Fundamenten van de wiskunde - uitwerkingen inleveropgave week 3
8 vues 0 fois vendu
Cours
Fundamenten van de Wiskunde
Établissement
Universiteit Utrecht (UU)
Ook als de inleveropgave veranderd is, is dit natuurlijk nog steeds een heel goede oefening om de stof te begrijpen! Ik heb zelf erg genoten van het vak Fundamenten van de Wiskunde.
√
Gegeven: reëel getal 3 + 1.
√ √
Te bewijzen: 3 + 1 is niet rationaal ( 3 + 1 ∈ / Q) via een bewijs uit het ongerijmde.
√
Bewijs. Neem √ voor een tegenstelling aan dat 3 + 1 ∈ Q.
Dan geldt dat 3 + 1 = ab voor gehele getallen a en b met b 6= 0.
√
Hieruit volgt dat 3 = ab − 1 = ab − bb = (a−b) b . Omdat (a − b) en b gehele getallen zijn met
√ (a−b)
b 6= 0, kunnen we concluderen dat 3 = b ∈ Q.
√ √
Merk op dat 3 6= 0 en dat √ 3 rationaal is, hierdoor kunnen we zonder verlies van alge-
meenheid concluderen dat 3 = dc met c en d gehele getallen ongelijk aan 0 waarbij de enige
gemeenschappelijke delers van c en d de getallen 1 en −1 zijn (overige delers kunnen namelijk
worden weggedeeld). √ √
Verder impliceert 3 = dc dat 3 · d = c en kwadrateren geeft dat 3d2 = c2 .
Aangezien d2 een geheel getal is geldt 3 | 3d2 en aangezien 3d2 = c2 geldt 3 | c2 . Aangezien 3
een priemgetal is geldt dat de enige positieve delers van 3 de getallen 1 en 3 zijn.
Hierdoor weten we dat als 3 geen deler is van c dan is deze ook geen deler van c · c = c2 ,
dit is echter niet het geval en daarom geldt 3 | c. We kunnen dus schrijven c = 3k voor een
geheel getal k. Hiermee volgt uit 3d2 = c2 dat 3d2 = (3k)2 = 9k 2 wat impliceert dat d2 = 3k 2 .
Omdat k 2 een geheel getal is weten we dat 3 | d2 en zoals eerder uitgelegd volgt hieruit dat
3 | d. Hiermee hebben c en d de gemeenschappelijke deler 3.
Dit geeft echter een tegenspraak met het feit dat de enige gemeenschappelijke delers van c en
d de getallen 1 en −1 zijn. √
Hieruit kunnen we concluderen dat de aanname 3 + 1 ∈ Q incorrect moet zijn en dus dat
√
3+1∈ / Q.
1
Les avantages d'acheter des résumés chez Stuvia:
Qualité garantie par les avis des clients
Les clients de Stuvia ont évalués plus de 700 000 résumés. C'est comme ça que vous savez que vous achetez les meilleurs documents.
L’achat facile et rapide
Vous pouvez payer rapidement avec iDeal, carte de crédit ou Stuvia-crédit pour les résumés. Il n'y a pas d'adhésion nécessaire.
Focus sur l’essentiel
Vos camarades écrivent eux-mêmes les notes d’étude, c’est pourquoi les documents sont toujours fiables et à jour. Cela garantit que vous arrivez rapidement au coeur du matériel.
Foire aux questions
Qu'est-ce que j'obtiens en achetant ce document ?
Vous obtenez un PDF, disponible immédiatement après votre achat. Le document acheté est accessible à tout moment, n'importe où et indéfiniment via votre profil.
Garantie de remboursement : comment ça marche ?
Notre garantie de satisfaction garantit que vous trouverez toujours un document d'étude qui vous convient. Vous remplissez un formulaire et notre équipe du service client s'occupe du reste.
Auprès de qui est-ce que j'achète ce résumé ?
Stuvia est une place de marché. Alors, vous n'achetez donc pas ce document chez nous, mais auprès du vendeur marjavdwind. Stuvia facilite les paiements au vendeur.
Est-ce que j'aurai un abonnement?
Non, vous n'achetez ce résumé que pour €3,49. Vous n'êtes lié à rien après votre achat.
