Resume
Résumé Algebre 1-nombres Complexes
- Cours
- Établissement
une résume bien détaillé du Algèbre 1-nombres Complexes
[Montrer plus]
Vendeur
S'abonner
zouhairsabri
Aperçu du contenu
ALGEBRE 1Nombres complexes
1 Définition du corps des nombres complexes
Soit R le corps des nombres réels. On note R2 l’ensemble des couples de nombres réels :
R2 = {(a, b), a, b ∈ R}.
Définition 1.1 On appelle corps des nombres complexes, que l’on note C, l’ensemble R2 muni
des opérations + et ×, définies de la manière suivante :
∀(a, b), (a0 , b0 ) ∈ R2
– Opération d’addition + : (a, b) + (a0 , b0 ) = (a + a0 , b + b0 ),
– Opération de multiplication × : (a, b) × (a0 , b0 ) = (aa0 − bb0 , ab0 + a0 b).
Notation 1.1 1. On veut que le corps des nombres complexes C contienne le corps des
nombres réels. Pour cela, pour tout réel a ∈ R, on identifie le nombre complexe (a, 0)
avec a. On note alors a le nombre complexe (a, 0).
2. On note i le nombre complexe (0, 1).
Notation 1.2
Avec les notations précédentes, on obtient :
Proposition 1.1 Soit a, b ∈ R. Alors :
1. (0, b) = i × b = b × i.
2. (a, b) = a + i × b.
3. i × i = −1.
Démonstration.
1. On a (0, b) = (b, 0) × (0, 1) = (0, 1) × (0, b). Donc (0, b) = i × b = b × i.
2. On a (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a + i × b.
3. On a (0, 1) × (0, 1) = (−1, 0). Donc i × i = −1.
Remarque 1.1 Dans la suite, on convient de noter zz 0 le nombre complexe obtenu par la mul-
tiplication de deux nombres complexes z et z 0 .
1
, Notation 1.3 On note a + ib le nombre complexe z = (a, b). Cette écriture s’appelle la forme
algébrique de z. Lorsque a = 0 on dit que z est un imaginaire pur et on écrit z ∈ iR.
Avec les conventions précédentes, l’addition et la multiplication deviennent pour les nombres
complexes :
∀z = a + ib, z 0 = a0 + ib0 ∈ C
– Opération d’addition + : z + z 0 = (a + a0 ) + i(b + b0 ),
– Opération de multiplication × : zz 0 = (aa0 − bb0 ) + i(ab0 + a0 b).
Remarques 1.1 1. Un nombre complexe z = a + ib est nul (z = 0) si, et seulement si
a = b = 0.
2. Pour tout nombre complexe z, on a z + 0 = 0 + z = z et z × 1 = 1 × z = z.
3. Tout nombre complexe z = a + ib admet un opposé noté −z = −a − ib.
1 a b
4. Tout nombre complexe non nul z = a + ib admet un inverse noté z = a2 +b2
− i a2 +b 2.
Proposition 1.2 On a les proporiétés suivantes :
1. Les deux opérations définis sur C sont associatives et commutatives.
2. L’opération × est distributive par rapport à l’opération + :
∀z, z 0 , z” ∈ C z(z 0 + z”) = zz 0 + zz”.
Les formules suivantes sont d’une importance majeure dans la suite. Soit z1 , z2 ∈ C et soit n ∈ N.
1. Formule du binôme :
n
X
(z1 + z2 ) = n
Cnk z1n−k z2k .
k=0
2. Formule de factorisation :
n−1
!
X
z1n − z2n = (z1 − z2 ) z1n−1−k z2k .
k=0
3. Si z1 6= 1 alors
n
X 1 − z1n+1
z1k = .
1 − z1
k=0
2 Partie réelle, partie imaginaire et conjugaison
Définition 2.1 Soit z = a + ib un nombre complexe.
1. On appelle partie réelle de z, que l’on note Re(z), le nombre réel a.
2. On appelle partie imaginaire de z, que l’on note Im(z), le nombre réel b.
3. On appelle conjugué de z, que l’on note z̄, le nombre complexe défini par z̄ = a − ib.
Remarques 2.1 Soit z, z 0 deux nombres complexes. Alors on a :
2
Les avantages d'acheter des résumés chez Stuvia:
Qualité garantie par les avis des clients
Les clients de Stuvia ont évalués plus de 700 000 résumés. C'est comme ça que vous savez que vous achetez les meilleurs documents.
L’achat facile et rapide
Vous pouvez payer rapidement avec iDeal, carte de crédit ou Stuvia-crédit pour les résumés. Il n'y a pas d'adhésion nécessaire.
Focus sur l’essentiel
Vos camarades écrivent eux-mêmes les notes d’étude, c’est pourquoi les documents sont toujours fiables et à jour. Cela garantit que vous arrivez rapidement au coeur du matériel.
Foire aux questions
Qu'est-ce que j'obtiens en achetant ce document ?
Vous obtenez un PDF, disponible immédiatement après votre achat. Le document acheté est accessible à tout moment, n'importe où et indéfiniment via votre profil.
Garantie de remboursement : comment ça marche ?
Notre garantie de satisfaction garantit que vous trouverez toujours un document d'étude qui vous convient. Vous remplissez un formulaire et notre équipe du service client s'occupe du reste.
Auprès de qui est-ce que j'achète ce résumé ?
Stuvia est une place de marché. Alors, vous n'achetez donc pas ce document chez nous, mais auprès du vendeur zouhairsabri. Stuvia facilite les paiements au vendeur.
Est-ce que j'aurai un abonnement?
Non, vous n'achetez ce résumé que pour €9,59. Vous n'êtes lié à rien après votre achat.
Peut-on faire confiance à Stuvia ?
4.6 étoiles sur Google & Trustpilot (+1000 avis)
73243 résumés ont été vendus ces 30 derniers jours
Fondée en 2010, la référence pour acheter des résumés depuis déjà 14 ans