Dit document is een samenvatting van 'Analyse 1b; 1. Rijen en machten', uit het boek 'VBTL 5 - gevorderde wiskunde' voor het vak Wiskunde in het GO! Onderwijs in de doorstroomfinaliteit/ASO.
1. REKENKUNDIGE RIJEN
1.1 Het begrip ‘rij’
Een rij is een aantal reële getallen die in een bepaalde volgorde gegeven zijn. Die
getallen noemen we de termen van een rij. Elke term / elk element heeft een
volgnummer dat we onderaan als index noteren (u 1, u2, u3 …). De algemene term van
een rij is de n-de term un.
1.2 Bepaling van een rij: expliciet en recursief voorschrift
Expliciet voorschrift
Bij sommige rijen kunnen we een formule u n = f(n) vinden waarmee we un kunnen
berekenen voor een willekeurige n. We zeggen dat de rij bepaald is door een expliciet
voorschrift. Met zo’n formule kun je elke term van de rij direct berekenen.
Voorbeeld expliciet voorschrift
7 17 31 49
Op een toelatingsexamen werd gevraagd de rij 1, , , , , … met nog twee termen
4 9 16 25
aan te vullen en de algemene term te bepalen. Je merkt op dat de noemer 1², 2², 3², 4²
en 5² zijn en de tellers zijn telkens één minder dan het dubbele van de noemer.
De algemene term, waarmee je de twee ontbrekende termen mee kunt berekenen is
2n 2−1
dan ook: .
n2
Recursief voorschrift
Bij sommige rijen kunnen we een formule u n + 1 = f(un) vinden waarmee we een term
kunnen berekenen uit een of meer voorgaande termen. We spreken dan van een
recursief voorschrift. Daarbij hebben we dus de vorige term(en) nodig om de
daaropvolgende term te kunnen berekenen.
Voorbeeld recursief voorschrift
De rij van Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … kan dor middel van een recursief voorschrift
gegeven worden: u1 = 1 en u2 = 1 en un+2 = un + un+1. Hier zijn dus twee termen
gegeven: u1 en u2.
Door toepassing van die formule vinden we dat u3 = u1 + u2 = 2.
Ontbinden in priemfactoren
Als we gaan ontbinden in factoren kan dat ook met de priemgetallen: 2, 3, 5, 7, 11, 13,
17, 19, 23, 29 …
1
, 1.4 Rekenkundige rijen
Rekenkundige rij - in woorden
Een rekenkundige rij is een rij waarbij elke term gelijk is aan de som van de voorgaande
term met een constant getal v. Dat constante getal v (∈ R ) noemen we het verschil van
de rekenkundige rij.
Rekenkundige rij - in symbolen
(un) is een rekenkundige rij met verschil v ⟺ ∀ n ∈ N 0 :un+1 =un +v
Bewijs algemene term van een rekenkundige rij
Is (un) een rekenkundige rij met verschil v, dan hebben we:
u2 = u 1 + v
u3 = u2 + v = u1 + v + v = u1 + 2v
u4 = u3 + v = u1 + v + v + v = u1 + 3v
… …
un = un-1 + v = u1 + (n - 1)v
Algemene term rekenkundige rij
un = u1 + (n - 1)v
1.5 Enkele eigenschappen van rekenkundige rijen
Eigenschap 1
a, b en c zijn drie opeenvolgende termen van een rekenkundige rij als en slechts als b =
a+c
.
2
We noemen b het rekenkundig gemiddelde van a en c.
Bewijs eigenschap 1
a, b en c zijn drie opeenvolgende termen van een rekenkundige rij
b = a + v en c = b + v
b–a =c–b
2b = a + c
a+c
b =
2
Besluit uit het bewijs van eigenschap 1
In een rekenkundige rij is elke term gelijk aan het rekenkundig gemiddelde van de twee
termen die hem insluiten. Vandaar de benaming rekenkundige rij.
Eigenschap 2
In een rekenkundige rij met n termen is de som van de termen die even ver van de
uiterste termen u1 en un verwijderd zijn, constant en gelijk aan de som van de uitersten.
Bewijs eigenschap 2
Voor een willekeurige rekenkundige rij tonen we aan dat:
u1 + un = u2 + un-1 = u3 + un-2 = …
Bekijk het volgende schema:
Hieruit volgt:
u2 + un-1 = (u1 + v) + (un – v) = u1 + un
u3 + un-2 = (u1 + 2v) + (un – 2v) = u1 + un
1.6 Grafische voorstelling van een rekenkundige rij
Alle punten van de grafiek liggen op een rechte. (punten niet verbinden, geen rechte
tekenen!)
We spreken van een lineair verband tussen de tijd en het gespaarde bedrag.
2
Les avantages d'acheter des résumés chez Stuvia:
Qualité garantie par les avis des clients
Les clients de Stuvia ont évalués plus de 700 000 résumés. C'est comme ça que vous savez que vous achetez les meilleurs documents.
L’achat facile et rapide
Vous pouvez payer rapidement avec iDeal, carte de crédit ou Stuvia-crédit pour les résumés. Il n'y a pas d'adhésion nécessaire.
Focus sur l’essentiel
Vos camarades écrivent eux-mêmes les notes d’étude, c’est pourquoi les documents sont toujours fiables et à jour. Cela garantit que vous arrivez rapidement au coeur du matériel.
Foire aux questions
Qu'est-ce que j'obtiens en achetant ce document ?
Vous obtenez un PDF, disponible immédiatement après votre achat. Le document acheté est accessible à tout moment, n'importe où et indéfiniment via votre profil.
Garantie de remboursement : comment ça marche ?
Notre garantie de satisfaction garantit que vous trouverez toujours un document d'étude qui vous convient. Vous remplissez un formulaire et notre équipe du service client s'occupe du reste.
Auprès de qui est-ce que j'achète ce résumé ?
Stuvia est une place de marché. Alors, vous n'achetez donc pas ce document chez nous, mais auprès du vendeur thibauttaminiau. Stuvia facilite les paiements au vendeur.
Est-ce que j'aurai un abonnement?
Non, vous n'achetez ce résumé que pour €4,99. Vous n'êtes lié à rien après votre achat.
