III. Vervolg lineaire algebra (440-556)
4. Vectorruimten en lineaire afbeeldingen (440-510)
4.1 Het concept vectorruimte
𝑛
Rekenregels voor 𝑅 :
𝑛
- ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅 : 𝑥 + (𝑦 + 𝑧) = (𝑥 + 𝑦) + 𝑧
𝑛
- ∀𝑥 ∈ 𝑅 : 𝑥 + 0 = 𝑥 = 0 + 𝑥 𝑚𝑒𝑡 0 = (0, 0, ... , 0))
𝑛
- ∀𝑥 ∈ 𝑅 : 𝑥 + (− 𝑥) = (− 𝑥) + 𝑥
𝑛
- ∀𝑥, 𝑦, ∈ 𝑅 : 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥
𝑛
- ∀λ ∈ 𝑅, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅 : λ(𝑥 + 𝑦) = λ𝑥 + λ𝑦
𝑛
- ∀λ, µ ∈ 𝑅, ∀𝑥 ∈ 𝑅 : (λ + µ)𝑥 = λ𝑥 + µ𝑥
𝑛
- ∀λ, µ ∈ 𝑅, ∀𝑥 ∈ 𝑅 : (λµ)𝑥 = λ(µ𝑥)
𝑛
- ∀𝑥 ∈ 𝑅 : 1𝑥 = 𝑥
⇒Vrij vanzelfsprekende eigenschappen
Alle gekende eigenschappen van functies gelden ook binnen 𝐶(𝑅): de verzameling van alle
continue functies.
Ook in Ŕ: de verzameling van alle rijen (normale notatie is een gekrulde cursieve R maar
symbool staat niet in docs dus gebruik ik de notatie Ŕ) gelden de bekende rekenregels en
eigenschappen van rijen.
Als we optellen of scalair vermenigvuldigen in een vectorruimte dan voldoen ze aan:
- ∀𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉: 𝑢 + (𝑣 + 𝑤) = (𝑢 + 𝑣) + 𝑤
- 𝐸𝑟 𝑏𝑒𝑠𝑡𝑎𝑎𝑡 𝑒𝑒𝑛 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑛 𝑖𝑛 𝑉 𝑧𝑜𝑑𝑎𝑡: ∀𝑛 ∈ 𝑉: 𝑣 + 𝑛 = 𝑣 = 𝑛 + 𝑣 (𝑛 noemen we de
nulvector)
- 𝑉𝑜𝑜𝑟 𝑒𝑙𝑘𝑒 𝑣 ∈ 𝑉 𝑏𝑒𝑠𝑡𝑎𝑎𝑡 𝑒𝑟 𝑒𝑒𝑛 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑤 𝑖𝑛 𝑉 𝑧𝑜 𝑑𝑎𝑡 𝑣 + 𝑤 = 𝑛 = 𝑤 + 𝑣
- ∀𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉: 𝑣 + 𝑤 = 𝑤 + 𝑣
- ∀λ ∈ 𝑅, ∀𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉: λ(𝑣 + 𝑤) = λ𝑣 + λ𝑤
- ∀λ, µ ∈ 𝑅, ∀𝑣 ∈ 𝑉: (λ + µ)𝑣 = λ𝑣 + µ𝑣
- ∀λ, µ ∈ 𝑅, ∀𝑣 ∈ 𝑉: (λµ)𝑣 = λ(µ𝑣)
- ∀𝑣 ∈ 𝑉: 1𝑣 = 𝑣
We noemen (𝑅, 𝑉, +) een (reële) vectorruimte als ze voldoet aan deze eigenschappen, λ
en µ noemen we scalairen en 𝑢,𝑣 en 𝑤 vectoren. In eigenschap 3 noemt men 𝑤 het invers
element.
We kunnen d.m.v. de optelling en de scalaire vermenigvuldiging te combineren lineaire
combinaties vormen, algemeen: λ1𝑣1 + λ2𝑣2 + ... + λ𝑘𝑣𝑘 𝑚𝑒𝑡 𝑘 ∈ 𝑁0
𝑘
𝐶 (𝑅): de verzameling van alle functies die minstens 𝑘-keer afleidbaar zijn.
∞
𝐶 (𝑅): de verzameling van alle functies die onbeperkt afleidbaar zijn.
Ŕ𝑐𝑜𝑛𝑣: de verzameling van alle convergente rijen.
𝑛
𝑅[𝑋] : de verzameling van alle veeltermen 𝑋 met graad hoogstens 𝑛.
,4.2 Deelruimten
Zij (𝑅, 𝑉, +) een vectorruimte en 𝑈 een deelverzameling van 𝑉. We zeggen dat 𝑈 een
deelruimte (=deelvectorruimte) is van 𝑉 als 𝑈 ≠ ∅ en als:
∀𝑣, 𝑤 ∈ 𝑈, ∀λ, µ ∈ 𝑅: λ𝑣 + µ𝑤 ∈ 𝑈
We controleren of alle lineaire combinaties van elementen binnen 𝑈 ook degelijk in 𝑈 blijven.
Ook moet de nulvector van 𝑉 in 𝑈 zitten. Als 𝑈 alleen 0 bevat of gelijk is aan 𝑉 dan spreken
we van een onechte of triviale deelruimte, we spreken pas van een echte als {0} ≠ 𝑈 ≠ 𝑉.
Als een deelruimte een rechte door de oorsprong is dan spreken we van een vectorrechte.
Zo kunnen we door de som te nemen van 2 vectoren een vectorvlak creëren.
Opm: De oplossingsverzameling van een homogeen lineair stelsel met 𝑛 onbekenden is een
𝑛
deelruimte van 𝑅 .
De doorsnede van een willekeurige familie van deelruimten 𝑈 van een vectorruimte (𝑅, 𝑉, +)
is nog steeds een deelruimte van 𝑉.
Zij (𝑅, 𝑉, +) een vectorruimte en 𝐷 ⊆ 𝑉. De deelruimte voortgebracht (of opgespannen)
door 𝐷 is de kleinste deelruimte van 𝑉 die 𝐷 omvat. We noteren deze deelruimte met 𝑣𝑐𝑡(𝐷).
(je kan met de lineaire combinaties van de vectoren in 𝐷 alle vectoren van 𝑉 maken, 𝑉 bevat
dus ook alle lin. comb. van de vectoren uit 𝐷. 𝐷 is de doorsnede van alle deelruimten die 𝐷
omvatten dus de doorsnede is dan ook de kleinste deelruimte)
De deelvectorruimte voortgebracht door 𝐷 is de verzameling van alle lineaire combinaties
van vectoren uit 𝐷. (We kunnen nagaan of een vector behoort tot een vectorruimte die
voortgebracht wordt door (een aantal) vector(en) door te zien of die gevormd kan worden
door een lineaire combinatie van de vectoren uit de voortbrengende verzameling)
Zij (𝑅, 𝑉, +) een vectorruimte en 𝑈 een deelruimte. Als 𝑈 voortgebracht wordt door een
𝐷 ⊆ 𝑉, dan noemen we 𝐷 een voortbrengend deel van 𝑈. Als 𝐷 de gehele vectorruimte 𝑉
voortbrengt, dan noemen we 𝐷 kortweg een voortbrengend deel.
Zij (𝑅, 𝑉, +) een vectorruimte en 𝑈 een deelruimte van 𝑉. Voor elke vector 𝑣 ∈ 𝑉 kan men
een verzameling 𝑈 + 𝑣 definiëren door: 𝑣 + 𝑈 = {𝑣 + 𝑢 | 𝑢 ∈ 𝑈}. Elke dergelijk
verzameling 𝑣 + 𝑈 noemt men een nevenklasse van 𝑈 door 𝑣. Zo is ook de oplossing van
een lineair stelsel 𝐴𝑋 = 𝐵 is een nevenklasse van het overeenkomstig 𝐴𝑋 = 0.
, 4.3 Lineaire (on)afhankelijkheid. Basis en dimensie
Zij (𝑅, 𝑉, +) een vectorruimte en 𝐷 ⊆ 𝑉. We noemen een vector 𝑣 ∈ 𝑉 lineair afhankelijk
van 𝐷 als 𝑣 ∈ 𝑣𝑐𝑡(𝐷), dus als het geschreven kan worden als een lineaire combinatie van
elementen uit 𝐷. We noemen 𝑣 lineair onafhankelijk van 𝐷 als 𝑣 ∉ 𝑣𝑐𝑡(𝐷), dus als 𝑣 niet
als een lineaire combinatie van elementen van 𝐷 geschreven kan worden. (een vector is
dus lineair onafhankelijk als we de nulvector alleen kunnen vormen door de elementen met 0
te vermenigvuldigen, zie prop p 457)
We kunnen spreken van een lineair afhankelijk deel als er binnen de deelruimte een vector
bestaat die lineair afhankelijk is van een andere vector binnen diezelfde deelruimte:
∀𝑣 ∈ 𝐷 ⊆ 𝑉: 𝑣 ∈ 𝑣𝑐𝑡(𝐷 \ {𝑣}). Een lineair onafhankelijk deel is dan als we geen lineaire
combinatie kunnen vormen.
Zij 𝐹 een vrij deel en 𝐺 een voortbrengend deel van een vectorruimte (𝑅, 𝑉, +). Dan is
#𝐹 ≤ #𝐺. (Een vrij deel moet “klein genoeg” zijn en een voortbrengend deel moet “groot
genoeg” zijn)
Zij (𝑅, 𝑉, +) een vectorruimte. We noemen een deelverzameling 𝐵 ⊆ 𝑉 een basis van 𝑉 als
𝐵 zowel voortbrengend (dus 𝑣𝑐𝑡(𝐵) = 𝑉) als vrij is. De elementen van 𝐵 zijn dan
basisvectoren.
Zij (𝑅, 𝑉, +) een vectorruimte. Een deel 𝐵 ⊆ 𝑉 is een basis van 𝑉 als en slechts als elke
𝑣 ∈ 𝑉 op een unieke manier te schrijven is als een lineaire combinatie van verschillende
vectoren uit 𝐵.
Als er voor een vectorruimte één eindige basis bestaat, dan zijn alle basissen eindig en
hebben ze hetzelfde aantal elementen. Analoog voor oneindig.
⇒ indien (𝑅, 𝑉, +) een eindige basis heeft, dan noemen we 𝑉 eindigdimensionaal. We
definiëren dan de dimensie van 𝑉 als het aantal elementen van die eindige basis (en dus
elke basis) en we noteren dit aantal door 𝑑𝑖𝑚 𝑉. Indien 𝑉 oneindigdimensionaal is dan is
𝑑𝑖𝑚 𝑉 = ∞.
Men noemt in de lineaire combinatie van een vector de coëfficiënten de coördinaten van
een vector t.o.v. de basis 𝐵 van 𝑉.
Zij (𝑅, 𝑉, +) een eindigdimensionale vectorruimte en 𝐹 een vrij deel van 𝑉. dan geldt:
- #𝐹 ≤ 𝑑𝑖𝑚 𝑉
- Als #𝑓 = 𝑑𝑖𝑚 𝑉, dan is 𝐹 ook voortbrengens en dus een basis voor 𝑉
Zij (𝑅, 𝑉, +) een eindigdimensionale vectorruimte en 𝑈 een deelruimte van 𝑉, dan is
𝑑𝑖𝑚 𝑈 ≤ 𝑑𝑖𝑚 𝑉. Bovendien is 𝑈 = 𝑉 als en slechts als 𝑑𝑖𝑚 𝑈 = 𝑑𝑖𝑚 𝑉.
4.4 Lineaire afbeeldingen tussen vectorruimten
Zij (𝑅, 𝑉, +) en (𝑅, 𝑊, +) vectorruimten. We noteren een afbeelding 𝐿: 𝑉 → 𝑊 lineair als
