Autre
bewijzen van BOM
- Établissement
- Universiteit Antwerpen (UA)
samenvatting van de gekende bewijzen van beslissingsondersteunende methoden
[Montrer plus]
Aperçu du contenu
BewijzenBoek 1. Differentiaalvergelijkingen
Methode 3.2 (p. 32)
- Schrijf vergelijking in de vorm: y ' + M ( x ) y=N ( x )
- {∫ M ( x ) dx }
Bereken de tussenintegraal: G ( x )=exp
1
- Zo vinden we: AO . : y=
g(x)
[ C+∫ G ( x ) N ( x ) dx ]
Bewijs:
We nemen de afgeleide en kijken of die overeenstemt met de differentiaalvergelijking:
'
y + M ( x ) y=N ( x ).
Afleiden geeft ons:
y '=
[ 1
g( x) ]
[ C +∫ G ( x ) N ( x ) dx ] ' afgeleide van een product
( )
'
1 1
¿ . [ C +∫ G ( x ) N ( x ) dx ] + . [ C +∫ G ( x ) N ( x ) dx ] '
g(x) g (x )
−g ' ( x) 1
¿ . [ C+∫ G ( x ) N ( x ) dx ] + . g ( x ) N (x)
g ² (x ) g(x)
Voor de afgeleide functie van G ( x )=exp {∫ M ( x ) dx } geldt nu dat:
G ( x )=M ( x ) .G( x )
Bijgevolg kunnen we y’ verder vereenvoudigen tot
−M ( x)
¿ . [ C +∫ G ( x ) N ( x ) dx ] + N (x )
G(x)
y ' =−M ( x ) . y + N (x)
Eigenschap 4.1 (p. 54)
Voor elke homogene differentiaalvergelijking y ' ' + a y ' +by =0 geldt:
1. Y1(x) en y2(x) zijn oplossingen, dan is ook elke lineaire combinatie een oplossing van deze
homogene differentiaalvergelijking: C 1 . y 1 ( x ) +C 2 . y 2 ( x)
2. Y1(x) en y2(x) zijn onafhankelijke oplossingen, dan is de lineaire combinatie hiervan de AO
Bewijs:
1. Wanneer y1(x) en y2(x) beiden oplossingen zijn van dezelfde differentiaalvergelijking, dan
geldt:
'' ' '' '
y 1 + a y 1+b y 1 =0 en y 2 + a y 2+b y2 =0
Voor C 1 . y 1 ( x ) +C 2 . y 2 (x) krijgen we dan:
(C ¿ ¿ 1. y 1 ( x ) +C 2 . y 2 ( x))' ' +a( C ¿ ¿ 1 . y 1 ( x )+ C2 . y 2 ( x )) '+b (C ¿ ¿1 . y 1 ( x ) +C 2 . y 2 ( x))¿ ¿ ¿
¿ C 1 ( y 1 + a y 1+ b y 1 ) +C 2( y 2 +a y 2 +b y 2)
'' ' '' '
¿ C 1 .0+C 2 .0=0
Zodat dit een oplossing is voor de homogene differentiaalvergelijking
2. Wanneer deze onafhankelijk oplossingen zijn, geldt er:
y ( x )=C 1 . y 1 ( x ) +C2 . y 2 ( x) is een oplossing
y ( x )=C 1 . y 1 ( x ) +C2 . y 2 ( x) bevat 2 elementaire constanten (order is dus ook 2)
Bijgevolg zal dit de AO moeten zijn
Eigenschap 4.2 (karakteristieke vergelijking p.56)
, 1. Voor de homogene lineaire differentiaalvergelijking y ' ' + a y ' +by =0 luidt de karakteristieke
vergelijking λ 2+ aλ+b=0
2. Wanneer λ 0 een wortel is van de karakteristieke vergelijking, dan is de functie bepaald door
λ x
y ( x )=e een oplossing van de homogene differentiaalvergelijking
0
3. Wanneer λ 0 een dubbele wortel (D = 0) is van de karakteristieke vergelijking, dan is
bovendien ook de functie bepaald door y ( x )=x . e λ x een oplossing van de homogene 0
differentiaalvergelijking
Bewijs:
1. –
2
2. Wanneer λ 0 een wortel is van de karakteristieke vergelijking, dan geldt λ 0+ a λ0 +b=0
λ0 x 2 λ0 x
Voor de functie bepaald door y ( x )=e λ x geldt: y '= λ0 . e 0
en y ' ' =λ0 . e
Zodat y ' ' + a y ' +b y
2 λ0 x
¿( λ¿¿ 0 . e¿¿ λ0 x )+a .(λ ¿ ¿ 0 . e ¿ ¿ λ 0 x )+ b .(e )¿ ¿ ¿ ¿
¿( λ¿¿ 02 +a λ 0 +b). e λ x ¿ 0
λ x
¿ 0. e =0 0
De functie bepaald door y ( x ) is dus een oplossing van de homogene differentiaalvergelijking
3. Wanneer λ 0 een dubbele wortel is van de karakteristieke vergelijking, dan geldt
λ 0+ a λ0 +b=0 en ook 2 λ0 =−a
2
Voor de functie bepaald door y ( x )=x . e λ x geldt 0
y '=e λ x + λ0 . x . e λ x en y ' ' =2 λ 0 .e λ x + λ 20 . x .e λ
0 0 0 0 x
Zodat y ' ' + a y ' +b y
¿ (2 λ 0 . e )+ a .(e ¿ ¿ λ0 x+ λ0 . x . e ¿ ¿ λ0 x )+b . x . e λ x ¿¿
λ0x 2 λ0 x
+ λ0. x . e 0
¿ ( λ20 +a λ 0+ b ) . x . e + ( 2 λ0 + a ) . e
λ x 0
λ x 0
λ0 x λ0 x
¿ 0. x . e +0. e =0
Naast de functie bepaald door y ( x ) is dus ook de functie bepaald door y ( x ) een oplossing
van de homogene differentiaalvergelijking
Eigenschap 4.3 (niet-homogene lineaire differentiaalvergelijking p.63)
Niet-homogene lineaire differentiaalvergelijking: y ' ' + a y ' +by =g ( x)
Gelden volgende eigenschappen:
1. Wanneer y p (x ) een oplossing is van de niet-homogene of volledige LD, en y h ( x ) is een
oplossing van de overeenkomstige homogene LD, dan is de som
y h ( x )+ y p ( x ) ook een oplossing van de niet-homogene LD
2. Wanneer y p (x ) een particuliere oplossing is van de niet-homogene LD, en y h ( x ) is de
algemene oplossing van de overeenkomstige homogene LD, dan is de som
y= y h ( x ) + y p ( x ) de algemene oplossing van de niet-homogene LD
Bewijs:
1. Wanneer beiden een oplossing zijn, dan geldt:
y p' ' + a y p' +b y p =g (x) en y h' ' + a y h' +b y h =0
Voor de som y h ( x )+ y p ( x ) krijgen we dan
¿
¿ ( y + a y h + b y h ) +( y p' ' +a y p' +b y p)
h
'' '
¿ 0+ g ( x )=g(x )
Zodat dit ook een oplossing is van de volledige LD
2. Als de ene een P.O. is en de andere een A.O., geldt:
a) y= y h ( x ) + y p ( x ) is een oplossing van de niet-homogene LD
Les avantages d'acheter des résumés chez Stuvia:
Qualité garantie par les avis des clients
Les clients de Stuvia ont évalués plus de 700 000 résumés. C'est comme ça que vous savez que vous achetez les meilleurs documents.
L’achat facile et rapide
Vous pouvez payer rapidement avec iDeal, carte de crédit ou Stuvia-crédit pour les résumés. Il n'y a pas d'adhésion nécessaire.
Focus sur l’essentiel
Vos camarades écrivent eux-mêmes les notes d’étude, c’est pourquoi les documents sont toujours fiables et à jour. Cela garantit que vous arrivez rapidement au coeur du matériel.
Foire aux questions
Qu'est-ce que j'obtiens en achetant ce document ?
Vous obtenez un PDF, disponible immédiatement après votre achat. Le document acheté est accessible à tout moment, n'importe où et indéfiniment via votre profil.
Garantie de remboursement : comment ça marche ?
Notre garantie de satisfaction garantit que vous trouverez toujours un document d'étude qui vous convient. Vous remplissez un formulaire et notre équipe du service client s'occupe du reste.
Auprès de qui est-ce que j'achète ce résumé ?
Stuvia est une place de marché. Alors, vous n'achetez donc pas ce document chez nous, mais auprès du vendeur runedeschepper. Stuvia facilite les paiements au vendeur.
Est-ce que j'aurai un abonnement?
Non, vous n'achetez ce résumé que pour €3,09. Vous n'êtes lié à rien après votre achat.
Peut-on faire confiance à Stuvia ?
4.6 étoiles sur Google & Trustpilot (+1000 avis)
67096 résumés ont été vendus ces 30 derniers jours
Fondée en 2010, la référence pour acheter des résumés depuis déjà 14 ans