Il s'agit d'un PDF avec des annotations concernant les interprétation du PDF et les formules usuelles. Le PDF traite des fonctions réelles dans sa globalité avec tous les théorèmes.
Fon ctio ns fR ~ fR
1. Ens emb le de défi nitio n
L'en sem ble de défi nitio n de f est l'ens emb
le des vale urs de x telles qu'o n puis se effe ctive
f(x). Pou r cela, on rega rde les déno min ateu men t calc uler
rs, racin es, quot ients , loga rithm es, tang ente
s .. .
Le prob lème est plus com plex e pour une fonc '
tion défin ie par une intég rale
. lb(x) lb
f (t) dt ou. f (x, t) dt .
a(x) a
(De plus , si l'int égra le est géné ralis ée, il faut
mêm e cher cher les x tels que l'int égra le conv
erge ...) Ell\h 2
2. Mon oton ie
Défi nitio n : f est croi ssàn te sur I un inte rv_alle <=>(va, be I, a< b => f (a)~ f (b))
f est stric tem ent, croi ssan te sur I un intervalle
<=> (va, be I, . a< b => f(a) < f(b) )
Thé orèm e: f est déri vabl e sur I, un inte rval le,
f est croi ssan te sur I <=> f'(x);;,: 0 sur I
Thé orèm e : fdéri vabl e sur I, un inte rval le,
f'(x ) ~ 0 sur I et f' ne s'an nule qu'e n des
poin ts isolés, ⇒ f est stric teme nt croi ssan
te sur 1.
Cett e dern ière imp licat ion n'est pas une équi
vale nce ...
Thé orèm e: Une fonc tion crois s_ante , majo
rée sur [a, b[, adm et une limi te finie en b.
Thé orèm e: f cont inue , stric teme nt mon
De plus , 1-1 est alor s cont inue sur f (1).
oton e sur I un inter valle est une bijec tion
.
de I sur f (I).) k-fc-.l..1-
.
3. Lim ite et con tinu ité
Défi nitio n: limf (x) = l <=> VE> 0, 3a> 0,
x--+a lx-à l ~a ⇒ lf(x) - ll ~E.
Si, de plus ; l = f(a), on dit que f est cont inue
en a.
Défi nitio n: Prolonge1:1ent par continuité
Si lim/ (x) = l, et, si f n'est pas défin ie en
~
x-+a . a, alors qn défi nit f, la prol ongé e par cont inui té de f
.
par :
• f~( ) - l . .
. a - , . ~~1- o-\.. '.c,,. . :
• f(x) =/(x ) quan d x:;:. a. . 0 '.J-
~ Q.:. ~ "° .,Q.,.,. V ,.,. ,.L..J\
,~·
Tes t bien sûr cont inue en a! ~°"'~
1 On a une·autr e défi nitio n de limi te en +oo, ~}.::
qu'o n peut adap ter en -oo. -,.: ..- ~ - ~ . , . u . ~--~~~~n~~-•r·~~
"'
Qr - + ~
_Défi nitio n: lim f (x) = l <=> VE> 0, W ~ ~:L
x--++oo
3A > 0, x ;;,: A => If (x) - li ~ E.
On a enço re une défi nitio n quan d la limi te
est infin ie, qu'o n peut adap ter pou r une limi
te -oo.
Défi nitio n: lim f (x) = +oo <=>VA> 0, 3 '
x--+a a> 0, lx-a l ~ a ⇒ f(x) ~ A.
Et, enfin, une dern ière défi nitio n pou r une
limi te infin ie à l'infin~, qu'o n peut . . .
Déf initi on: lim
x--++oo
f (x) = +oo <=>VA:> 0, 3 B > 0, x~ B⇒ f (x) ;;J!: A.
Thé orèm e: Une fonc tion .adm etta nt une
limi te finie _en un poin t est born ée au vois
inag e de ce poin t.
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