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Samenvatting Goniometrie en beweging

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Cours
Wiskunde B

Type
VWO / Gymnasium

Dit is een samenvatting van wiskunde B uit vwo 5. De volgende zaken komen aan bod: goniometrische formule, goniometrische vergelijking, verschilformule, somformule, verdubbelingsformule, lijnsymmetrie, puntsymmetrie, afgeleide van sinus, afgeleide van cosinus, afgeleiden van tangens, raaklijn, topp...

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Publié le 5 février 2018
Nombre de pages 5
Écrit en 2015/2016
Type Resume

goniometrische formule
verschilformule
somformule
verdubbelingsformule
lijnsymmetrie
puntsymmetrie
afgeleide van sinus
afgeleide van cosinus
afgeleiden van tangens
raaklijn
goniometrische vergelijking

Établissement Lycée
Type
VWO / Gymnasium
Cours
Wiskunde B
Année scolaire 5

brittheijmans

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Hoofdstuk 11, goniometrie en beweging
Goniometrische formules

sin(−𝐴) = − sin(𝐴) cos(−𝐴) = cos(𝐴)

− sin(𝐴) = sin(𝐴 + 𝜋) − cos(𝐴) = cos(𝐴 + 𝜋)

1 1
sin(𝐴) = cos (𝐴 − 𝜋) cos(𝐴) = sin (𝐴 + 𝜋)
2 2

sin2(𝐴) + cos2(𝐴) = 1 sin(𝐴)
tan(𝐴) =
cos(𝐴)

Je hebt vaak opgaven dat je een cosinus moet herleiden tot een sinus
waarbij je meerdere van de hierboven genoemde vergelijkingen nodig zal
hebben.

Goniometrische vergelijkingen
De oplossing van vergelijkingen zoals sin(𝐴) = 𝐶 en cos(𝐴) = 𝐶
met C= -1, 0, 1 lees je af uit de eenheidscirkel.

De vergelijkingen sin(𝐴) = 𝐶 en cos(𝐴) = 𝐶 met
1 1 1 1 1 1
C=− √3, − √2, − , , √2, √3 los je op door naar de
2 2 2 2 2 2
exacte waarden in de eenheidscirkel te kijken. Daarna gebruik je
sin(𝐴) = 𝐶 geeft:
𝐴 = 𝐵 + 𝑘 ∙ 2𝜋 ∨ 𝐴 = 𝜋 − 𝐵 + 𝑘 ∙ 2𝜋
en cos(𝐴) = 𝐶 geeft:
𝐴 = 𝐵 + 𝑘 ∙ 2𝜋 ∨ 𝐴 = −𝐵 + 𝑘 ∙ 2𝜋

Soms moet je, om een goniometrische vergelijking op te lossen
deze herleiden met behulp van goniometrische formules tot de
vorm sin(𝐴) = sin(𝐵) of cos(𝐴) = cos(𝐵). Daarna gebruik je
de algemene regels voor het oplossen van goniometrische vergelijkingen:

sin(𝐴) = sin(𝐵) geeft 𝐴 = 𝐵 + 𝑘 ∙ 2𝜋 ∨ 𝐴 = 𝜋 − 𝐵 + 𝑘 ∙ 2𝜋
cos(𝐴) = cos(𝐵) geeft 𝐴 = 𝐵 + 𝑘 ∙ 2𝜋 ∨ 𝐴 = −𝐵 + 𝑘 ∙ 2𝜋

Verschil-, som- en verdubbelingsformule

De eerste twee verdubbelingsformules zijn af te leiden uit de somformules en de laatste twee
verdubbelingsformules zijn af te leiden uit de verschilformules. Vandaar dat we bij het PW de som-
en verschilformules gegeven krijgen maar de verdubbelingsformules niet.

, Lijn- en puntsymmetrie

Een bijzonder geval van lijnsymmetrie in symmetrie in de y-as, ofwel de lijn x=0. Dan geldt voor elke
𝑝 dat 𝑓(−𝑝) = 𝑓(𝑝).

Een bijzonder geval van puntsymmetrie is puntsymmetrie in de O. Dan geldt voor elke 𝑝 dat
𝑓(−𝑝) + 𝑓(𝑝) = 0.

De afgeleide van sinus, cosinus en tangens
𝑓(𝑥) = sin(𝑥) 𝑓 ′ (𝑥) = cos(𝑥)
𝑓(𝑥) = cos(𝑥) 𝑓 ′ (𝑥) = −sin(𝑥)
𝑓(𝑥) = sin(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑎 cos(𝑎𝑥 + 𝑏)
𝑓(𝑥) = cos(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑓 ′ (𝑥) = −𝑎 sin(𝑎𝑥 + 𝑏)
1
𝑓(𝑥) = tan(𝑥) 𝑓 ′ (𝑥) = cos2(𝑥) ∨ 𝑓 ′ (𝑥) = 1 + tan2 (𝑥)

Raaklijnen en toppen

Toppen liggen een halve periode na
elkaar, je hebt namelijk een top en
een dal in één periode zitten
(tenminste bij een sinusoïde).

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