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Développement limités
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Cour : Développement limités
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chaymakarrarci
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CHAPITRE 17Développements l i m i tés
1 7. 1 Définition et généralités
Soit f une fonction de lR dans lR et xo E ÏR. On rappelle que l'on dit que f est
définie au voisinage de x0 s'il existe un voisinage V de x0 telle que V \ { xo}
soit inclus dans l'ensemble de définition de f. Si f est définie sur un voisinage
de xo alors elle est définie au voisinage de x0 . Une fonction définie au voisinage
de Xo est définie sur un voisinage de xo sauf peut-être en x0 . Dans ce chapitre,
on confondra au niveau des notations un polynôme et la fonction polynomiale
qui lui est associée, le contexte permettant toujours de lever l'ambiguïté.
DÉFINITION 1 7 . 1 Soient n un entier naturel et f une application définie au
voisinage de O. On dit que f admet un d éveloppement limité d 'ordre n en 0
(on note de façon abrégée DLn (O)) s 'il existe un polynôme P E IR[X] de degré
au plus égal à n, un voisinage V de 0 et une application t: définie sur V \ {O}
tels que
Vx E V \ {O} f ( x) = P( x) + Xn t: ( x) et lim t: ( x) = O .
X ->Ü
La fonction polynomiale P est appelée partie régulière du développement limité
d 'ordre n en O .
Remarques
1. La fonction R : x r---t xnt: ( x) est appelée reste du développement limité
d'ordre n en O. On a R( x) = f ( x) - P( x) = o0 ( xn).
2. Il est clair d'après la définition, que toute fonction polynomiale f admet
un développement limité à tout ordre en O. Si f ( x) = L::: Z'=o a k x k et n � m
alors la partie régulière du développement limité d'ordre n en 0 est la fonction
elle-même et le reste est la fonction nulle. Si n < m alors la partie régulière est
L�=O a k x k et le reste est
m m-n m -n
R( x) = L a k x k = xn L a k+nX k = Xn t: ( x) où t: ( x) = L a k+nX k .
k=n+l k=l k =l
,816 Définition e t généralités
3
Ainsi la fonction polynomiale f : x E lR f-> 2x + x + 4 admet un dévelop
pement limité à l'ordre 2 en 0 dont la partie régulière est x + 4 et elle admet
un développement limité à l'ordre 3 dont la partie régulière est 2x + x + 4 . 3
3. Si une fonction f admet un développement limité d'ordre n en 0 de p ar tie
régulière P alors pour tout C E N avec 0 � C � n, f admet un développement
limité d'ordre C en 0 dont la partie régulière est obtenue en ne considérant que
les monômes de degré au plus égal à C de P.
4. S 'il existe un polynôme P de degré au plus égal à n tel qu'au voisinage de Q
1
on ait < l
f(x) = P(x) + Oa(xn+ l ) (1)
alors on a a fortiori
f(x) = P(x) + oa(xn ) (2)
et P est la partie régulière du développement limité d'ordre n en 0 de f. Les
notations (1) et (2) sont toutes deux utilisées pour écrire un développement
limité. La première notation en dit plus sur le comportement de f au voisinage
de O. On dit qu'elle correspond à un développement limité d'ordre n en O au
sens fort de f. C'est l'écriture qui est utilisée par le logiciel de calcul formel
MAPLE pour exprimer les développements limités avec la commande t aylor.
> f : =x-> 2 * x - 3+x+4 :
> t aylor ( f ( x ) , x=0 , 3) ;
4+x+ Oo(x3 )
> t aylor ( f ( x ) , x=0 , 4) ;
4 + X + 2x 3
P ROPOSITION 1 7 . 1 (Unicité du développement limité)
Si une fonction f admet un développement limité d 'ordre n en 0, celui-ci est
unique.
Démonstration On utilise un raisonnement par l'absurde.
!:::: Supposons que f admette en 0 deux développements limités d'ordre n dis
tincts. Il existe alors un polynôme P1 E IR[X] de degré au plus égal à n, un
voisinage Vi de 0 et une application E 1 définie sur Vi \ { O } tels que
Vx E Vi \ { O } et lim E 1 (x) = O
x ---+ 0
et il existe un polynôme P2 E IR[X] de degré au plus égal à n , un voisinage Vi
de 0 et une application E 2 définie sur Vi \ { O } tels que
Vx E Vi \ { O } et lim E 2 (x) = O.
X --> Ü
(!)
Voir le chap. 1 5 pour des précisions sur les relations de comparaison O o et Oo .
, Développements limités 817
L'hypothèse que les deux développements limités sont distincts se traduit par :
Pt P Et E2 · Notons u = Vi n Vi ,
I::�=oPt ak X kP2 P2 I::�=o bk X k .2
ou bien =/:- ou bien = et =/:-
Pi = et =
Envisageons tout d'abord le cas où Pt P2 sur U \ {O} . Par différence des
!:'.'.: =
deux développements limités, on obtient
'Vx E U \ { O } .
Cela implique que Et E 2 sur U \ { O } . Les deux développements limités sont
=
donc égaux.
Supposons maintenant que Pt =/:- P2 et désignons par Q le polynôme ( non
!:'.'.:
nul ) Pt - P2 . La valuation de Q vérifie 0
v :::;; n et on a
v :::;;
Q(x) 0 (av - bv)xv .
rv
D'autre part pour tout x E U \ {O} , on a
Q(x) Pt(x) - P2 (x) (f (x) - Xn Et(x) ) - (f (x) - xn E2 (x) )
= =
= xn (E 2 (x) - Et(x)).
O n aboutit à l a contradiction suivante : Q(x) 0 (av - bv)x v et Q(x) oo(x n )
rv =
avec n ? Si la fonction polynomiale Q est équivalente au voisinage de 0 à
v.
(av - bv)x v alors on a xk o0(Q(x)) pour k ? Puisque n ? on ne peut
= v. v,
donc pas avoir Q(x) o0(x n ). On a donc nécessairement Pt P2 . D'après
= =
la première partie de la démonstration, on en déduit que cela implique que
Et = E2 · Les deux développements limités sont donc égaux.
On a ainsi démontré que, si une fonction admettait un développement limité
d'ordre n en 0, celui-ci était nécessairement unique. D
PROPOSITION 17.2 (Développement limité et parité)
f
Soit une fonction admettant un développement limité d 'ordre
partie régulière P. n en 0 de
X Si f est paire alors l a fonction polynomiale P est paire. Autrement dit, les
coefficients des monômes de degré impair de P sont nuls.
X Si f est impaire alors la fonction polynomiale P est impaire. Autrement dit,
les coefficients des monômes de degré pair de P sont nuls.
Démonstration Si f admet un développement limité d'ordre n en 0 de partie
régulière P alors il existe un voisinage V de 0 et une application E définie sur
V \ {O} tels que pour tout x E V \ { O }
f(x) P(x) + xn E(x) et X--->lim0 E(x) = O .
=
, 818 Définition e t généralités
Puisque V est un voisinage de 0, il existe < 2l un réel T/ strictement positif tel qu e
l'intervalle ouvert I = ] - T}, TJ[ soit inclus dans V. Pour x E I \ {O} on a
où la fonction E2 est définie sur I par E 2 ( x ) = ( - l)n E ( - x ) et véri fie donc
limx _,o E 2 ( x ) = O .
� Si f est paire alors pour tout x E I on a f(-x) = f(x) . Par uni cité du
développement limité d'ordre n en 0, on en déduit que P(-x) = P (x) pour
tout x E I (et par conséquent pour tout x E JR) . Autrement dit la fonct ion
polynomiale P est paire.
� Si f est impaire alors pour tout x E I on a f(-x) = - f(x) . Par unicit é du
développement limité d'ordre n en 0, on en déduit que P(-x) = -P(x) p our
tout x E I (et par conséquent pour tout x E JR) . Autrement dit, la fonction
polynomiale P est impaire. D
PROPOSITION 17.3 )< Pour qu 'une fonction f admette un développement li
mité d 'ordre 0 en 0, il faut et il suffit que f soit continue en 0 (ou prolongeable
par continuité en 0) . Dans ce cas, on a
f(x) = f(O) + oo( l).
)< Pour qu 'une fonction f admette un développement limité d 'ordre 1 en 0, il
faut et il suffit que f soit dérivable en O. Dans ce cas, on a
f(x) = f(O) + xf'(O) + oo( x).
D emons
. tra t"ion C> 0 n a 1es eqmva .
, . 1 ences smvant es ( 3) :
_
f est continue en 0 � lim (f(x) - f(O)) = 0
X -> Ü
� f(x) - f(O) = oo( l) au voisinage de O.
On en déduit que si f est continue en 0 alors elle admet un développement li
mité d'ordre 0 en 0 de partie régulière f(O) . Réciproquement, supposons que f
admette un développement limité d'ordre 0 en O. Il existe dans ce cas un voi
sinage V de 0 , un polynôme P de degré au plus 0 et une application E définie
sur V \ {O} tels que pour tout x E V \ {O}
f(x) = P(x) + E ( x ) et lim E(x) = O .
X -> Ü
On en déduit que l'application f admet pour limite en 0 le réel P(O) . Elle est
donc < 3l continue en 0 (ou prolongeable par continuité en 0) .
( 2) Voir la définition 3 . 1 0 p. 1 1 6.
< 3l Voir la définition 13.4 p . 616.
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