Dit document is een samenvatting van 'Complexe getallen; 2. Hoofdstelling van de algebra', uit het boek 'VBTL 5 - gevorderde wiskunde' voor het vak Wiskunde in het GO! Onderwijs in de doorstroomfinaliteit/ASO.
1. VEELTERMEN MET COMPLEXE COËFFICIENTEN IN ℂ[z]
1.1 Veelterm met complexe coëfficiënten
Een veelterm met complexe coëfficiënten in één veranderlijke z kunnen we noteren als:
n
∑ ai z i = a z
n
n
+ an-1zn-1 + an-2zn-2 + … + a2z2 + a1z + a0 waarbij a0, a1, a2, …, an-2, an-1, an
i=0
∈C en n ∈ N .
1.2 Graad van een veelterm
De graad van een veelterm in z is de hoogst voorkomende exponent van z in die
veelterm.
1.3 Getalwaarde van een veelterm
De getalwaarde van een veelterm A(z) voor een gegeven complex getal w = a + bi is
het complex getal dat we bekomen door in de veelterm de veranderlijke z te vervangen
door w. Dit kan d.m.v. Horner!
Notatie: A(w)
2. DEELBAARHEID DOOR z - c
1.1 Deelbaarheid door z - c
A(z) is deelbaar door d(z) als en slechts als de rest van de euclidische deling van A(z)
door D(z) nul is.
D(z) | A(z) ⇔ ∃ Q ( z ) ∈C [ z ] : A ( z )=D ( z ) · Q ( z )
⇔ R(z) = 0
Reststelling
Bij de euclidische deling van een veelterm door z - c (met c ∈C ) is de rest van de deling
gelijk aan de getalwaarde van het deeltal voor z = c.
Kenmerk van deelbaarheid door z - c
De veelterm A(z) is deelbaar door z - c als en slechts als de getalwaarde voor z = c
gelijk is aan 0.
(z - c) | A(z) ⇔ A(c) = 0
Als c1 en c2 twee verschillende complexe getallen zijn, dan geldt: (z - c 1) · (z - c2) | A(z)
en z - c2 | A(z).
3. STELLING VAN D’ALEMBERT
3.1 Hoofd- / Fundamentele stelling van de algebra oftewel stelling van
d’Alembert
Elke veelterm met complexe coëfficiënten en met graad groter dan of gelijk aan één,
heeft ten minste één nulwaarde. A(z) ∈C [ z ] en gr(A(z)) ≥ 1 ⇒ ∃ c ∈C : A(c) = 0
1
Les avantages d'acheter des résumés chez Stuvia:
Qualité garantie par les avis des clients
Les clients de Stuvia ont évalués plus de 700 000 résumés. C'est comme ça que vous savez que vous achetez les meilleurs documents.
L’achat facile et rapide
Vous pouvez payer rapidement avec iDeal, carte de crédit ou Stuvia-crédit pour les résumés. Il n'y a pas d'adhésion nécessaire.
Focus sur l’essentiel
Vos camarades écrivent eux-mêmes les notes d’étude, c’est pourquoi les documents sont toujours fiables et à jour. Cela garantit que vous arrivez rapidement au coeur du matériel.
Foire aux questions
Qu'est-ce que j'obtiens en achetant ce document ?
Vous obtenez un PDF, disponible immédiatement après votre achat. Le document acheté est accessible à tout moment, n'importe où et indéfiniment via votre profil.
Garantie de remboursement : comment ça marche ?
Notre garantie de satisfaction garantit que vous trouverez toujours un document d'étude qui vous convient. Vous remplissez un formulaire et notre équipe du service client s'occupe du reste.
Auprès de qui est-ce que j'achète ce résumé ?
Stuvia est une place de marché. Alors, vous n'achetez donc pas ce document chez nous, mais auprès du vendeur thibauttaminiau. Stuvia facilite les paiements au vendeur.
Est-ce que j'aurai un abonnement?
Non, vous n'achetez ce résumé que pour €4,99. Vous n'êtes lié à rien après votre achat.
