Alex Otten
H1
Massa-Veer
Fun
Fases i/e Oscillatie
Fr = -
k1X
E
j
v = 0 = 0 : x(0) = -
A
k
V(0)
-many
= 0
M
S
i
I
AX
Amplitude
t At
= :
x (1t) = 0
-am
Periode : T =
4 At [S] v (at) + 0 (inertie
Frequentie : 1/+ =
↑ (1/5] (H2]
A
Bewegingsugi veer :
t 21t x (21H A
ma
=
: =
+ x = 0
v(2At) = 0
Harmonische Trillingen
-
!
X(t) =
Acos(wt
↳
+ P)
2f
i A
imm
A(m] =
t =
31t : X (31t) = 0
w(rads] 2
= + =
V(31t) + 0
↑ (rad] G
+
x
o we
-y
7 j M
I
I
Amplitude
ti
t
Periode V (4At)
: x (4At) =
=
-
0
A
2π = 2 +
Valinbewegingsugl ~ -
-MWAcos(wt +) k ~
ACOS(wt +)
So
: + + .
+
V (t) = -
WASin (cot +
f) Mw? 0
↳ Afleidingen
= + k =
-
>
a(t) = -
w Acos(wt +
1) kennen !
= W =
k/m
Invloed faschoen W =
Natuurlijke Frequentie
x (0) = -
ACOS(f)
-
f
W
e
=
π
10 : A cosses -
>
-
Tegenfase
f = 0
,
2π
...
Energie ir HT
Arbeidnodig ofstand A
·
om Massa te verplaatsen
Jud =
,
W :
F = =
K A .
= W
O 2
m
Constante omzetting E PE
S
·
en
E X 2
+e
E =
Tot mu
Potentile
·
in System :
+ = c d
2 2
?
↳A
t(x) EnAcos(wt Sina(wt 1)
f)
-
=> = + + M +
2
~
E(x) = EKACOS (wt + 1) + ...
= E(x) =
EkA2 (COS (wt + 1) + sin
>
(w + +
e)]
, v(t) = -
AWSin(wt + e)
Energie ifv locatie Snelheid if afstand (e) :
Acos (t + 1) (= cos(we + e) =
Ex
E du du dx
· · 1/2A = .
() - WYOS(wt + f) = - Asin(0t + e)
dx de
Ep(x) =
1k .
x It
:I
Gcoscott
(OS(WE + )
=
W
= I
I ↑
Sin(wt +l)
I & I >x
1 -
x)
A
-
A
aanpassen integratie te
vergemankelijken
om :
?
1/2A
I Xacte
·
as
Eur =
Emuls Sv = I Wa .
a les Vale I Wa n-
1 -
xy
= Max Snelheid V( A)
V(A) 0
A >
= -
=
&
x I
A x
= )(te = 0
V(x) IVmax
.
= 1
-
/A2
-
Cirnelvormige beweging Pendulum
afstand cirnelboog tot evenwicht
=At o
t Vm che
A
T
.
=
W . = X :
VM 0 +f = wt + f l La x 1 0 = = .
e
=
Ct
t 8
Drijvende
=
Projectie
&
kracht Op
Cirkelboog
&
i
:
Projectie Op
.............
X-as :
.......
A
(e AcOs(wt mysino
-
C Xp =
+ e)
↳ tegengesteld
---
Xp
Periode rotatie : aan
uitwijning
Afstand 2A
!
voor kleine hoeken
= V =
A
= W A .
Bewegingsugl :
n .
a = m
N = -mysinoQ-90
?
dt
= w = = af
=
>T =
2
T 1 . O
dt2
-
= 90() do 0 = 0
W
lijkt zeer hard op die van veer
O(t) =
00(0t + 1)
- =
9/ =
Natuurlijne F
Gedempte Trilling
Op elhe
trilling demping
·
↑
aanwezig Invullen in bewegingsugl :
Vb
(U + jw) xXt) =(W E
·
. Schokdemper
JWSEXES
:
+ = + =
S
↓
O
im
I :
-b v
0 + 2jw0 +
2jw2 +
bm8 bmjw + + 1
m
= 0
,
.
.- · emper
↳ dempings che deel
, - - >
Imaginair
-
:
0
T
-
-- /I/
3m
,
O
b mjw
-
---
2
2jw)
=
0 = 0
-
Vloeist of + = -
M
-
- . 0
- Reel deel
Bewegingsugl : :
.* 5
=
m a Freer + Edemper
.
= = -
xx -
b j 22 + + =
M
m .
+ b .
q x (- ) - 2 -
am
b b
M
+
n = 0
)b-
(=
22
b
C12 x ↓ dx
Y = =
-
-
+ +
+ = 0
2m2
·
>
dt mat
Eulers formule : ejt =
cost +
jsinf
(ejt 18) = ( w =
1 -b
jw)t je
Algmene Opi : (t) = A e(U + +
ReGX() A cos(wt 4)
Waarbij
+
x(t) = =
!
Algemen
.
OPI : m
X(E) = Al cos(wt + 4)
rece
.
dee
, ·
Ondergedempt system : b 4mn ·
kritisch gedempt Sys : =
4MU
x 1 X 1 >
-
Nieteens 1 Oscillatie
I
Ongedempt exponentile functie
g
...........
j &
-
-
- -
--
Gedempte trilling
-
t St
. . . . a -
. - --
.
. . ..
-
-
.
-
. & ↑
·
overgedemt system : b mu
X
t
Gedwongen Oscillatie
Externe macht
-
x = 0
-
-
>
-
System tritt met F van deze kracht
U
F Fo cos(wt)
↑
= .
M
- i
Bewegingsugl : (voor ongedempt Sys : b = 0 Stellen
m . +
b + ux = Fo 20S(CE)
·
Algemeine O voor de
bewegingsugl is :
() = +je er F =
Fo . we
Invullen in V91
·
:
tane
tanenerg
E
jwt jt
ejt Formule Sine= Sint
dE
+
jwt =
=
:
=
Ajw e =
Ajwe .
1 + tan
> invullen in imaginair deel
-
:
d Ajwjwejwt
jf
Awejwt ej)
+
= = -
.
bAw =
- Fotant Es bab
~ =
Fo .
(wal
1 + tanzpi (n mw4)2 + 22b2
- ejt
Asejwt t
est A-
ejwteit jut
-
-
-
m . .
+ b .
Ajw . + u .
-
=
Fo .
C
-
2
(n mwz) -
(k mwz)Aej
-
+ jbAwest = Fo Fo
Fo
, we
j
(k mw)A +
jbtw = Fo e > A =
wa
- .
A
/
(S =
(n mw)t jbAw FoCOSt-jfoSinf e
(wo- when
-
+ =
L ,
E
Imaginair : baw =
-JFosin S bAw = -Fosinf Natuurlijne :
Wo =
Am
Fo
Reel (n-mw)A Focosf
↳
: =
m
>
-
Ongedempt : b = 0 =
A =
Delen door elkaar : (w8 -
(2)
bAc -Eosinf -Cub M
I
= (= ) tanf =
A I
(x MW2) A Fo Cost
? I
-
n -Mw
Ongedempt
Fo
T
-
I Gedempt
w
↑
wo
,
,H3-Golven
·
Longitudinale en transversale
De
golfvergelijking
or#
·
- ds &
- ...
↑
~
Klein stukje dy
e
V
Elementair
-
------
. . . .-
L
dx
↳
>
-
Fe
-
Is
Y dm P Ads
-
= .
C
X
Wet Newton in -richting
.
I A)
Free fe zijn gevolg I spanning ill touw dus Fo Fe
If y
o =
=
day ,
Frsinar-Fesinae = P Ads
.
.
Ay
=> verplaatsing mogelijk Omdat r Xe
A(Sinar-sinxe) =
PAdsay
↓ e en
r zijn
Y
zeer klein
Ruimtelijke Analyse
>
-
Sind = = tanx
-Y
dX
t= t1
- ds = dx
u
·
(x
Y(x1 (1)
,
=
YmSin(kx + +1)
·
(l-Ele) =
Pdx .
62xxl 1 x
v
(Ele-Ele)
=
-At
·
62y(x x) tj t1 + At
=
= p .
,
~
:
dx 6t
( x
Y(Xc tz)
,
=
YmSin(ux + Py
5 .
8y(x , t)
= p .
62y(x t) ,
= (m) = V
6x2 6t
· e ( = ) golf verplaatst naar rechts
6y(x t) 62y(x t)
v2 ,
,
=
golf
=
verplaatst links
.
·
naar
6x2 6t
1D-Golfvergelijking Snelheid bepalen door
kan je oon een max . te volgen :
- voorplantingssnelheid V p
is =
afkankelijk V
- (MIW) : Len RLafleiden
eigenschappen In medium (snaar in dit gevall
=
(4xM1 07 +
1) = 0
Harmonische Golven =
= 0 =
= V
Y(x t) Ym ,
=
Sin(k + we + 1)
.
-
I
L
↳ amplitude ↳ afh van locatie
+ W =
Negative Snelheid= linkslopende golf
. en
tijd
Golfugi 6 . JY Wt= Positive SnelheidRechtslopende golf
-
>
-
:
1
=
3
2x
>
12 6t
geeft 8 1 1G If
=
Invullen :
= :
7 Ymwsin(nx 1)
2
* m
-
k Sin(kx = 27 + f) = ↑
- - = wz +
v = = v =
n
Tijdsdomein Analyse
zijnfaschoen
samen een
fr
1 Y - P
Y(xe , 1) =
YmSin (x11 wt + f)
-
p
-
(
=
YmSin(t at + (1)
X
Yz(x2 t) ,
= YmSin(t wt + (c)
43(x3 t) YmSin( = w+ fal
(d) -golfgetal +
=
,
>
Fasverschiving afh Van locatie
-
.
Def "In fase" . :
Oscillatie in Fase
zijn
XGπ
·
als 2 Punten it apart 2π
= k + su =
Golf in Fase ↓
Golflegte apart
·
2 Punten 1
als zijn
,Superpositie
·
Twee golven optellen kan als y(x t) ,
= Y .
(x t) ,
+ ↑ c(x , +)
aan de golfugl. Voldoet
G(Yes 12(yay
1 Gy(x
>
22y(x t) , ,
t
=
-
= -
bx GEE 2x2 va 2t
(7) by + 6246 16 + 16 Ye voldoet
+
=
12
I
=
Y is oon een golf
2x2 Gx 2t3 vot Y voldoet
Reflectie + Transmissio
>
-
die Electromagnetische golven
Interferentie
Y
Y, (x , t) YmSin(kx 1 wt) Destructive interferentie as COS() 0
USSS-COSCE
:
Y1 = =
Y2
-
- f
Yz(x , t) 1π
(x
=
YmSin(kx = t + 1) =
,
13π
,
15
,
...
1
((
Yc(x t) ?
en
Y(x , t) Y(x
~
-
=
,
t) + ,
Constructive interferentie als cos(2) = 1
-
Y(x t) ,
=
24m(OS(y) sin(nx
-
+ wt + (j) f = 0 12π 14,
U
E
...
E , ,
Amplitude is zelfde u
M
F(t) en -
Staande Golven
·
Interferentie vle rechtslopende en linkslopende golf
Y(x , t) =
YmSin(hx -
20t) + YmSin(nx + Wt) vb .
n = 1 = u
=
= Sin (x) COS (WE) en n =
2π(= + = 2L
n = 3 = n =
3 = x =
8
+
A(x)
E.E
- (
> =
L F
E
/
~ * Randvoorwaarden : -
A(X) ~
3V
L
M ~
-
-
1
~
T .........
-
Y(0 , t) V 2h
%
- = 0 -
SinO = o
· -
- -
- Y(( , 7) = 0 -
Sin(UL) =
Or Derde Harmonische
↑ =
-
Fundamentele
of eerste harmonische
mode
- kL
- = =
π ; n = 1
,
2,3
, ...
X = 0 x = L
n =
2 = n =
2 = )
x = n = 4 = u =
41 = x =
Mπ L
= S k =
- (
E.
L
E
.
L
=
M
&
=
- -
Energietransport
-
Tweede Harmonische Vierde Harmonische
--- - / , // / - ////y
num
&
-
Energie in Controle volume in
tijdsinterval dt ? Intensiteit is
vermogen per Oppervlau :
dx = vdt = dE =
1A" Emw = W =
m =
E = - geeft Sternte golf weer
d
w =
2πf = dE =
1 =E = 2A
voor serische golven geldt volgende vereenvoudiging :
(dm =
p d . = p . S .
dx) -
M
7 P M
=> de = 2π p Sdx .
.
F ? As R
I =
4πR2W 4 πRC
S · C
=
2πPSVCFAd
L V
↳ V
Vermon =E = SVft e
, Geluid
Drungolf
·
Hoe genereren geluid ?
·
we
-
veronderstel buis gevuld met lucht en aan
het uiteinde een zuiger . Er heerst een dichtheida
en drau Po 5 is dwarsoppervlaute Om een
.
zuiger .
druugolf te genereren moeten we de
zuiger met
Zeuere Snelheid v'verplaatsen .
i
-
-
ne
afgelegd
-
- Het gecomprimeerde heeft afstand de grens
- Stau
- V t en
-Vo -
.
V - P Po
(Vv). Door drungolf
·
beweegt
.
- met Snelheid wordt het volume
-- v
t
Samengedruut en de drun wordt Pot AP .
-
- V voorplantingssnelheid golf het volume zelf
beweegt v
- E
vi
Y
=
maar met
( ~ P
..
---
-
- Po + AP /E
(
Pos
S S
V E .
Stoot die gegeven wordt al gecomprimeerde Volume
~
:
· Vo =
S .
v .. Stoot = Fnet -
t =
1m .
v -
o = PSvtv' = APSE
· AV = -
S V E.
.
# P = .v .
v
'
(behoud impuls)
ed
(Neg .
omdat vol .
verandering neg
.
· kracht nodig om vol . lucht te comprimeren :
= = (Po + 1P)S -
PoS =
AP S
ne+
.
Of
AP
Compressiemodulus B invullen
e
· : =
1
AV
B = B = P. F
(Bulk modulus) No -
·
Vb .
Lucht
°
20 C 343m/S
(v
:
= x .
f)
Helium : 1005 MIS
Water : 1440 m/s (Hoge compressiemodulus
Staal : 5000m/S weinig samendrunbaar)
Temperatuursafhankelijkheid
=> : Lucht = 331 + O, GT (o) mis
Wiskundige Beschrijving
Lagearum
Hoge drun
Geluid =
Longitudinale drungolf
: : I
Un i
-
: . .
p
~D Als golf Passert :
Ap = -B
. AP =
-B -
&D Geeft drun weer die en n
S .
AD
geluidsgolf genereert
B
=
.
-
S -
1x
·
D Asin (x1 (t) Relatie Men
&
DisSin P is
~
=
Op
3
: cos
Verpa
,
invullen 1P =
-
B AUCOS (4x . = wt) dus bij een opgelegde verplaatsing krijg je een
P
>
Ancos (n x = wt) drun die /2 verder light
=
v
- .
= -
Pj A2πf cos(kx = wt)
AP = -
PyA2πf COS(ux + wt)
I ,
= amplitude
=
APmax
