LOGICA EN WETENSCHAPSFILOSOFIE
Inleiding bij deel 1: Logica
Wason Selection Task
gegeven: elke kaart heeft een getal op de ene zijde en een gekleurd vlak op andere zijde.
bewering: als een kaart een even getal op de ene zijde heeft, is de andere zijde altijd rood.
Vraag: welke kaarten moet je omdraaien om de waarheid van deze bewering na te gaan?
Om een antwoord te formuleren hebben we een concept genaamd ‘deductieve redenering’ nodig.
Bijvoorbeeld: als P dan Q, dan weten we alleen dat:
- P tot Q moet leiden
- geen Q zou dan ook leiden tot het niet hebben van P.
De bewering vermeldt niet het onmogelijk is dat als er geen P is (geen even getal) er Q mogelijk is (rode
kleur). Het is fout bijgevolg te denken dat “als Q, dan P”.
● De draaien kaart met cijfer 8 om, om te zien of de stelling klopt.
● De andere kant van een oneven getal kan ook rood zijn, dus zinloos om deze om te draaien om de
stelling af te wijzen of te bewijzen.
● Draaien 3 niet om omdat de achterkant niet uitmaakt, kan beide kleuren zijn.
● Als de andere kant van de oranje kaart een even cijfer is, dan bewijst het dat even cijfers niet altijd
rood moeten zijn en dan hebben we de stelling afgewezen.
⇒ les: check altijd de informatie en probeer het tegendeel te bewijzen.
Wat is logica?
= de studie van (het beoordelen van de kwaliteit van) het menselijke denken en redeneren. Reeksen van
uitspraken zijn “logisch” als ze opgebouwd zijn volgens strenge wetten.
Omdat het zo een grote studie is, zijn er meerdere visies of naderingen:
1) moderne logica: alleen ‘recente’ verleden (20ste eeuw) behandelen, vnl. Huidige situatie.
2) Normatieve studie: nagaan welke systemen correct zijn en welke niet.
3) Formele aspecten: minimalisering, of zelfs eliminatie, van de inhoud van het taalgebruik, tot slechts
de logische vorm ervan overblijft. (Doen we in deze cursus)
4) Deductieve variant: redeneringen die een dwingend karakter hebben= binnen een logisch systeem
door bepaalde premissen of veronderstellingen (dus ondanks hun feitelijke waarheid of valsheid)
de conclusie wel noodzakelijkerwijs volgt. = principe van waarheidsbehoud. Het is onmogelijk dat
de conclusie vals is indien de premissen waar zijn.
Enkele begrippen
semantiek: betekenis
Theorie over hoe woorden worden gemaakt heet morfologie.
Theorie over hoe zinnen worden gemaakt heet syntaxis (constructie)
1
,Hoofdstuk 1: De propositielogica PL
1.1 Voorbereidende stappen: formaliseren
Formaliseren: abstractie maken van de inhoud van een zin om de structuurversterkend van de taal vast te
stellen. Herleiden tot atomaire vorm waarin 1 stand van zaken wordt beschreven.
Beperking!: we kunnen enkel uitspraken behandelen die een feitelijke bewering zijn (= W of NW).
BV: “Als het morgen regent of sneeuwt, dan speel ik op de wii en kom ik niet naar de les.”
kenmerk in deze zin: bepaalde vorm of opbouw met diverse inhoudelijke elementen die een
verband hebben. Bindwoorden: als, dan, of, en, niet → gaan we vervangen door afgesproken tekens,
connectieven of logische constanten
“als-dan” door het teken “⊃” (de implicatie) * “als p, dan q”, verkort “p ⊃ q”
“of” door het teken “∨” (de disjunctie). * “p of q”, verkort “p ∨ q”
“en” door het teken “&” (de conjunctie). * “p en q”, verkort “p & q”
“niet” door het teken “∼” (de negatie). * “het is niet zo dat p”, verkort “∼p”
“als en slechts als” door het teken “≡” * “p als en slechts als q”, verkort “p ≡ q”
(gelijkwaardigheid/equivalent)
“noch” door tekencombinatie van negatie en conjunctie ~p & ~q”
EN
vervangen we uitspraak
“morgen regent het” —> “p”/ “morgen sneeuwt het”—> “q”/ “ik speel op de wii” —> “r”/ “ik kom
naar de les” —> “s”
DUS
(p ∨ q) ⊃ (r &∼s), de formele tegenhanger van “Als (morgen regent het) of (morgen sneeuwt
het), dan (ik speel op de wii) en niet (ik kom naar les), propositie letters zijn immers variabelen.
1.2 De syntax van PL
1.2.1 Opbouw van de taal van PL
4 opbouw regels (OR)
(OR1) p, q, r, ... zijn zinnen (weergave/afkortingen/symbool van de formele zin)
Zie onder “EN”
(OR2) als A (variabele) een zin is in PL, dan is negatie A ook betekenisvol.
(OR3) als A en B zinnen zijn, dan zijn ook A & B, A ∨ B, A ⊃ B, A ≡ B betekenisvol.
(OR4) niets anders is een zin in de PL
Resultaat = voldaan aan alle criteria: ‘welgevormde formule” of wff (well formed formula). = een bewering in
een geformuleerd en duidelijk afgesproken formaat.
2 opmerkingen!!
1. waarheid of valsheid doet er niet toe, de grammatica en structuur wél
2. functie van de haakjes is voor duidelijkheid
Stappenplan om te zien of een uitspraak correct geformaliseerd is in een zin in PL
- vervang de “elementaire” zinnen door namen wegens (OR1)
- pas de eigenschappen toe op de connectieven (of check ze) wegens (OR2 en OR3)
2
, 1.2.2 Elementaire redeneerregels
PL= deductief systeem = vaste regels die impliciet een aantal redeneringen toelaat via een vaste
lijst van 10 toegelaten primitieve of elementaire redeneerstappen.
10 omdat je telkens per connectief zowel een introductieregel als een eliminatieregel hebt. Obv
dit kunnen we complexe redeneringen bouwen= kunnen op examen!!
Examen: bewijs dat deze bepaalde redenering klopt!
PRIMITIEVE REGELS *
* “/“ staat voor dus
conjunctie (&)
(&I) introductie: A, B / A & B —> conjunctie (&E) eliminatie: A & B / A, B —> simplificatie
disjunctie (∨)
(∨I) introductie: A / A ∨ B en B / A ∨ B —> (∨E) eliminatie: A ∨ B, A ⊃ C, B ⊃ C / C
additie —> dilemma
negatie (~)
(∼I) introductie: A ⊃ B, A ⊃ ∼B / ∼A —> reductio (∼E) eliminatie: ∼∼A / A —> dubbele negatie
ad absurdum
gelijkwaardigheid, equivalentie (≡)
(≡I) introductie: A ⊃ B, B ⊃ A / A ≡ B(intro eliminatie: A ≡ B / A ⊃ B en A ≡ B / B ⊃
gelijk.) A(EG)
implicatie (⊃)
(⊃I) introductie: A (Hyp), ... , B / A ⊃ B —> (⊃E) eliminatie: A, A ⊃ B / B —> modus
voorwaardelijk bewijs ponens
de reïteratieregel (Reit): in een subbewijs mag elke vorige bewijsregel worden hernomen, op
voorwaarde dat die niet in een afgesloten hypothetische redenering staat (aangeduid door
verticale streep!).
1.2.3 Complexe redeneringen of bewijzen
Opdracht:
Gegeven: aantal premissen en je moet een uitspraak aantonen
∼∼p, (p ∨ q) ⊃ (r & s) ⊢ r (= dubbele negatie, additie,modus ponens en simplificatie)
Liggende T betekent dat het hier uit volgt.
lijnnummer redeneerstap verantwoording
(1) ∼∼p Prem
(2) (p ∨ q) ⊃ (r & s) Prem
(3) p (∼E); (1)
(4) p∨q (∨I); (3)
(5) r&s (⊃E); (2), (4)
3
