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Summary Séries_Harmoniques_Licence_3_Mathématiques
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  • Cours
  • Établissement
  • Paris VI - Université Pierre Et Marie Curie

Notes et résumé de cours sur les séries harmoniques, toutes les règles et les théorèmes dont vous avez besoins pour résoudre vos exercices. Le document est en anglais facile à lire et à comprendre.

Aperçu 1 sur 4  pages

Infos sur le Document

  • 25 novembre 2023
  • 4
  • 2022/2023
  • Resume

Sujets

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  • Paris VI - Université Pierre et Marie Curie
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3) Harmonic series :
𝟏
They are of the form : ∑𝒏≥𝟏 𝒏

• Reminders :
1. A numerical sequence of real numbers (𝑎𝑛 )𝑛 is a Cauchy sequence if : ∀𝜀 > 0 ; ∃𝑁 ∈ ℕ ,
such that : ∀𝑝 > 𝑞 > 𝑁, we have : |𝑎𝑝 − 𝑎𝑞 | < 𝜀.
2. (𝑎𝑛 )𝑛 is a convergente sequence if : ∃𝑙 ∈ ℝ , such that : lim 𝑎𝑛 = 𝑙 ⟺ ∀𝜀 > 0 , ∃𝑛0 ; such
𝑛→+∞

that : ∀𝑛 > 𝑛0 , we have : |𝑢𝑛 − 𝑙| < 𝜀.
3. The real number sequence (𝑎𝑛 )𝑛 is a Cauchy sequence if and only if it is convergent.
4. (𝑎𝑛 )𝑛 is a sequence that is not Cauchy if : ∃𝜀0 > 0 ; ∀𝑁 ∈ ℕ ; ∃𝑝0 , 𝑞0 > 𝑁, such that :
|𝑎𝑝0 − 𝑎𝑞0 | ≥ 𝜀0 .
1
Let's consider the sequence of partial sums 𝑆𝑛 = ∑𝑛𝑘=1 𝑘 , and let 𝑝0 = 2𝑛 , 𝑞0 = 𝑛.
1 1
We have : 𝑆𝑝0 − 𝑆𝑞0 = 𝑆2𝑛 − 𝑆𝑛 = ∑2𝑛 𝑛
𝑘=1 𝑘 − ∑𝑘=1 𝑘


1 1 1 1 1 1
𝑆2𝑛 − 𝑆𝑛 = + + ⋯+ ≥ + + ⋯+
𝑛+1 𝑛+2 2𝑛 2𝑛 2𝑛 2𝑛

𝑛 terms

𝑛 1
𝑆2𝑛 − 𝑆𝑛 ≥ =
2𝑛 2
1
We have the following : ∃𝜀0 = 2 ; ∀𝑛 ; ∃𝑝0 = 2𝑛 ; ∃𝑞0 = 𝑛 , such that :
1
|𝑆2𝑛 − 𝑆𝑛 | > 𝜀0 =
2
1
Then : (𝑆𝑛 )𝑛 diverges, so the harmonic series ∑𝑛≥1 𝑛 diverges.

• Properties and operations on series :
1. The nature of a series is not changed if we add or subtract a finite number of its terms.
2. In the case of convergence, it is the sum that changes when adding or subtracting terms. The
series ∑𝑛≥0 𝑢𝑛 and ∑𝑛≥𝑛0 𝑢𝑛 remains of the same nature but with a different sum.
1
Example : ∑𝑛≥0 (𝑛+1)(𝑛+2) = 1
1 1 1 1 1 1
Let be : ∑𝑛≥2 (𝑛+1)(𝑛+2) ; we have : 𝑇𝑛 = ∑𝑛𝑘=2 (𝑘+1)(𝑘+2) = ∑𝑛𝑘=2 (𝑘+1 − 𝑘+2) = 3 − 𝑛+2
1 1 1
lim 𝑇𝑛 = 3 ; so : ∑𝑛≥2 (𝑛+1)(𝑛+2) = 3
𝑛→+∞

3. Let ∑𝑛≥0 𝑢𝑛 and ∑𝑛≥0 𝑣𝑛 be two series. If ∑𝑛≥0 𝑢𝑛 converges with sum 𝑆 and ∑𝑛≥0 𝑣𝑛
converges with sum 𝑆′, then the series ∑𝑛≥0(𝑢𝑛 + 𝑣𝑛 ) converges with sum 𝑆 + 𝑆′.
4. Let 𝛼 ∈ ℝ∗ . If ∑𝑛≥0 𝑢𝑛 converges with sum 𝑆, then the series ∑𝑛≥0(𝛼𝑢𝑛 ) converges with sum
𝛼𝑆.

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