Samenvatting signalen I en systemen Industrieel ingenieur tweede bachelor UGent
De theorie, nadruk én tips van de les, inclusief het merendeel van de oefeningen/voorbeelden compleet uitgetypt.
Faculteit ingenieurswetenschappen en architectuur
Academic Year 2023-2024
, CONTENT
Content .................................................................................................................................. 2
1 Definities en classificaties van signalen en systemen ..................................................... 5
1.1 Definitie signaal .................................................................................................................. 5
1.2 Classificatie en eigenschappen van signalen ...................................................................... 5
1.2.1 Continu - discreet ........................................................................................................ 5
1.2.2 Analoog - digitaal ......................................................................................................... 5
1.2.3 Reëel – complex .......................................................................................................... 5
1.2.4 Deterministisch – random ............................................................................................ 7
1.2.5 Even signalen – oneven signalen ................................................................................ 7
1.2.6 Periodieke signalen – niet periodieke signalen ............................................................ 8
1.2.7 Energie en vermogen van een signaal ......................................................................... 8
1.3 Basissignalen ................................................................................................................... 10
1.3.1 Eenheidsstap- of heavysidefunctie u(t) ...................................................................... 10
1.3.2 De diracfunctie, -impuls of eenheidspuls δ(t) ............................................................. 10
1.3.3 Exponentiële signalen................................................................................................ 11
1.3.4 Sinusoïdale signalen.................................................................................................. 11
1.3.5 Complexe exponentiële signalen ............................................................................... 11
1.4 Bewerkingen op signalen .................................................................................................. 12
1.4.1 Bewerkingen op de afhankelijke veranderlijke ........................................................... 12
1.4.2 Bewerkingen op de onafhankelijk veranderlijk (t) ....................................................... 13
1.5 Definitie systeem .............................................................................................................. 14
1.6 Classificatie systemen ...................................................................................................... 14
1.6.1 Deterministisch – stochastisch................................................................................... 14
1.6.2 Continue tijd – discrete tijd ......................................................................................... 14
1.6.3 Geheugenloze systemen – systemen met geheugen................................................. 14
1.6.4 Causaal – niet causaal .............................................................................................. 14
1.6.5 Lineair – niet lineair ................................................................................................... 15
1.6.6 Tijdsvariant – tijdsinvariant......................................................................................... 15
1.6.7 BIBO-stabiliteit ........................................................................................................... 16
1.6.8 Feedback-systemen .................................................................................................. 16
2 Lineaire tijdsinvariante systemen in continue tijd........................................................... 17
2.1 Inleidende voorbeelden .................................................................................................... 17
2.1.2 Voorbeeld 2 ............................................................................................................... 18
2.1.3 Voorbeeld 3 ............................................................................................................... 18
2.2 Impulsantwoord en convolutie .......................................................................................... 19
, 2.2.1 Impulsantwoord h(t) ................................................................................................... 19
2.2.2 Willekeurige ingang ................................................................................................... 19
2.2.3 Grafische interpretatie van de convolutie ................................................................... 20
2.2.4 Periodische convolutie ............................................................................................... 21
2.3 Relatie impulsantwoord en stabiliteit ................................................................................. 21
2.4 Relatie impulsantwoord – stapantwoord ........................................................................... 21
2.5 Eigenfuncties en eigenwaarden van een LTI-systeem ...................................................... 22
2.6 Simuleren van dynamische systemen in continue tijd ....................................................... 23
2.6.1 Voorbeeld 1 ............................................................................................................... 23
2.6.2 Voorbeeld 2 ............................................................................................................... 23
3 Laplace transformatie ................................................................................................... 24
3.1 Inleiding ............................................................................................................................ 24
3.2 Definitie ............................................................................................................................ 24
3.3 Convergentiegebied ROC ................................................................................................. 25
3.3.1 Voorbeeld 1 ............................................................................................................... 25
3.4 Voorbeelden ..................................................................................................................... 26
3.4.1 Voorbeeld 2 ............................................................................................................... 26
3.5 Eigenschappen ................................................................................................................. 27
3.5.1 Tijdsverschuiving ....................................................................................................... 27
3.5.2 Convolutie ................................................................................................................. 27
3.5.3 Afleiden ..................................................................................................................... 27
3.5.4 Integreren .................................................................................................................. 27
3.6 De Inverse Laplace-transformatie ..................................................................................... 27
3.6.1 Voorbeeld 1 ............................................................................................................... 28
3.6.2 Voorbeeld 2 ............................................................................................................... 28
3.7 De systeemfunctie ............................................................................................................ 29
3.7.1 Relatie tussen DVG en systeemfunctie ...................................................................... 29
3.7.2 Relatie tussen systeemfunctie en stabiliteit ................................................................ 29
3.7.3 Serieschakeling van systemen .................................................................................. 29
3.8 De unilaterale Laplace-transformatie ................................................................................ 30
3.8.1 Voorbeeld 1 ............................................................................................................... 30
3.8.2 Voorbeeld 2 ............................................................................................................... 31
3.8.3 schakelverschijnselen in elektrische netwerken ......................................................... 32
4 Fourier-analyse van signalen en systemen ................................................................... 34
4.1 Inleiding ............................................................................................................................ 34
4.2 Fourieranalyse van periodieke signalen: fourierreeks ....................................................... 34
4.2.1 Complex exponentiële notatie.................................................................................... 34
CONTENT DATUM PAGINA
DEFINITIE SIGNAAL 5/01/2024 3
, 4.2.2 De trigonometrische notatie ....................................................................................... 35
4.2.3 De harmonische notatie ............................................................................................. 35
4.2.4 Convergentie van de Fourier-reeks: Dirichlet-voorwaarden ....................................... 35
4.2.5 Amplitude- en fasespectrum ...................................................................................... 35
4.2.6 Vermogen van een periodiek signaal ......................................................................... 37
4.3 Fourieranalyse van niet-periodieke signalen: fouriertransformatie .................................... 37
4.3.2 Amplitude- en fasespectrum ...................................................................................... 38
4.3.3 Eigenschappen fouriertransformatie .......................................................................... 40
4.4 Fourieranalyse van systemen ........................................................................................... 40
4.4.2 Bandbreedte – 3dB-bandbreedte ............................................................................... 43
4.4.3 Frequentie-antwoorden tekenen - Bodediagram ........................................................ 44
4.4.4 Bodediagram ............................................................................................................. 44
5 Bemonstering – sampling ............................................................................................. 48
5.1 Inleiding ............................................................................................................................ 48
5.2 Het sampletheorema van Nyquist-Shannon...................................................................... 48
5.3 Aliasing ............................................................................................................................. 49
5.3.1 Voorbeeld 1 ............................................................................................................... 50
5.3.2 Voorbeeld 2 ............................................................................................................... 51
5.4 Signaalreconstructie ......................................................................................................... 52
5.4.1 Ideale reconstructie: .................................................................................................. 52
5.4.2 De zero order hold (ZOH) .......................................................................................... 52
CONTENT DATUM PAGINA
DEFINITIE SIGNAAL 5/01/2024 4
,1 DEFINITIES EN CLASSIFICATIES VAN SIGNALEN EN
SYSTEMEN
1.1 DEFINITIE SIGNAAL
Een signaal is een functie die het verloop van een verschijnsel voorstelt, gerelateerd aan één of
meerdere onafhankelijke variabele(n). Deze bevat bevat informatie over de aard en/of het gedrag van
het verschijnsel.
Signalen die slechts van één onafhankelijke variabele afhangen worden 1-dimensionale signalen
genoemd. Functies die afhangen van twee of meer onafhankelijke variabelen, worden
multidimensionaal genoemd, een foto is een voorbeeld van een tweedimensionaal signaal
(kleurwaarde in functie van een x- en y-coördinaat.
1.2 CLASSIFICATIE EN EIGENSCHAPPEN VAN SIGNALEN
1.2.1 Continu - discreet
Een signaal x(t) is continu als de onafhankelijke veranderlijke een
continue veranderlijke is. De tijdswaarde is in dit geval een reëel getal (𝒕 ∈
ℝ).
Een signaal x[n] is discreet als de onafhankelijke veranderlijke een
discrete veranderlijke is. De tijdswaarde is in dit geval een geheel getal
(𝑛 ∈ ℤ). Signalen kunnen van nature uit discreet zijn, of ontstaan door
bemonstering (sampling) van een continu signaal
1.2.2 Analoog - digitaal
Een signaal is analoog als de signaalwaarde een reëel getal is binnen een interval [a,b] (a kan
eventueel −∞ zijn en b kan eventueel +∞ zijn) (𝑥(𝑡) ∈ ℝ of 𝑥 𝑛 ∈ ℝ).
Een signaal is digitaal als de signaalwaarde een geheel getal is. (𝑥(𝑡) ∈ ℤ of 𝑥[𝑛] ∈ ℤ).
1.2.3 Reëel – complex
Een signaal is reëel als de signaalwaarde een reël getal is ((𝑡) ∈ ℝ of 𝑥[n] ∈ ℝ).
Een signaal is complex als de signaalwaarde een complex getal is (𝑥(𝑡) ∈ ℂ of 𝑥[n] ∈ ℂ). Een
algemeen complex signaal heeft een vorm 𝑥(𝑡) = 𝑥1(𝑡) + 𝑗𝑥2(𝑡) of 𝑥[𝑛] = 𝑥1[𝑛] + 𝑗𝑥2[𝑛] en waarbij x1 en
x2 reële signalen zijn.
DEFINITIES EN CLASSIFICATIES VAN SIGNALEN EN SYSTEMEN DATUM PAGINA
DEFINITIE SIGNAAL 5/01/2024 5
,1.2.3.1 Complexe getallen
1. Cartesisch: notatie Reëel en imaginair deel:
𝑧 = 𝑎 + 𝑗𝑏 𝑒𝑛 𝑗 2 = −1
2. Eulernotatie: met amplitude en fase:
Of cartesisch d.m.v. de noemer te vermenigvuldigen met zijn complex toegevoegde:
(𝑎 + 𝑗𝑏) (𝑐 − 𝑑𝑗)
𝑧= . =⋯
(𝑐 + 𝑑𝑗) (𝑐 − 𝑑𝑗)
7. Machten: eurlernotatie
𝑧 𝑛 = |𝑧|𝑛 . 𝑒 𝑗𝑛𝜗
8. Wortels: eulernotatie
(𝑗𝜗+2𝑘𝜋)
𝑛 𝑛
√𝑧 = √|𝑧|. 𝑒 𝑛
Hier dient gelet te worden op het feit dat een n-de machtswortel resulteert in n oplossingen.
3
Bv: √1
(𝑗0+2𝑘𝜋) 2𝜋 4𝜋
= 1, 𝑒 𝑗 3 𝑒𝑛 𝑒 𝑗 3
3
√1 = 1. 𝑒 3
DEFINITIES EN CLASSIFICATIES VAN SIGNALEN EN SYSTEMEN DATUM PAGINA
CLASSIFICATIE EN EIGENSCHAPPEN VAN SIGNALEN 5/01/2024 6
,1.2.3.2 Gedempte sinusoïdale trilling
Voor s ∈ ℂ met s=σ+jω stelt 𝑥(𝑡) = 𝑒 𝑠𝑡 een spiraalvormig signaal voor in het complexe vlak. Het
reëele en imaginaire deel van 𝑥(𝑡) stellen een gedempte sinusoïdale trilling voor waarbij het reële
deel van s voor de demping zorgt en het imaginaire voor de pulsatie.
𝑥(𝑡) = 𝑒 𝑠𝑡 = 𝑒 𝜎𝑡 . 𝑒 𝑗𝜔𝑡 = 𝑒 𝜎𝑡 . (cos (𝜔𝑡) + 𝑗𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡))
Indien we het imaginaire deel omvormen, verkrijgen we de vergelijking van de eenheidscirkel.
1.2.4 Deterministisch – random
Deterministische signalen hebben waarden die volledig gekend zijn voor elke waarde van de
onafhankelijke veranderlijke. Voorbeelden hiervan zijn sinussen, cosinussen, functievoorschriften,…
Random signalen kunnen alleen statistisch beschreven worden: we kennen het verloop in functie
van de onafhankelijke veranderlijke niet op voorhand. Ruis is hier een goed voorbeeld van.
1.2.5 Even signalen – oneven signalen
Een signaal is even als 𝑥(𝑡) = 𝑥(−𝑡), het signaal is sdus spiegelbaar over de verticale as.
Een signaal is oneven als 𝑥(𝑡) = −𝑥(−𝑡), waarbij het signaal spiegelbaar is rond de oorsprong.
Bovendien kan elk signaal geschreven worden alas de som van een even signaal en een oneven
signaal.
DEFINITIES EN CLASSIFICATIES VAN SIGNALEN EN SYSTEMEN DATUM PAGINA
CLASSIFICATIE EN EIGENSCHAPPEN VAN SIGNALEN 5/01/2024 7
, 1.2.6 Periodieke signalen – niet periodieke signalen
𝑥(𝑡) is periodiek als 𝑥(𝑡) = 𝑥(𝑡 + 𝑇), ∀ 𝑡 (dus t van -∞ tot +∞). De kleinste T-waarde waarvoor deze
uitdrukking geldig is wordt aangeduid met 𝑇0 en ∈ ℝ0 .
Voorbeelden:
2𝜋 𝜋
cos(4𝑡) → 𝑇0 = =
4 2
1 2𝜋
sin ( 𝜋𝑡) → 𝑇0 = =4
2 1
(2) 𝜋
2𝜋
𝑒 𝑗𝜔0 𝑡 → 𝑇0 =
𝜔0
𝑇1
De som van twee periodieke signalen zal enkel periodiek zijn in het geval dat 𝑇2
rationaal is. In dat
geval is de totale periode T gelijk aan het kleinst gemeenschappelijke veelvoud van 𝑇1 en 𝑇2 .
Voorbeelden:
1. cos(t) + sin(3t)
2𝜋
𝑇1 =
=2
𝜋
2𝜋
𝑇2 =
3
3 3
𝑇 = 2. =
2𝜋 𝜋
Deze uitkomst is niet rationaal, dus zal de som niet periodiek zijn.
2. cos(8t) + sin(12𝑡)
2𝜋 𝜋
= 𝑇1 =
8 4
2𝜋 𝜋
𝑇2 = =
12 6
𝜋 6 3
𝑇= . =
4 𝜋 2
𝜋 𝜋 𝜋
Deze som zal periodiek zijn, met een periode gelijk aan het KGV( 4 , 6 ) die gelijk is aan 2 .
1.2.7 Energie en vermogen van een signaal
De energie van een signaal komt overeen met de oppervlakte onder de grafiek en correspondeerd
met de accumulatie van de ogenblikkelijke vermogens. De energie kan berekend worden volgens:
+∞
𝐸=∫ |𝑥(𝑡)|2 . 𝑑𝑡 [𝐽]
−∞
Het gemiddeld vermogen van een signaal is dan de gemiddelde waarde van de totale energie, wat
resulteert in de volgende uitdrukking:
𝑇
1 2
𝑃 = lim ∫ 𝑥(𝑡)2 . 𝑑𝑡 [𝑊]
𝑇→+∞ 𝑇 −𝑇
2
DEFINITIES EN CLASSIFICATIES VAN SIGNALEN EN SYSTEMEN DATUM PAGINA
CLASSIFICATIE EN EIGENSCHAPPEN VAN SIGNALEN 5/01/2024 8
Les avantages d'acheter des résumés chez Stuvia:
Qualité garantie par les avis des clients
Les clients de Stuvia ont évalués plus de 700 000 résumés. C'est comme ça que vous savez que vous achetez les meilleurs documents.
L’achat facile et rapide
Vous pouvez payer rapidement avec iDeal, carte de crédit ou Stuvia-crédit pour les résumés. Il n'y a pas d'adhésion nécessaire.
Focus sur l’essentiel
Vos camarades écrivent eux-mêmes les notes d’étude, c’est pourquoi les documents sont toujours fiables et à jour. Cela garantit que vous arrivez rapidement au coeur du matériel.
Foire aux questions
Qu'est-ce que j'obtiens en achetant ce document ?
Vous obtenez un PDF, disponible immédiatement après votre achat. Le document acheté est accessible à tout moment, n'importe où et indéfiniment via votre profil.
Garantie de remboursement : comment ça marche ?
Notre garantie de satisfaction garantit que vous trouverez toujours un document d'étude qui vous convient. Vous remplissez un formulaire et notre équipe du service client s'occupe du reste.
Auprès de qui est-ce que j'achète ce résumé ?
Stuvia est une place de marché. Alors, vous n'achetez donc pas ce document chez nous, mais auprès du vendeur EMstudentje. Stuvia facilite les paiements au vendeur.
Est-ce que j'aurai un abonnement?
Non, vous n'achetez ce résumé que pour €6,49. Vous n'êtes lié à rien après votre achat.
