe où et indéfiniment via votre profil.

Garantie de remboursement : comment ça marche ?

Notre garantie de satisfaction garantit que vous trouverez toujours un document d'étude qui vous convient. Vous remplissez un formulaire et notre équipe du service client s'occupe du reste.

Auprès de qui est-ce que j'achète ce résumé ?

Stuvia est une place de marché. Alors, vous n'achetez donc pas ce document chez nous, mais auprès du vendeur MohamedLakjaa. Stuvia facilite les paiements au vendeur.

Est-ce que j'aurai un abonnement?

Non, vous n'achetez ce résumé que pour €5,49. Vous n'êtes lié à rien après votre achat.

Peut-on faire confiance à Stuvia ?

4.6 étoiles sur Google & Trustpilot (+1000 avis)

67479 résumés ont été vendus ces 30 derniers jours

Fondée en 2010, la référence pour acheter des résumés depuis déjà 15 ans

Commencez à vendre!