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résumé nombres complexes
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Exercices d’applications et de réflexions sur les nombres complexes (Partie 1)Exercices avec solutions
PROF : ATMANI NAJIB 2ème BAC Sciences maths
NOMBRES COMPLEXES
Exercice 1 : Trouver la forme algébrique et Exercice 3 :soient dans le plan complexe les
déterminer la parties réelles et imaginaires des points : A 2; 3 et B 1;1 et C 1; 2
nombres complexes suivants :
1)Determiner les affixes des points A et B et C ?
z1 2 i 1 i 1 2i ²
3
z2 1 i 3
2)Determiner l’affixe du vecteur AB
1 3i 1 i
z3 z5 1 i
10
z4
3i 3 2i 3) Déterminer l’affixe de 𝐼, milieu de [𝐴𝐵].
Solution :1) 4)Montrer que les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 ne sont pas
alignés.
z1 6 5i a bi donc Re z1 6 et Im z1 5 5) Déterminer le barycentre de {(𝐴, 2); (𝐵,−1), (𝐶, 3)}
6) Déterminer l’affixe du point 𝐷 pour que le
3i 3 1 3i 3i
3 2 3
2) z2 1 i 3 13 3 12
quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷 soit un parallélogramme.
z2 1 3 3i 3 3 3 3i 8 0i
Solutions :1) l’affixe du point A est z A 2 3i
car Im z2 0
l’affixe du point B est zB 1 i
1 3i 1 3i 3 i 3 i 9i 3 6 8i
3) z3 l’affixe du point C est zc 1 2i
3i 3 i 3 i 9 i2 10
6 8i 3 4i 3
z3 donc Re z1 et Im z1 4 2) 𝑎𝑓𝑓( AB )= 𝑎𝑓𝑓(𝐵) − 𝑎𝑓𝑓(𝐴) = 𝑧B – 𝑧A
10 10 5 5 5 5
4) z4 1 i
1 i 3 2i 3 2i 3i 2 1 5i 1 5 z AB 1 i 2 3i 1 4i
i
3 2i 3 2i 3 2i 2
9 4i 13 13 13
z A z B 2 3i 1 i 3 2i 3
3) z I i
5) z5 1 i 1 i
10
1 2i 1 i 2i
2 5 2 2
5 5 2 2 2 2
zC z A 1 2i 2 3i 1 5i
z5 2i 25 i 5 32 i i 32i
5 2
2
4)
zB z A 1 i 2 3i 1 4i
est un imaginaire pur car Re z5 0
Exercice 2 :soient dans le plan complexe les
1 5i 1 4i 1 4i 5i 20
points : A 1 i et B 1 2i et C 1 i 1 4i 1 4i 12 4i 2
2
Montrer que les les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 sont alignés. zC z A 21 i 21 1
i
Solutions : zB z A 17 17 17
1 1 1
2i i i i Donc : les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 ne sont pas alignés.
zB z A 2 2 2 1
5) le barycentre de {(𝐴, 2); (𝐵,−1), (𝐶, 3)} ?
zC z A 1 i i 1 2i 1 2
2 i
2 z A zB zC 2 z A 1zB 3zC
zG
Donc : les les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 sont alignés 2 1 3
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, Donc : le quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un parallélogramme
2 2 3i 11 i 3 1 2i 6 i 3 1
zG i
Exercice 5 :Démontrer que S 1 i 1 i est
5 5
2 1 3 4 2 4
6) ABCD est un parallélogramme si et seulement un nombre réel.
Solution :On a :
Si AB DC c’est-à-dire : zB z A zC zD
S 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i
5 5 5 5 5 5
zD zC z A zB
S 1 i 1 i S
5 5
On en déduit en remplaçant par les données :
S est donc bien un nombre réel.
zD 1 2i 2 3i 1 i 2 2i
1 3
Exercice 4 : soient dans le plan complexe les Exercice 6 :on pose : j i
2 2
points :A ; B ; C ; D ; E d’affixes respectivement :
z A 1 i et z B 3 2i et z C 2 i et z D 2i et S j 2n j n n
1)montrer que : j j
2
et zE 2
1)Représenter ces points dans le plan complexe 2)Démontrer que : S i n
2) Déterminer l’affixe de 𝐼 milieu de [𝐴𝐵].
Solution :1)
3)Determiner l’affixe du vecteur AB 2 2
1 3 1
2
1 3 3 1 3 3
4)montrer que le quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un j i 2 i
2
i i
2 2 2 2 2 2 4 4 2
parallélogramme
Solution : 1) 1 3
j2 i j
2 2
2)il suffit de montrer que : S S 0
n n
S S j 2n j n j 2n j n j 2 jn j2 jn
n n n n n
SS j jn j2 jn j jn j j
n n
𝐼 milieu de [𝐴𝐵]. Donc : AI IB donc zI z A zB zI S S j jn jn j 0
S est donc bien un imaginaire pur
zB z A 3 2i 1 i 3
Donc : zI donc : zI 2 i Exercice 7 :soit u tel que u
2 2 2
Montrer que : z 1 uz 1 u z z
Donc : I 2; 3
2
Solution :1) soit z tel que : 1 uz 1 u z
3) z AB zB z A 3 2i 1 i 3 2i 1 i 2 i
2
Donc : 1 uz 1 u z
2
4)il suffit de monter que : AB DC
On a : z AB 2 i
Donc : 1 uz 1 uz 1 u z 1 u z
zDC zC zD 2 i 2i 2 i
Donc : 1 uz 1 uz 1 u z 1 u z Car : u u
Donc : z AB z DC par suite : AB DC Donc : 1 uz uz uuzz 1 uz uz uuzz
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