Dit document is een samenvatting van 'Module 7; tweedegraadsvergelijkingen en -ongelijkheden', uit het boek 'NANDO 4D' voor het vak Wiskunde in het GO! Onderwijs in de doorstroomfinaliteit/ASO.
1.1 Gemeenschappelijke factor afzonderen
Methode
STAP 1: Voor de haakjes plaats je de factor die in elke term voorkomt:
- de coëfficiënt is de grootste gemene deler van de voorkomende coëfficiënten
- de gemeenschappelijke letters in hun laagst voorkomende exponent.
STAP 2: Tussen de haakjes plaats je het quotiënt van de veelterm met de factor die voorop werd
geplaatst.
Voorbeelden
9x² − 6x + 15 = 3 ⋅ (3x² − 2x + 5)
√2r − √8 = √2 ⋅ (r − 2)
1.2 Een tweeterm van de vorm a² - b² ontbinden
Methode
Heb je een merkwaardige tweeterm van de vorm a² - b², dan kun je de tweeterm ontbinden volgens
de formule a² - b² = (a + b) · (a -b).
Voorbeelden
x² − 9 = (x + 3) ⋅ (x − 3)
-1,21h² + 0,64 = (0,8 + 1,1h) ⋅ (0,8 − 1,1h)
1.3 Een drieterm van de vorm a² + 2ab + b² ontbinden
Methode
Heb je een merkwaardige drieterm van de vorm a² + 2ab + b², dan kun je de drieterm ontbinden
volgens de formule a² + 2ab + b² = (a + b)².
Voorbeelden
1.4 Meerstapsoefeningen
Methode
STAP 1: Plaats de gemeenschappelijke factoren buiten de haakjes. Tussen de haakjes plaats je het
quotiënt van de veelterm met de factor die voorop werd geplaatst.
STAP 2: Heb je een merkwaardige tweeterm van de vorm a² - b²,
pas dan de formule a² - b² = (a + b) · (a -b) toe.
Heb je een merkwaardige drieterm van de vorm a² + 2ab + b²,
pas dan de formule a² + 2ab + b² = (a + b)² toe.
STAP 3: Herhaal stap 2 tot je niet meer verder kan ontbinden.
Voorbeelden
45x² − 5 = 5(9x² − 1)
= 5(3x + 1)(3x − 1)
x8 − 1 = (x4 + 1)(x4 – 1)
= (x4 + 1)(x² + 1)(x² − 1)
= (x4 + 1)(x² + 1)(x + 1)(x − 1)
= (x4 + 1)(x² + 1)(x + 1)(√x + 1)(√x - 1)
, 2. VERGELIJKINGEN VAN DE TWEEDE GRAAD
2.1 Definities
De nulwaarden van de functie f met voorschrift f(x) = ax² + bx + c (waarbij a ≠ 0) vinden we door de
volgende vergelijking op te lossen: ax² + bx + c = 0.
We noemen dit een tweedegraadsvergelijking of een vierkantsvergelijking.
De oplossingen van een veeltermvergelijking noemt men ook de wortels van de vergelijking.
Als b en/of c ontbreekt in een vergelijking en dus waarbij b en/of c gelijk is aan 0, dan spreekt men
van een onvolledige vierkantsvergelijking.
Als alle coëfficiënten a, b en c verschillend zijn van 0, spreekt men van een volledige
vierkantsvergelijking.
2.2 Onvolledige vierkantsvergelijkingen
Vergelijkingen van de vorm x² = k
Hierbij neem je de vierkantswortel van k om x te berekenen, waardoor je 2 mogelijke oplossingen
hebt aangezien de vierkantswortel van bijvoorbeeld 9, 3 maar ook -3 kan zijn.
Vergelijking van de vorm ax² + bx = 0
Hierbij zal je eerst moeten ontbinden in factoren, dit doe je door de gemeenschappelijke factor x af
te zonderen. Hierdoor weet je niet precies wat de oplossing is, dus zeg je dat x = 0 maar voor de
andere oplossing, los je de vergelijking op, zonder de gemeenschappelijke factor x.
Voorbeeld
2x² − 5x = 0
x(2x − 5) = 0
x = 0 of 2x − 5 = 0
5
x = 0 of x =
2
2.3 Volledige vierkantsvergelijkingen
Eigenschappen
De vergelijking ax² + bx + c = 0 heeft 0, 1 of 2 oplossingen, afhankelijk van het teken van de
discriminant D = b² - 4ac.
- twee oplossingen als D > 0
- één oplossing als D = 0
- geen reële oplossing als D < 0
Als de vergelijking ax² + bx + c = 0 een positieve discriminant D heeft, dan zijn de oplossingen van de
−b + √D −b − √D
vergelijking gelijk aan: x1 = 2a
en x2 = 2a
Als de vergelijking ax² + bx + c = 0 een discriminant D heeft die gelijk is aan 0, dan is de oplossing van
−b
de vergelijking gelijk aan: x = 2a
Les avantages d'acheter des résumés chez Stuvia:
Qualité garantie par les avis des clients
Les clients de Stuvia ont évalués plus de 700 000 résumés. C'est comme ça que vous savez que vous achetez les meilleurs documents.
L’achat facile et rapide
Vous pouvez payer rapidement avec iDeal, carte de crédit ou Stuvia-crédit pour les résumés. Il n'y a pas d'adhésion nécessaire.
Focus sur l’essentiel
Vos camarades écrivent eux-mêmes les notes d’étude, c’est pourquoi les documents sont toujours fiables et à jour. Cela garantit que vous arrivez rapidement au coeur du matériel.
Foire aux questions
Qu'est-ce que j'obtiens en achetant ce document ?
Vous obtenez un PDF, disponible immédiatement après votre achat. Le document acheté est accessible à tout moment, n'importe où et indéfiniment via votre profil.
Garantie de remboursement : comment ça marche ?
Notre garantie de satisfaction garantit que vous trouverez toujours un document d'étude qui vous convient. Vous remplissez un formulaire et notre équipe du service client s'occupe du reste.
Auprès de qui est-ce que j'achète ce résumé ?
Stuvia est une place de marché. Alors, vous n'achetez donc pas ce document chez nous, mais auprès du vendeur thibauttaminiau. Stuvia facilite les paiements au vendeur.
Est-ce que j'aurai un abonnement?
Non, vous n'achetez ce résumé que pour €4,99. Vous n'êtes lié à rien après votre achat.
