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Samenvatting Uitwerkingen inleveropgave week 11
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Kleinste bovengrens eigenschap - uitwerkingen inleveropgave week 11 Fundamenten van de wiskunde
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FUNDAMENTEN 2021 – INLEVEROPGAVE WEEK 11MISJA F.A. STEINMETZ
√ √
In dit documnentje laten we zien hoe we de functie : R>0 → R gegeven door x 7→ x
definiëren door alleen gebruik te maken van de axioma’s van R en de supremumeigenschap.
Voor alle x ∈ R definiëren we x2 = x · x. Dit is Definitie 2.3.1 uit [1]. Neem nu een vaste
r ∈ R>0 . Dan kunnen we de verzameling definiëren
Tr = {x ∈ R | x2 < r}.
Deze verzameling is niet leeg, want 0 · 0 = 0 (Lemma 2.3.2(7)) en 0 < r (per definitie van r).
Dus 0 ∈ Tr .
Stel nu dat y ∈ R zodanig dat y > r en y > 1. Dan geldt dat r · y < y · y (Defn 2.2.1(m),
Lem. 2.3.3(8) en Defn. 2.2.1(k)). Ook geldt r · y = y · r (Defn. 2.2.1(f)). Omdat 1 < y en
r > 0 moet ook gelden dat 1 · r < y · r (Defn 2.2.1(m)). Al met al trekken we de conclusie dat
r < y 2 (Defn. 2.2.1(k), (g) en (f)). Dit betekent dat y ∈
/ Tr als y > max(r, 1), dus Tr is van
boven begrensd.
Nu gebruiken we de supremumeigenschap van R om te concluderen dat Tr een supremum
moet hebben in R, noem dit sup(Tr ). Nu kunnen we de wortelfunctie definiëren als
√
: R>0 → R
r 7→ sup({x ∈ R | x2 < r}).
√
We merken op dat formeel gezien dit de definitie van r is voor een r ∈ R>0 , dus we hoeven
niet te bewijzen dat deze functie√aan bepaalde eigenschappen voldoet. Als je dat wilt, dan kan
je als opgave zelf bewijzen dat ( r)2 = r voor alle r ∈ R>0 , maar dit is geen onderdeel van de
inleveropgave. Merk op dat je dit laatste feit min of meer al bewezen hebt in Opgave 1.6.2(b)
– het bewijzen van deze eigenschap zal heel erg lijken op de uitwerking van Opgave 1.6.2(b).
References
[1] Ethan D. Bloch, The Real Numbers and Real Analysis, Springer New York, 2011.
Date: 29 november 2021.
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