Fundamenten van de wiskunde - uitwerkingen huiswerk week 4
6 vues 0 fois vendu
Cours
Fundamenten van de Wiskunde
Établissement
Universiteit Utrecht (UU)
Book
Proofs and Fundamentals
Ook als de inleveropgave veranderd is, is dit natuurlijk nog steeds een heel goede oefening om de stof te begrijpen! Ik heb zelf erg genoten van het vak Fundamenten van de Wiskunde.
Fundamenten van de wiskunde - uitwerkingen huiswerk week 6
Aanvullende collegeaantekeningen week 6 - fundamenten van de wiskunde
Fundamenten van de wiskunde - uitwerkingen huiswerk week 3
Tout pour ce livre (6)
École, étude et sujet
Universiteit Utrecht (UU)
Wiskunde
Fundamenten van de Wiskunde
Tous les documents sur ce sujet (21)
Vendeur
S'abonner
marjavdwind
Avis reçus
Aperçu du contenu
Fundamenten uitwerkingen huiswerk week 4
4 oktober 2021
Opgave 4.1.1:
(1), (4) en (6) zijn functies. De overige deelverzamelingen F ⊆ A × B hebben elk een element
a ∈ A in het domein waarvoor er niet exact één paar (a, b) ∈ F bestaat.
Opgave 4.1.3:
Diagrammen (i) en (iv) representeren functies. In de overige diagrammen is niet elk element
uit het domein gekoppeld aan exact één element uit het codomein.
Opgave 4.2.3:
(1): f (T ) = [0, 4], dan f −1 (T ) = [−2, 0] met f (f −1 (T )) = f ([−2, 0]) = [0, 1]
en f −1 (f (T )) = f −1 ([0, 4]) = [−3, 1]. √ √
(2): f (T ) = [0, 16], dan f −1 (T ) = [−1, 2 − 1] met f (f −1 (T )) = f ([−1, 2 − 1]) = [0, 2]
en f −1 (f (T )) = f −1 ([0, 16]) = [−5, 3].
(3): f (T ) = {2, 3}, dan f −1 (T ) = (1, 2] met f (f −1 (T )) = f ((1, 2]) = {2}
en f −1 (f (T )) = f −1 ({2, 3}) = (1, 3].
(4): f (T ) = {0, 1, 2, 5, 6}, dan f −1 (T ) = [0, 3) ∪ [6, 7)
met f (f −1 (T )) = f ([0, 3) ∪ [6, 7)) = {0, 1, 2, 6}
en f −1 (f (T )) = f −1 ({0, 1, 2, 5, 6}) = [0, 3) ∪ [5, 7).
Opgave 4.2.13:
We merken op dat de oneven opgaven zeer soortgelijk zijn aan de even opgaven, de even
opgaven zijn hieronder uitgewerkt.
Gegeven: verzamelingen A en B met deelverzamelingen X ⊆ A en Y ⊆ B en functie
f : A → B.
(2):
Te bewijzen: f (f −1 (Y )) ⊆ Y .
Bewijs. Volgens Deelstelling 3 van Stelling 4.2.4 geldt dat f (f −1 (Y )) ⊆ Y als en alleen als
f −1 (Y ) ⊆ f −1 (Y ), dit laatste is duidelijk waar en daarom geldt inderdaad f (f −1 (Y )) ⊆ Y .
1
, (4):
Te bewijzen: Y = f (f −1 (Y )) als en alleen als Y = f (W ) voor een W ⊆ A.
Bewijs. ” =⇒ ”. Stel Y = f (f −1 (Y )). Dan geldt voor W = f −1 (Y ) ⊆ A dat Y = f (W ).
” ⇐= ”. Stel Y = f (W ) voor een W ⊆ A. Dan geldt f (W ) ⊆ Y . Uit Deelstelling 3
van Stelling 4.2.4 volgt dat W ⊆ f −1 (Y ). Vervolgens geeft Deelstelling 4 van Stelling 4.2.4
f (W ) ⊆ f (f −1 (Y )). Aangezien f (W ) = Y volgt dat Y ⊆ f (f −1 (Y )). Volgens de definitie
van het inverse beeld geldt f −1 (Y ) ⊆ A en dus f (f −1 (Y )) ⊆ Y . Uit deze inclusies volgt dat
Y = f (f −1 (Y )).
(6):
Te bewijzen: f −1 (f (f −1 (Y ))) = f −1 (Y ).
Bewijs. ”⊆”. Volgens de redenatie in deelopgave (4) weten we dat f (f −1 (Y )) ⊆ Y en dus
volgt uit Deelstelling 5 van Stelling 4.2.4 dat f −1 (f (f −1 (Y ))) ⊆ f −1 (Y ).
”⊇”. Aangezien f (f −1 (Y )) ⊆ f (f −1 (Y )) geeft Deelstelling 3 van Stelling 4.2.4 dat
f −1 (Y ) ⊆ f −1 (f (f −1 (Y ))).
Omdat zowel f −1 (f (f −1 (Y ))) ⊆ f −1 (Y ) als f −1 (Y ) ⊆ f −1 (f (f −1 (Y ))) geldt moet gelden dat
f −1 (f (f −1 (Y ))) = f −1 (Y ).
Opgave 4.3.4:
(1):
Laat h : R → R gedefinieerd zijn door h(x) = x2 . Vanwege vergelijking f (0) = 0 6= 1 = f (1)
is deze functie is niet constant.
Laat k : R → R gedefinieerd zijn door
(
1, als x ≥ 0,
f (x) =
x, als x < 0.
Functie k is niet constant (f (−1) = −1 6= 1 = f (0)).
Omdat voor iedere x ∈ R er geldt dat h(x) ≥ 0 moet gelden dat (k ◦ h)(x) = 1 en dus is k ◦ h
een constante functie.
(2):
Laat s : R → R gedefinieerd zijn door s(x) = x/2. Omdat s(2) = 1 6= 2 geldt dat s 6= 1R .
Laat t : R → R gedefinieerd zijn door s(x) = 2x. Omdat t(1) = 2 6= 1 geldt dat t 6= 1R .
We merken op dat voor elke x ∈ R er geldt dat (s ◦ t)(x) = s(2x) = x en daarom (s ◦ t) = 1R .
2
Les avantages d'acheter des résumés chez Stuvia:
Qualité garantie par les avis des clients
Les clients de Stuvia ont évalués plus de 700 000 résumés. C'est comme ça que vous savez que vous achetez les meilleurs documents.
L’achat facile et rapide
Vous pouvez payer rapidement avec iDeal, carte de crédit ou Stuvia-crédit pour les résumés. Il n'y a pas d'adhésion nécessaire.
Focus sur l’essentiel
Vos camarades écrivent eux-mêmes les notes d’étude, c’est pourquoi les documents sont toujours fiables et à jour. Cela garantit que vous arrivez rapidement au coeur du matériel.
Foire aux questions
Qu'est-ce que j'obtiens en achetant ce document ?
Vous obtenez un PDF, disponible immédiatement après votre achat. Le document acheté est accessible à tout moment, n'importe où et indéfiniment via votre profil.
Garantie de remboursement : comment ça marche ?
Notre garantie de satisfaction garantit que vous trouverez toujours un document d'étude qui vous convient. Vous remplissez un formulaire et notre équipe du service client s'occupe du reste.
Auprès de qui est-ce que j'achète ce résumé ?
Stuvia est une place de marché. Alors, vous n'achetez donc pas ce document chez nous, mais auprès du vendeur marjavdwind. Stuvia facilite les paiements au vendeur.
Est-ce que j'aurai un abonnement?
Non, vous n'achetez ce résumé que pour €4,99. Vous n'êtes lié à rien après votre achat.
