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11 Exercices corrigées sur ( Les Fonctions dérivables-Théorème de Rolle-Divers) Par l'explication detaillée _1ère année universitaire _ Analyse 1_€2,76
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11 Exercices corrigées sur ( Les Fonctions dérivables-Théorème de Rolle-Divers) Par l'explication detaillée _1ère année universitaire _ Analyse 1_
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Cours
Analyse 1
Établissement
Ecole Nationale Polytechnique
11 Exercices corrigées sur ( Les Fonctions dérivables-Théorème de Rolle-Divers) Par l'explication detaillée
_1ère année universitaire _ Analyse 1_
classe préparatoire de 1ère année universitaire
Ecole Nationale Polytechnique
1 Calculs
Exercice 1
Déterminer a, b ∈ R de manière à ce que la fonction f définie sur R+ par :
√
f (x) = x si 0 6 x 6 1 et f (x) = ax2 + bx + 1 si x > 1
soit dérivable sur R∗+ .
Indication H Correction H Vidéo [000699]
Exercice 2
1
Soit f : R∗ −→ R définie par f (x) = x2 sin . Montrer que f est prolongeable par continuité en 0 ; on note
x
encore f la fonction prolongée. Montrer que f est dérivable sur R mais que f 0 n’est pas continue en 0.
Indication H Correction H Vidéo [000700]
Exercice 3
Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes :
1
f1 (x) = x2 cos , si x 6= 0 ; f1 (0) = 0;
x
1
f2 (x) = sin x · sin , si x 6= 0 ; f2 (0) = 0;
x
√
|x| x2 − 2x + 1
f3 (x) = , si x 6= 1 ; f3 (1) = 1.
x−1
Indication H Correction H Vidéo [000698]
Exercice 4
Soit n ≥ 2 un entier fixé et f : R+ = [0, +∞[−→ R la fonction définie par la formule suivante :
1 + xn
f (x) = , x ≥ 0.
(1 + x)n
1. (a) Montrer que f est dérivable sur R+ et calculer f 0 (x) pour x ≥ 0.
(b) En étudiant le signe de f 0 (x) sur R+ , montrer que f atteint un minimum sur R+ que l’on détermi-
nera.
2. (a) En déduire l’inégalité suivante :
(1 + x)n ≤ 2n−1 (1 + xn ), ∀x ∈ R+ .
1
, (b) Montrer que si x ∈ R+ et y ∈ R+ alors on a
(x + y)n ≤ 2n−1 (xn + yn ).
Correction H Vidéo [000739]
2 Théorème de Rolle et accroissements finis
Exercice 5
Montrer que le polynôme X n + aX + b, (a et b réels) admet au plus trois racines réelles.
Indication H Correction H Vidéo [000717]
Exercice 6
Montrer que le polynôme Pn défini par
h n i(n)
Pn (t) = 1 − t2
est un polynôme de degré n dont les racines sont réelles, simples, et appartiennent à [−1, 1].
Indication H Correction H Vidéo [000715]
Exercice 7
Dans l’application du théorème des accroissements finis à la fonction
f (x) = αx2 + β x + γ
sur l’intervalle [a, b] préciser le nombre “c” de ]a, b[. Donner une interprétation géométrique.
Correction H Vidéo [000721]
Exercice 8
Soient x et y réels avec 0 < x < y.
1. Montrer que
y−x
x< < y.
ln y − ln x
2. On considère la fonction f définie sur [0, 1] par
α 7→ f (α) = ln(αx + (1 − α)y) − α ln x − (1 − α) ln y.
De l’étude de f déduire que pour tout α de ]0, 1[
α ln x + (1 − α) ln y < ln(αx + (1 − α)y).
Interprétation géométrique ?
Indication H Correction H Vidéo [000724]
3 Divers
Exercice 9
Déterminer les extremums de f (x) = x4 − x3 + 1 sur R.
Correction H Vidéo [000733]
Exercice 10
Soient f , g : [a, b] −→ R deux fonctions continues sur [a, b] (a < b) et dérivables sur ]a, b[. On suppose que
g0 (x) 6= 0 pour tout x ∈]a, b[.
2
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