Hoofdstuk 1 – Afleiden van impliciete functies
Eigenschap 1.1 Impliciete functiestelling - 𝐹 (𝑥, 𝑦) = 0
Wanneer de vergelijking van een functie met één onafhankelijke veranderlijke
gegeven is in een impliciete vorm 𝐹 (𝑥, 𝑦) = 0, dan kan de afgeleide voor de
(eventuele onbekende) expliciete vorm 𝑦 = 𝑓(𝑥) in een punt 𝑥! gevonden
worden als
𝐹#" (𝑥! , 𝑦! )
𝑓 " (𝑥!) = " 𝑚𝑒𝑡 𝑦! 𝑏𝑒𝑝𝑎𝑎𝑙𝑑 𝑑𝑜𝑜𝑟 𝐹 (𝑥! , 𝑦! ) = 0,
𝐹$ (𝑥! , 𝑦! )
op voorwaarde dat 𝐹$" (𝑥! , 𝑦! ) verschilt van nul.
Eigenschap 1.2 Impliciete functiestelling - 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0
Wanneer de vergelijking van een functie met twee onafhankelijke
veranderlijken gegeven is in een impliciete vorm 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0, dan kunnen de
partiële afgeleiden voor de (eventueel onbekende) expliciete vorm 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
in een punt (𝑥! , 𝑦! ) gevonden worden als
𝐹#" (𝑥! , 𝑦! , 𝑧! ) 𝐹$" (𝑥! , 𝑦! , 𝑧!)
𝑓#" (𝑥! , 𝑦! ) = − " "(
𝑒𝑛 𝑓$ 𝑥! , 𝑦! ) = − " ,
𝐹% (𝑥! , 𝑦! , 𝑧! ) 𝐹% (𝑥! , 𝑦! , 𝑧!)
met 𝑧! bepaald door 𝐹 (𝑥! , 𝑦! , 𝑧!) = 0, op voorwaarde dat 𝐹%" (𝑥! , 𝑦! , 𝑧! ) verschilt
van nul.
Eigenschap 10.3 Impliciete functiestelling - 𝐹 (𝑥& , 𝑥' , … , 𝑥( , 𝑧) = 0
Wanneer de vergelijking van een functie met 𝑛 − onafhankelijke veranderlijken
gegeven is in een impliciete vorm 𝐹 (𝑥& , 𝑥' , … , 𝑥( , 𝑧) = 0, dan kunnen de partiële
afgeleiden voor de (eventueel onbekende) expliciete vorm 𝑧 = 𝑓(𝑥& , 𝑥' , … , 𝑥( )
in een punt (𝑥&! , … , 𝑥(! ) gevonden worden als
𝜕𝑓 ! !
𝐹#"! (𝑥&! , , … , 𝑥(! , 𝑧! )
(𝑥 , … , 𝑥( ) = " ! ,
𝜕𝑥) & 𝐹% (𝑥& , , … , 𝑥(! , 𝑧! )
met 𝑧! bepaald door 𝐹 (𝑥&! , , … , 𝑥(! , 𝑧! ) = 0, op voorwaarde dat 𝐹%" (𝑥&! , , … , 𝑥(! , 𝑧! )
verschilt van nul.
Eigenschap 1.4 Raaklijn – expliciet voorschrift
Beschouw een afleidbare functie 𝑓 en een punt (𝑥! , 𝑦! ) op de curve van 𝑓 .
De vergelijking van de raaklijn aan de curve van 𝑓 in het punt (𝑥! , 𝑦! ) luidt
𝑦 − 𝑦! = 𝑓′(𝑥! )(𝑥 − 𝑥! )
𝑚𝑒𝑡 𝑦! = 𝑓(𝑥! ).
Eigenschap 1.5 Raaklijn – impliciet voorschrift
Beschouw een functie van één onafhankelijke veranderlijke met impliciete
vergelijking 𝐹 (𝑥, 𝑦) = 0 en een punt (𝑥! , 𝑦! ) op de curve van deze functie.
De vergelijking van de raaklijn aan de curve in het punt (𝑥! , 𝑦!) luidt
𝐹#" (𝑥! , 𝑦! )(𝑥 − 𝑥! ) + 𝐹$" (𝑥! , 𝑦! )(𝑦 − 𝑦! ) = 0
𝑚𝑒𝑡 𝐹 (𝑥! , 𝑦! ) = 0.
1
,Eigenschap 1.6 Raakvlak – expliciet voorschrift
Beschouw een partieel afleidbare functie 𝑓 en een punt (𝑥! , 𝑦! , 𝑧! ) op het
oppervlak met vergelijking 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦). De vergelijking van het raakvlak aan het
oppervlak in het punt (𝑥! , 𝑦! , 𝑧!) luidt
𝑧 − 𝑧! = 𝑓#" (𝑥! , 𝑦! )(𝑥 − 𝑥!) + 𝑓$" (𝑥! , 𝑦! )(𝑦 − 𝑦! )
𝑚𝑒𝑡 𝑧! = 𝑓 (𝑥! , 𝑦! ).
Eigenschap 1.7 Lineaire benadering
De beeldwaarde op het raakvlak kan gebruikt worden als benadering voor de
werkelijke functiewaarde. Voor (𝑥, 𝑦) in de buurt van (𝑥! , 𝑦! ) geldt
𝑓(𝑥, 𝑦) ≈ 𝑓(𝑥! , 𝑦! ) + 𝑓#" (𝑥! , 𝑦! )(𝑥 − 𝑥! ) + 𝑓$" (𝑥! , 𝑦!)(𝑦 − 𝑦! ).
Men noemt dit een lineaire benadering of een benadering van eerste orde.
Eigenschap 1.8 Raakvlak – impliciet voorschrift
Beschouw een functie van twee onafhankelijke veranderlijken, waarvan de
vergelijking impliciet gegeven wordt als 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 en een punt (𝑥! , 𝑦! , 𝑧! )
op dit oppervlak.
De vergelijking van het raakvlak aan het oppervlak in het punt 𝑃 = (𝑥! , 𝑦! , 𝑧! )
luidt
𝐹#" (𝑥! , 𝑦! , 𝑧! )(𝑥 − 𝑥! ) + 𝐹$" (𝑥! , 𝑦! , 𝑧!)(𝑦 − 𝑦! ) + 𝐹%" (𝑥! , 𝑦! , 𝑧! )(𝑧 − 𝑧!) = 0,
𝑚𝑒𝑡 𝐹 (𝑥! , 𝑦! , 𝑧! ) = 0.
2
, Hoofdstuk 2 - Getallenrijen
Definitie 2.1 Getallenrij
Een getallenrij is een geordende (oneindige) verzameling van getallen.
Notatie: {𝑢( } staat voor 𝑢& , 𝑢' , 𝑢* , … , 𝑢( , … .
Men noemt 𝑢( de algemene term van de getallenrij.
Definitie 2.2 Constante getallenrij
Men spreekt van een constante getallenrij wanneer de algemene term een
constante is:
𝑢( = 𝐶, 𝑚𝑒𝑡 𝐶 ∈ ℝ.
Definitie 2.3 Partieelsom
De 𝑛- de partieelsom 𝑆( van een getallenrij is de som van de eerste 𝑛 elementen
van de getallenrij:
(
𝑆( = z 𝑢) = 𝑢& + 𝑢' + … + 𝑢( .
),&
Definitie 2.4 Reekssom
De reekssom 𝑆 van een getallenrij is de limiet voor 𝑛 gaande naar +∞ van de
𝑛- de partieelsom:
/
𝑆 = lim 𝑆( = z 𝑢) = 𝑢& + 𝑢' + 𝑢* + ⋯
(→./
),&
Definitie 2.5 Rekenkundige getallenrij
Men noemt een getallenrij {𝑢( } rekenkundig, indien het verschil tussen
opeenvolgende elementen van de rij constant is.
Als we dit verschil noteren als 𝑑 , dan wordt de algemene term
𝑢( = 𝑢& + (𝑛 − 1)𝑑.
Eigenschap 2.1 Partieelsommen rekenkundige rij
De 𝑛- de partieelsom van een rekenkundige getallenrij {𝑢( } kan gevonden
worden als
𝑛
𝑆( = ( 𝑢 + 𝑢( ) .
2 &
Definitie 2.6 Meetkundige getallenrij
Men noemt een getallenrij {𝑢( } meetkundig, indien de verhouding tussen
opeenvolgende elementen van de rij constant is. Als we deze verhouding
noteren als 𝑞 , dan wordt de algemene term
𝑢( = 𝑢& 𝑞 (0& .
Men noemt 𝑞 de rede.
3
, Eigenschap 2.2 Partieelsommen meetkundige rij
De 𝑛- de partieelsom van een constante meetkundige getallenrij 𝑢( is gelijk aan
𝑆( = 𝑛. 𝑢&
en die van een niet-constante meetkundige getallenrij kan gevonden worden
als
1 − 𝑞(
𝑆( = 𝑢& .
1−𝑞
Definitie 2.7 Hyperharmonische getallenrij
Men noemt een getallenrij {𝑢( } hyperharmonisch, indien elk element van de rij
een vaste negatieve macht is van de index. De algemene term is dus
1
𝑢( = 𝑛01 = 1 , 𝑚𝑒𝑡 𝑝 > 0.
𝑛
Definitie 2.8 Enkelvoudige en samengestelde interest
Gegeven een startkapitaal 𝐴 en een jaarlijkse interestvoet 𝑟. Na een periode van
𝑛 jaar (𝑛 ∈ ℕ), is het kapitaal aangegroeid tot de eindwaarde
• bij enkelvoudige interest: 𝑆 = 𝐴. (1 + 𝑛. 𝑟);
• bij samengestelde interest: 𝑆 = 𝐴. (1 + 𝑛)2 .
Definitie 2.9 Kapitalisatie
Wanneer je een startkapitaal 𝐴 gedurende 𝑛 jaar belegt aan een jaarlijkse
interestvoet 𝑟, dan kan het eindbedrag na 𝑛 jaar berekend worden als
𝑆 = 𝐴. (1 + 𝑟)( = 𝐴. 𝑢( .
Dit bedrag noemt men het gekapitaliseerde bedrag. Men gebruikt meestal de
notatie 𝑢 = 1 + 𝑟 voor de kapitalisatiefactor.
Definitie 2.10 Actualisatie
Om na een belegging gedurende 𝑛 jaar aan een jaarlijkse interestvoet 𝑟 een
eindbedrag 𝑆 te bereiken, moet gestart worden met een kapitaal gelijk aan
𝐴 = 𝑆. (1 + 𝑟)0( = 𝑆. 𝑣 ( .
Dit bedrag noemt men het geactualiseerde bedrag. Men gebruikt meestal de
& &
notatie 𝑣 = & . 2 = 3 voor de actualisatiefactor.
Definitie 2.11 Annuïteit
De annuïteit is een serie gelijkblijvende betaling op vaste tijdstippen.
De aanvangswaarde of beginwaarde van de annuïteit is de waarde van alle
betalingen samen bij het begin van de eerste periode.
De slotwaarde of eindwaarde van de annuïteit is de waarde van alle betalingen
samen op het einde van de laatste periode.
Eigenschap 2.3 Slotwaarde annuïteit
De slotwaarde van een annuïteit die bestaat uit 𝑛 gelijke betalingen 𝑅,
gekapitaliseerd aan een jaarlijkse interestvoet 𝑟 kan berekend worden als
𝑢( − 1
𝑆 = 𝑅. , 𝑚𝑒𝑡 𝑢 = 1 + 𝑟.
𝑟
4
Eigenschap 1.1 Impliciete functiestelling - 𝐹 (𝑥, 𝑦) = 0
Wanneer de vergelijking van een functie met één onafhankelijke veranderlijke
gegeven is in een impliciete vorm 𝐹 (𝑥, 𝑦) = 0, dan kan de afgeleide voor de
(eventuele onbekende) expliciete vorm 𝑦 = 𝑓(𝑥) in een punt 𝑥! gevonden
worden als
𝐹#" (𝑥! , 𝑦! )
𝑓 " (𝑥!) = " 𝑚𝑒𝑡 𝑦! 𝑏𝑒𝑝𝑎𝑎𝑙𝑑 𝑑𝑜𝑜𝑟 𝐹 (𝑥! , 𝑦! ) = 0,
𝐹$ (𝑥! , 𝑦! )
op voorwaarde dat 𝐹$" (𝑥! , 𝑦! ) verschilt van nul.
Eigenschap 1.2 Impliciete functiestelling - 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0
Wanneer de vergelijking van een functie met twee onafhankelijke
veranderlijken gegeven is in een impliciete vorm 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0, dan kunnen de
partiële afgeleiden voor de (eventueel onbekende) expliciete vorm 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
in een punt (𝑥! , 𝑦! ) gevonden worden als
𝐹#" (𝑥! , 𝑦! , 𝑧! ) 𝐹$" (𝑥! , 𝑦! , 𝑧!)
𝑓#" (𝑥! , 𝑦! ) = − " "(
𝑒𝑛 𝑓$ 𝑥! , 𝑦! ) = − " ,
𝐹% (𝑥! , 𝑦! , 𝑧! ) 𝐹% (𝑥! , 𝑦! , 𝑧!)
met 𝑧! bepaald door 𝐹 (𝑥! , 𝑦! , 𝑧!) = 0, op voorwaarde dat 𝐹%" (𝑥! , 𝑦! , 𝑧! ) verschilt
van nul.
Eigenschap 10.3 Impliciete functiestelling - 𝐹 (𝑥& , 𝑥' , … , 𝑥( , 𝑧) = 0
Wanneer de vergelijking van een functie met 𝑛 − onafhankelijke veranderlijken
gegeven is in een impliciete vorm 𝐹 (𝑥& , 𝑥' , … , 𝑥( , 𝑧) = 0, dan kunnen de partiële
afgeleiden voor de (eventueel onbekende) expliciete vorm 𝑧 = 𝑓(𝑥& , 𝑥' , … , 𝑥( )
in een punt (𝑥&! , … , 𝑥(! ) gevonden worden als
𝜕𝑓 ! !
𝐹#"! (𝑥&! , , … , 𝑥(! , 𝑧! )
(𝑥 , … , 𝑥( ) = " ! ,
𝜕𝑥) & 𝐹% (𝑥& , , … , 𝑥(! , 𝑧! )
met 𝑧! bepaald door 𝐹 (𝑥&! , , … , 𝑥(! , 𝑧! ) = 0, op voorwaarde dat 𝐹%" (𝑥&! , , … , 𝑥(! , 𝑧! )
verschilt van nul.
Eigenschap 1.4 Raaklijn – expliciet voorschrift
Beschouw een afleidbare functie 𝑓 en een punt (𝑥! , 𝑦! ) op de curve van 𝑓 .
De vergelijking van de raaklijn aan de curve van 𝑓 in het punt (𝑥! , 𝑦! ) luidt
𝑦 − 𝑦! = 𝑓′(𝑥! )(𝑥 − 𝑥! )
𝑚𝑒𝑡 𝑦! = 𝑓(𝑥! ).
Eigenschap 1.5 Raaklijn – impliciet voorschrift
Beschouw een functie van één onafhankelijke veranderlijke met impliciete
vergelijking 𝐹 (𝑥, 𝑦) = 0 en een punt (𝑥! , 𝑦! ) op de curve van deze functie.
De vergelijking van de raaklijn aan de curve in het punt (𝑥! , 𝑦!) luidt
𝐹#" (𝑥! , 𝑦! )(𝑥 − 𝑥! ) + 𝐹$" (𝑥! , 𝑦! )(𝑦 − 𝑦! ) = 0
𝑚𝑒𝑡 𝐹 (𝑥! , 𝑦! ) = 0.
1
,Eigenschap 1.6 Raakvlak – expliciet voorschrift
Beschouw een partieel afleidbare functie 𝑓 en een punt (𝑥! , 𝑦! , 𝑧! ) op het
oppervlak met vergelijking 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦). De vergelijking van het raakvlak aan het
oppervlak in het punt (𝑥! , 𝑦! , 𝑧!) luidt
𝑧 − 𝑧! = 𝑓#" (𝑥! , 𝑦! )(𝑥 − 𝑥!) + 𝑓$" (𝑥! , 𝑦! )(𝑦 − 𝑦! )
𝑚𝑒𝑡 𝑧! = 𝑓 (𝑥! , 𝑦! ).
Eigenschap 1.7 Lineaire benadering
De beeldwaarde op het raakvlak kan gebruikt worden als benadering voor de
werkelijke functiewaarde. Voor (𝑥, 𝑦) in de buurt van (𝑥! , 𝑦! ) geldt
𝑓(𝑥, 𝑦) ≈ 𝑓(𝑥! , 𝑦! ) + 𝑓#" (𝑥! , 𝑦! )(𝑥 − 𝑥! ) + 𝑓$" (𝑥! , 𝑦!)(𝑦 − 𝑦! ).
Men noemt dit een lineaire benadering of een benadering van eerste orde.
Eigenschap 1.8 Raakvlak – impliciet voorschrift
Beschouw een functie van twee onafhankelijke veranderlijken, waarvan de
vergelijking impliciet gegeven wordt als 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 en een punt (𝑥! , 𝑦! , 𝑧! )
op dit oppervlak.
De vergelijking van het raakvlak aan het oppervlak in het punt 𝑃 = (𝑥! , 𝑦! , 𝑧! )
luidt
𝐹#" (𝑥! , 𝑦! , 𝑧! )(𝑥 − 𝑥! ) + 𝐹$" (𝑥! , 𝑦! , 𝑧!)(𝑦 − 𝑦! ) + 𝐹%" (𝑥! , 𝑦! , 𝑧! )(𝑧 − 𝑧!) = 0,
𝑚𝑒𝑡 𝐹 (𝑥! , 𝑦! , 𝑧! ) = 0.
2
, Hoofdstuk 2 - Getallenrijen
Definitie 2.1 Getallenrij
Een getallenrij is een geordende (oneindige) verzameling van getallen.
Notatie: {𝑢( } staat voor 𝑢& , 𝑢' , 𝑢* , … , 𝑢( , … .
Men noemt 𝑢( de algemene term van de getallenrij.
Definitie 2.2 Constante getallenrij
Men spreekt van een constante getallenrij wanneer de algemene term een
constante is:
𝑢( = 𝐶, 𝑚𝑒𝑡 𝐶 ∈ ℝ.
Definitie 2.3 Partieelsom
De 𝑛- de partieelsom 𝑆( van een getallenrij is de som van de eerste 𝑛 elementen
van de getallenrij:
(
𝑆( = z 𝑢) = 𝑢& + 𝑢' + … + 𝑢( .
),&
Definitie 2.4 Reekssom
De reekssom 𝑆 van een getallenrij is de limiet voor 𝑛 gaande naar +∞ van de
𝑛- de partieelsom:
/
𝑆 = lim 𝑆( = z 𝑢) = 𝑢& + 𝑢' + 𝑢* + ⋯
(→./
),&
Definitie 2.5 Rekenkundige getallenrij
Men noemt een getallenrij {𝑢( } rekenkundig, indien het verschil tussen
opeenvolgende elementen van de rij constant is.
Als we dit verschil noteren als 𝑑 , dan wordt de algemene term
𝑢( = 𝑢& + (𝑛 − 1)𝑑.
Eigenschap 2.1 Partieelsommen rekenkundige rij
De 𝑛- de partieelsom van een rekenkundige getallenrij {𝑢( } kan gevonden
worden als
𝑛
𝑆( = ( 𝑢 + 𝑢( ) .
2 &
Definitie 2.6 Meetkundige getallenrij
Men noemt een getallenrij {𝑢( } meetkundig, indien de verhouding tussen
opeenvolgende elementen van de rij constant is. Als we deze verhouding
noteren als 𝑞 , dan wordt de algemene term
𝑢( = 𝑢& 𝑞 (0& .
Men noemt 𝑞 de rede.
3
, Eigenschap 2.2 Partieelsommen meetkundige rij
De 𝑛- de partieelsom van een constante meetkundige getallenrij 𝑢( is gelijk aan
𝑆( = 𝑛. 𝑢&
en die van een niet-constante meetkundige getallenrij kan gevonden worden
als
1 − 𝑞(
𝑆( = 𝑢& .
1−𝑞
Definitie 2.7 Hyperharmonische getallenrij
Men noemt een getallenrij {𝑢( } hyperharmonisch, indien elk element van de rij
een vaste negatieve macht is van de index. De algemene term is dus
1
𝑢( = 𝑛01 = 1 , 𝑚𝑒𝑡 𝑝 > 0.
𝑛
Definitie 2.8 Enkelvoudige en samengestelde interest
Gegeven een startkapitaal 𝐴 en een jaarlijkse interestvoet 𝑟. Na een periode van
𝑛 jaar (𝑛 ∈ ℕ), is het kapitaal aangegroeid tot de eindwaarde
• bij enkelvoudige interest: 𝑆 = 𝐴. (1 + 𝑛. 𝑟);
• bij samengestelde interest: 𝑆 = 𝐴. (1 + 𝑛)2 .
Definitie 2.9 Kapitalisatie
Wanneer je een startkapitaal 𝐴 gedurende 𝑛 jaar belegt aan een jaarlijkse
interestvoet 𝑟, dan kan het eindbedrag na 𝑛 jaar berekend worden als
𝑆 = 𝐴. (1 + 𝑟)( = 𝐴. 𝑢( .
Dit bedrag noemt men het gekapitaliseerde bedrag. Men gebruikt meestal de
notatie 𝑢 = 1 + 𝑟 voor de kapitalisatiefactor.
Definitie 2.10 Actualisatie
Om na een belegging gedurende 𝑛 jaar aan een jaarlijkse interestvoet 𝑟 een
eindbedrag 𝑆 te bereiken, moet gestart worden met een kapitaal gelijk aan
𝐴 = 𝑆. (1 + 𝑟)0( = 𝑆. 𝑣 ( .
Dit bedrag noemt men het geactualiseerde bedrag. Men gebruikt meestal de
& &
notatie 𝑣 = & . 2 = 3 voor de actualisatiefactor.
Definitie 2.11 Annuïteit
De annuïteit is een serie gelijkblijvende betaling op vaste tijdstippen.
De aanvangswaarde of beginwaarde van de annuïteit is de waarde van alle
betalingen samen bij het begin van de eerste periode.
De slotwaarde of eindwaarde van de annuïteit is de waarde van alle betalingen
samen op het einde van de laatste periode.
Eigenschap 2.3 Slotwaarde annuïteit
De slotwaarde van een annuïteit die bestaat uit 𝑛 gelijke betalingen 𝑅,
gekapitaliseerd aan een jaarlijkse interestvoet 𝑟 kan berekend worden als
𝑢( − 1
𝑆 = 𝑅. , 𝑚𝑒𝑡 𝑢 = 1 + 𝑟.
𝑟
4
