Resume

Samenvatting Wiskundige Methoden I (Lineaire Algebra)

0 fois vendu

Cours
Wiskundige methoden in de fysica I

Établissement
Universiteit Antwerpen (UA)

Het vak wiskundige methoden in de fysica I wordt gegeven door David Eelbode aan de universiteit van Antwerpen. Het gedeelte lineaire algebra wordt gegeven aan de fysicie.

[Montrer plus]

Aperçu 3 sur 22 pages

Voir l'exemple

Publié le 20 décembre 2022
Nombre de pages 22
Écrit en 2021/2022
Type Resume

€5,49

Ajouter au panier

Ajouter au liste de veux

Garantie de satisfaction à 100%
Disponible immédiatement après paiement
En ligne et en PDF
Tu n'es attaché à rien

MOHAMED (ANJAA FYSICA BA 1
SAMENVATTING WISKUNDIGE METHODEN VOOR DE FYSICA I ( LINEAIRE ALEGBRA)
HOOFDSTUK (I) VECTORRUIMTEN :

DEFINITIE :

EN t ' ( VERMENIGVULDIGEN EN OPTELLEN ) IS EEN VELD ALS ER VOLDAAN IS AAN VOLGENDE VOORWAARDEN :
'
EEN VERZAMELING IK VOORZIEN VAN 2 BEWERKINGEN '
•
'

(V1 ) Ha , b C- Ik : Q +5 = bto (VS) Ha , b. C- IK : Q . b = b- Q (V6) Ha , b , c C- Ik : (a b)
. .
( = Q .
(b -
c)

(VZ) Ha , b , c C- Ik : ( at b) + ( = a+ ( btc ) ( V7) 71 C- Ik : 1 .
Q = a

(V3) 70E Ik : Qt 0 = Q (V8) Va 4- Ik 4710E QE IK ZODAT
'
Q . a-
'
= 1

(V4) QQ C- Ik 3- C- a) C- IK ,
ZODAT Q+ C-a) = 0 (V9) to b - ' .
( btc) = a. b + a. c

DE VERZAMELING IR IS EEN VELD EN DE VERZAMELING ¢ IS OOK EEN VELD , ALS WE NIET SPECIFICEREN OF HET OM IR OF E GAAT SPREKEN WE VAN IK .

DEFINITIE :

EEN VERZAMELING V VOORZIEN VAN 2 BEWERKINGEN + : V V tv : ( r, w) f) ✓ + w EN
• : Ik ✗ V 1-7 V : ( Niv) NOEMEN WE EEN VECTORRUIMTE INDIEN AAN
✗
µ . ✓

VOLGENDE EISEN VOLDAAN IS :

(D1) ✗ (It I) DE 1-1 K

}
( A1) COMMUTATIEF It I = w_ + [ MET f , I , I EV =

( A2) ASSOCIATIEF 4- + ( [ twee ) = ( a- + E) tw ( DZ) DISTRIBUTIEF ( It N) I = DE + Nk

(A 3) NULVECTOR (7E tv ) ( It I = [ = e. + E ) ( D}) t ( NE) = ✗µ I

( AH) TEGENGSTELDE VECTOR ( KIEV ) ( 3- It C- V ) ( It It = 0 = It + I) (N ) NORMALISATIE (1E IK ) ( I . I = E) ( IEV)

DE ELEMENTEN VAN DE VECTORRUIMTE NOEMEN WE VECTOREN ( NOTATIE : I , I , . .. ) , DE ELEMENTEN IN 1k WAAR WE VECTOREN MEE VERMENIGVULDIGEN NOEMEN WE SCALAIREN .

VOORBEELDEN :

( I) DE VERZAMELING IR MET ALS BEWERKINGEN DE GEWONE OPTELLING EN VERMENIGVULDIGING .

GEWONE OPTELLING EN UERMENINGVULDEGING '
t
'
: ( I) + (E) = (It I) EN d (I ) = ( tv )

(Dl ) ( I ) t ( Y) = (I + E) = ( ie) t (I ) = ( ie + I) Ok ! (D1) t ( Itv) = JE + Ik ok !

(DZ) ( I ) t ( Ktr) = ( It E) + I ok ! ( Dd) I ( dt µ) = JE t NI ok !

( D}) ( f ) + Q = (I ) I = (o) ok ! (D}) ✗ (NE) = d WE ok !

( D4) ( I ) t ( It) = I ( It ) = -
I ok ! ( N) 1 [ . = [ ok !

WE MOESTEN EIGEL K NIET EENS CONTROLEREN , VERZAMELING IR IS EEN VELD EN EEN VELD IS STRIKTER DAN EEN VECTORRUIMTE .
ELKE VELD IS EEN VECTORRUIMTE MAAR

NIET ELKE VECTORRUIMTE IS EEN VELD !

(I) STEL U = IRZ EN DEFINIEER EEN OPTELLING EN SCALAIRE VERMENIGVULDIGING ALS VOLGT : ( Ui , 42 ) t ( F , vz ) = ( Uit v1 , Uztrz) EN ✗ ( Ui , Uz) = ( bui , 0) VOOR DE IR .

IS V MET DEZE BEWERKINGEN EEN VECTORRUIMTE ?

(N) 1 I . = [ 1 ( r,
.
,
U,) = (4 ,
0) GEEN VECTORRUIMTE '
.

TIP :

ALS JE MOET BEW ZEN OF EEN VERZAMELING ONDER BEWERKINGEN '
•
'
EN
'
t
'
EEN VECTORRUIMTEN IS , CONTROLEER DAN NIET ALLE VOORWAARDEN DIRECT . K K EERST OPPERVLAKKIG

OF JE DIRECT AL EEN TEGENSTR DIG VOORBEELD KAN ZIEN ( 21E HIERBOVEN V52) .

STELLING :

IN EEN VECTORRUIMTE V GELDEN VOLGENDE EIGENSCHAPPEN :

( I) HET NEUTRAAL ELEMENT D- VOOR '
t
'
IS UNIEK .
BWS : 0-1 =
0-1+0<=0-2

(II) HET TEGENGESTELDE -
I VAN EEN VECTOR I IS UNIEK .
BWS : ALS ER 2 TEGENGESTELDE WAREN Ii EN w_2 , DAN WAS 4 , = I, + Itwz =
12

(II) V-bf.lk : de =D .
BWS: 11 =D ( 0-+1 ) = tot de de = I

(N) KIEV : 0 I .
= Q Bws: of = ( Oto) I = 0E + OI Of = Q
.

(V ) At c- Ik , I C- U : DE = I t=0 OF I = ≥ BWS: Als j = 2 EN ✗ ≠ 0, DAN IS I = b- I
'
= I OF Als 1=0 0 I . = I =) (Oto) I = 0ft Of OI = Q

ĳĲ ĲĲ Ĳ

, DEFINITIE :

EEN DEELVERZAMELING WCV VAN EEN VECTORRUIMTE V WORDT EEN DEELRUIMTE GENOEMD INDIEN W ZELF EEN VECTORRUIMTE IS ONDER DE RESTRICTIE VAN '
•
'
EN
'
t
'
IN V .

WE NOTEREN DAN W ✗ U .

VOORBEELDEN :

DE VERZAMELING Ik n [ ×] VAN POLYNOMEN VAN GMAD HOOGSTENS N IS EEN DEELRUIMTE VAN IK [×]

ÍR } [ ]
}
PCX) = ✗31-3✗ C- ×
IÂ} [ DEELRUIMTE
zp (× ) + q (×) = 6×-1 c- × ]

Q(x) = 1 -
2×3 c- IÎ}[ × ]

2) DE VERZAMELING Ik n [×] VAN POLYNOMEN VAN GMADN IS GEEN DEELRUIMTE VAN IK [×] .

IÂ } [ ]
}
✗31-3✗
¢ IRÌ[ GEEN DEELRUIMTE
P(x) = C- ×
]
2 P (× ) + Q (×) = 6×-1 ×

Q(x) = 1 -
2×3 c- j }
[× ]

STELLING :

EEN DEELVERZAMELING WCV VAN EEN VECTORRUIMTE V IS EEN DEELRUMTE ALS EN SLECHTS Als : Vd IK , HI , ≈ W INDIEN WXV , DAN IE VMW
, µ c- c- :
b + µy EW .
IS .

VOORBEELDEN :

BEW S OF U =
{( aibic) 1 Qibic C- IR , b = atc
} EEN DEELRUIMTE IS VAN 1123 .

4 ( al ) b-1 , (1) t N ( Q2 , bz , (2) = ( Ja , + NQZ | db , + µ bz , 14 + µ (z)

b1

}
= Q , + (1

✗ bt + Nbz =
dat + ✗ bi +
µ Qzt Nbz 0k DEELRUIMTE
bz =
az + <2

2) BEW S OF U =
{( a , b , c) 1 Qibic C- IR , b = a + < +1
} EEN DEELRUIMTE IS VAN 1123 .

✗ ( Qi , b, i G ) t µ ( Qz , bz , (z ) = ( dat t N°12 , tb , +
µ bz ,
dc, + µ (z )

}
b, Q , + ( | +1 ✗ C1 +
N C2 + 1 GEEN DEELRUIMTE
µ + t ≠ dat
=

tbl + Nbz = dat + N°2 + ✗ (i + N C2 + + NQZ +

gz = g.+ ↳ + ,

3) BEW S OF U =
{ao + a, ✗ 100 , al C- Ik } EEN DEELRUIMTE IS VAN 1kg [ ]
× .

✗ (a ◦ + Q ×) +
, µ ( bot bix) = da ◦ + Nbo + ✗ ( da , + Nbi) IS EEN DEELRUIMTE

WE WETEN DUS HOE WE KUNNEN CONTROLEREN OF IETS EEN DEELRUIMTE IS KUNNEN WE NU SCV DAT NIET EEN DEEL RUIMTE IS VAN V EEN DEELRUIMTE . VAN MAKEN ?

DEFINITIE :

STEL DAT ∅ ≠ SCV EEN NIET LEDIGE DEELVERZAMELING IS VAN V -
.

k

( I) EEN LINEAIRE COMBINATIE VAN ELEMENTEN IN 5 IS EEN VECTOR I VAN DE VORM I =
§ di Ii
,
,
MET di c- IK EN Ii ES ,
Hi .

MEN ZEGT DAT I LINEAIR AFHANKEL K IS VAN DE VECTOREN Ii , . . . .
) In .

(I) DE SPAN VAN S WORDT GEDEFINIEERD ALS DE VERZAMELING VAN ALLE LINEAIRE COMBINATIES VAN ELEMENTEN UIT 5 EN WORDT Als SPAN ( S) GENOTEERD .

Als 5 = ∅ DAN IS SPAN ( S ) = 0 ,
EN ALS S = {I} DAN IS SPAN ( S) = IKI .

DUS ALS S EEN DEELVERZAMELING IS VAN V , DAN IS DE SPAN ( S) DE DEELRUIMTE EN ZEKER OOK EEN VECTORRUIMTEN .

EIGENSCHAP :

VOOR ELKE NIET LEDIGE 0 ≠ S CV GELDEN VOLGENDE EIGENSCHAPPEN :
-

(I) SPAN ( S) ✗ V

( II) SPAN ( S) IS DE KLEINSTE DEELRUIMTE VAN V DIE S OMVAT ; ALS W ✗ V EN SCW DAN ZAL OOK SPAN ( S ) ✗ W .

VOORBEELD :

IS VECTOR 5- = ( 21212) EEN LINEAIRE COMBINATIE VAN VECTOREN 4- = (0 , -2 , 2) EN I = ( 113 , -
l) ?

( 2 , 2,2) = > (0, -212) + NU , 3 ,-1)

↳

{
2 = µ
2 = -
2X + 3µ µ= 2 EN ✗ = 2 JA 5- IS EEN LINEAIR COMBINATIE VAN I EN L .

26 ↳ 2 (0, -212) + 2 ( 1 3 -1) ( 2,2 , 2)
2 =
-

µ , ,
=

Ĳ
ĳĳ Ĳ
Ĳ Ĳ

, WE KUNNEN OOK DEELRUIMTEN VAN V MAKEN DOOR OPERATIES UIT TE VOEREN OP TWEE DEELRUIMTEN W , EN Wz WE DEFINIEREN VOLGENDE BEWERKINGEN OP DEELRUIMTEN :
,

(I) DOORSNEDE VAN DEELRUIMTEN

EIGENSCHAP :

ALS V1 EN V2 DEELRUIMTEN Z N VAN V, DAN GELDT OOK DAT V1 N V2 ✗ V. OF ALGEMEEN Hi EI : Vi < V Vi = V1 N Van . ..
n Vi ✗ V .

i

BWS : ( I ) IE V1 DE V2 DE UMW
,

(I) EU , EN a- +
b- E V2 ± + b- C- V, MW ,
, ≥ c- U , M V2 a- +
≥

(II) ✗ a- E V1 ,
✗ a- E V2 ✗ a- E V1 ^ V2

(I) SOM VAN DEELRUIMTE

DEFINITIE :

INDIEN V1 EN V2 DEELRUIMTEN Z N VAN V , DAN DEFINIEERT MEN DE SOM ALS DE VERZAMELING : Vy t V2 : =
{ a- + b- : a- C- V1 ,
b- C- V2 }✗ V

BWS : ( I) I C- V1 I C- V2 It I = IE V1 t V2
,

(I ) ✗ (V1 + V2 ) = ✗ V1 + ✗ V2 C- V1 + V2

(III) ( , + b-i) t ( a-21-12) = ( ± , +12 ) t ( D- it b- 2) C- V1 + V2 WANT ( El +12 ) E V1 EN ( $ , + b- 2) C- V2

LET OP V1 U V2 IS GEEN DEEL RUIMTE ! LAAT ONS EEN TEGENVOORBEELD GEVEN :

VOORBEELD :

STEL DAT U = 1122 , A, B ✗ V MET A = { (5) la EIR} EN B= { ( is ) / btlr } , IS A U B EEN DEEL RUIMTE ?

(f) c- AUB EN
( Y) c- AUB MAAR
(f) (Y ) ( t ) ¢
+ = AUB GEEN DEELRUIMTE !

EIGENSCHAP :

ALS V1 EN V2 DEELRUIMTEN Z N VAN V , DAN GELDT :

(I) SPAN ( V1 U V2) = V1 + V2

(I) V1 + V2 IS DE KLEINSTE DEELRUIMTE VAN V DIE V1 EN V2 BEVAT , ALS W < V EN Vi CW DAN ZAL het V2 ( W .

ALS A EN B DEELVERZAMELINGEN Z N VAN V , DAN GELDT : SPAN ( AUB) = SPAN ( SPAN (A) U SPAN (B) ) = SPAN (A) t SPAN (B) .

( E) DIRECTE SOM VAN DEELRUIMTEN

DEFINITIE :

VAN EEN VECTORRUIMTE V ZEGT MEN DAT ZE DE DIRECTE SOM IS VAN 2 DEELRUIMTEN V1 EN V2 ALS EN SLECHTS : U =
V1 t V2 EN V1 N V2 =
{Q}
MEN NOTEERT DAN V =
V1 ⊕ V2 EN NOEMT V2 HET COMPLEMENT VAN V1 IN V (EN ANDERSOM OOK ) .

VOORBEELD :

( { " ✗ 1×2} ) < IRS
}
We SPAN
{± }
=
w, +
wz = Ik [× ] < / Rg [× ] MAAR
} We ⊕ Wz ≠ 112 } [× ] WANT wel n Wz = SPAN ( {× , ✗
2
}) ≠

Wz = SPAN
({ × ✗ 3}) 41kg ✗ ,
2
,

DEFINITIE :
k
EEN VECTORRUIMTE V IS DE DIRECTE SOM VAN k DEELRUIMTEN Vi ✗ V , MET 1 ≤ i ≤ k , INDIEN : U =

,
Ui EN Ui M ( V1 t . . . + Uit 1 + Uit , + . . .
Uk ) = {Q} ,
Hi .

MEN NOTEERT DAN U = ⊕ ? =,
Vi = Ë Vi ⊕ Vk .

i = 1

STELLING :

VOOR EEN VECTORRUIMTE V EN k DEELRUIMTEN Uit V GELDT DAT U = ⑦i Ui ALS EN SLECHTS ALS ELKE VECTOR IN V OP UNIEK W ZE GESCHREVEN WORDEN

ALS I = E? = , Ii MET Ii C- Vi .

VOORBEELD :

(W' 3)
s
( " ✗ 1×21×7×4 ✗ ) ≠ { }

}
W , i = SPAN ( 1, ✗, ✗
2
) = > W' + WZ + W = SPAN U WZ UW = SPAN W, ⊕ Wz ⊕ W} WANT W, n wz nw} ≠
}

wz : = gp, µ ( ×} , ✗4 ×
, ,

W
}:
= SPAN ( 1 , ✗3 ) =) W, + Wz = SPAN (w , UW 2) = SPAN (1, × 2
,✗ , ✗
3
,
✗ 4
,
✗
s
) = W , ⊕ Wz WANT W, n Wz = { Q}

( N) PRODUCT VAN DEELRUIMTE

DEFINITIE :

VOOR 2 DEELRUIMTEN V1 EN V2 DEFINIEERT MEN DE PRODUCT RUIMTE V1 ✗ V2 ALS DE PRODUCT VERZAMELING WAAROP VOLGENDE BEWERKINGEN LIGGEN :

( Ii , [2 ) t ( Ki ,
Ez ) : =
( I , twi , Iztwz) EN ✗ (Ii , Iz) : = ( II, 112)
JE KAN MAKKEL K NA GAAN DIT DIT EEN VECTORRUIMTE IS
Ĳ
ĲĲ

Ĳ

Les avantages d'acheter des résumés chez Stuvia:

Qualité garantie par les avis des clients

Les clients de Stuvia ont évalués plus de 700 000 résumés. C'est comme ça que vous savez que vous achetez les meilleurs documents.

L’achat facile et rapide

Vous pouvez payer rapidement avec iDeal, carte de crédit ou Stuvia-crédit pour les résumés. Il n'y a pas d'adhésion nécessaire.

Focus sur l’essentiel

Vos camarades écrivent eux-mêmes les notes d’étude, c’est pourquoi les documents sont toujours fiables et à jour. Cela garantit que vous arrivez rapidement au coeur du matériel.

Foire aux questions

Qu'est-ce que j'obtiens en achetant ce document ?

Vous obtenez un PDF, disponible immédiatement après votre achat. Le document acheté est accessible à tout moment, n'importe où et indéfiniment via votre profil.

Garantie de remboursement : comment ça marche ?

Notre garantie de satisfaction garantit que vous trouverez toujours un document d'étude qui vous convient. Vous remplissez un formulaire et notre équipe du service client s'occupe du reste.

Auprès de qui est-ce que j'achète ce résumé ?

Stuvia est une place de marché. Alors, vous n'achetez donc pas ce document chez nous, mais auprès du vendeur MohamedLakjaa. Stuvia facilite les paiements au vendeur.

Est-ce que j'aurai un abonnement?

Non, vous n'achetez ce résumé que pour €5,49. Vous n'êtes lié à rien après votre achat.

Peut-on faire confiance à Stuvia ?

4.6 étoiles sur Google & Trustpilot (+1000 avis)

67479 résumés ont été vendus ces 30 derniers jours

Fondée en 2010, la référence pour acheter des résumés depuis déjà 15 ans

Commencez à vendre!