résumé nombres complexes

Exercices d’applications et de réflexions sur les nombres complexes (Partie 1)
Exercices avec solutions
PROF : ATMANI NAJIB 2ème BAC Sciences maths


NOMBRES COMPLEXES
Exercice 1 : Trouver la forme algébrique et Exercice 3 :soient dans le plan complexe les
déterminer la parties réelles et imaginaires des points : A  2; 3 et B 1;1 et C 1; 2 
nombres complexes suivants :
1)Determiner les affixes des points A et B et C ?
z1  2  i  1  i   1  2i ²  
3
z2  1  i 3
2)Determiner l’affixe du vecteur AB
1  3i 1 i
z3  z5  1  i 
10
z4 
3i 3  2i 3) Déterminer l’affixe de 𝐼, milieu de [𝐴𝐵].
Solution :1) 4)Montrer que les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 ne sont pas
alignés.
z1  6  5i  a  bi donc Re  z1   6 et Im  z1   5 5) Déterminer le barycentre de {(𝐴, 2); (𝐵,−1), (𝐶, 3)}
6) Déterminer l’affixe du point 𝐷 pour que le
   3i   3 1  3i    3i 
3 2 3
2) z2  1  i 3  13  3  12 
quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷 soit un parallélogramme.

z2  1  3 3i  3  3  3 3i  8  0i 
Solutions :1) l’affixe du point A est z A  2  3i
car Im  z2   0
l’affixe du point B est zB  1  i
1  3i 1  3i  3  i  3  i  9i  3 6  8i
3) z3     l’affixe du point C est zc  1  2i
3i  3  i  3  i  9  i2 10
6 8i 3 4i 3
z3     donc Re  z1   et Im  z1    4 2) 𝑎𝑓𝑓( AB )= 𝑎𝑓𝑓(𝐵) − 𝑎𝑓𝑓(𝐴) = 𝑧B – 𝑧A
10 10 5 5 5 5

4) z4  1  i 
1  i  3  2i  3  2i  3i  2 1  5i 1 5 z AB  1  i    2  3i   1  4i
   i
3  2i  3  2i  3  2i  2
9  4i 13 13 13
z A  z B 2  3i  1  i 3  2i 3
3) z I     i
5) z5  1  i   1  i 
10
   1  2i 1  i    2i 
2 5 2 2
5 5 2 2 2 2

zC  z A 1  2i    2  3i  1  5i
z5   2i   25  i 5  32   i   i  32i
5 2
2
4)  
zB  z A 1  i    2  3i  1  4i
est un imaginaire pur car Re  z5   0
Exercice 2 :soient dans le plan complexe les

 1  5i  1  4i   1  4i  5i  20
points : A 1  i  et B  1  2i  et C  1  i   1  4i  1  4i   12   4i 2
2 
Montrer que les les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 sont alignés. zC  z A 21  i 21 1
   i
Solutions : zB  z A 17 17 17
1 1 1
 2i  i i i Donc : les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 ne sont pas alignés.
zB  z A 2 2 2 1
     5) le barycentre de {(𝐴, 2); (𝐵,−1), (𝐶, 3)} ?
zC  z A 1  i  i 1  2i 1  2
2   i 
2   z A   zB   zC 2 z A  1zB  3zC
zG  
Donc : les les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 sont alignés     2 1  3

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, Donc : le quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un parallélogramme
2  2  3i   11  i   3 1  2i  6  i 3 1
zG     i
Exercice 5 :Démontrer que S  1  i   1  i  est
5 5
2 1  3 4 2 4
6) ABCD est un parallélogramme si et seulement un nombre réel.
Solution :On a :
Si AB  DC c’est-à-dire : zB  z A  zC  zD
S  1  i   1  i   1  i   1  i   1  i   1  i 
5 5 5 5 5 5



zD  zC  z A  zB
S  1  i   1  i   S
5 5


On en déduit en remplaçant par les données :
S est donc bien un nombre réel.
zD  1  2i  2  3i  1  i  2  2i
1 3
Exercice 4 : soient dans le plan complexe les Exercice 6 :on pose : j    i
2 2
points :A ; B ; C ; D ; E d’affixes respectivement :
z A  1  i et z B  3  2i et z C  2  i et z D  2i et S  j 2n  j n n

1)montrer que : j  j
2
et zE  2

1)Représenter ces points dans le plan complexe 2)Démontrer que : S i n 
2) Déterminer l’affixe de 𝐼 milieu de [𝐴𝐵].
Solution :1)
3)Determiner l’affixe du vecteur AB 2 2
 1 3  1
2
1 3  3 1 3 3
4)montrer que le quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un j     i       2 i
2
  i     i
 2 2   2 2 2  2  4 4 2
parallélogramme
Solution : 1) 1 3
j2    i j
2 2

2)il suffit de montrer que : S  S  0

   
n n
S  S  j 2n  j n  j 2n  j n  j 2  jn  j2  jn

    
n n n n n
SS  j  jn  j2  jn  j  jn  j j
n n
𝐼 milieu de [𝐴𝐵]. Donc : AI  IB donc zI  z A  zB  zI S  S  j  jn  jn  j  0
S est donc bien un imaginaire pur
zB  z A 3  2i  1  i 3
Donc : zI  donc : zI   2 i Exercice 7 :soit u  tel que u 
2 2 2
Montrer que :  z   1  uz  1  u  z  z 
Donc : I  2; 3 
 2 
Solution :1) soit z  tel que : 1  uz  1  u  z
3) z AB  zB  z A  3  2i  1  i   3  2i  1  i  2  i
2
Donc : 1  uz  1 u  z
2

4)il suffit de monter que : AB  DC
On a : z AB  2  i 
Donc : 1  uz 1  uz   1  u  z 1  u  z  
zDC  zC  zD  2  i   2i   2  i    
Donc : 1  uz  1  uz  1  u  z 1  u  z Car : u  u 
Donc : z AB  z DC par suite : AB  DC Donc : 1  uz  uz  uuzz  1  uz  uz  uuzz
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