Hfst 19: Vectoranalyse gegeven door prof dr ir Jan Baetens Deze samenvatting beslaat de cursus waaraan extra inzichten en bevindingen zijn toegevoegd + achteraan een overzicht van alle soort integralen van hfst 19
Hoofdstuk 19
Vectoranalyse
Alles komt samen in dit hoofdstuk
Laatste soort functie: vectorveld: meerdere inputs, meerdere outputs = 𝐹⃗ (x,y,..)
Lijnintegralen over scalair veld
Scalair veld = waar we altijd mee gewerkt hebben vectorveld
Zullen beide andere integralen hebben
Lijnintegraal over een scalair veld
= om oppervlak onder een oppervlak te berekenen tussen C en C geprojecteerd op f
▪ Geparameteriseerd door de booglengte s met f(ci) de hoogte gegeven door de oppervlakte
▪ De lijnintegraal langsheen C van f (oppervlak)
▪ Moest de kromme C gesloten zijn gebruiken we een kringintegraal ∮;
Manier om de lijnintegraal te evalueren:
▪ Kromme C = 𝒓 ⃗⃗(𝒕) = (𝒈(𝒕), 𝒉(𝒕)) → dus kromme parameteriseren en in f invullen
▪ ds = ‖𝒓
⃗⃗′ (𝒕)‖𝒅𝒕
Bereken de oppervlakte onder f(x,y) en boven C
Parameteriseer C in 𝑟⃗(𝑡) = (𝑔(𝑡), ℎ(𝑡))
o Kies bv voor C: y = x² g(t) = x = t en h(t) = y = t² → 𝑟⃗(𝑡) = (t, t²)
o Beperking ook meerekenen + belangrijk voor hoe de kromme doorlopen moet worden
Bereken de snelheidsfunctie 𝑟⃗′(𝑡)
Invullen in bovenstaande formule f(g(t),h(t)) = f geëvalueerd langs het pad C op f dat erop
geprojecteerd wordt met x = g(t) en y = h(t)
!!opletten voor de grenzen, er wordt naar t geïntegreerd: dt, dus grenzen in functie van t, is afhankelijk
van de parameterisering dus afvragen wat waren de grenzen in x (of y) en x = ___
Indien bij parameterisatie + en – uitgekomen → integraal opsplitsen
Als de kromme C een knikpunt vertoond zal je twee parameterisaties nodig hebben: C = C1 en C2
Zorgt ervoor dat de kromme niet glad is → niet afleidbaar daar
Integratie interval in stukken opdelen
De parabool en rechte apart parameteriseren 𝒓 ⃗⃗(𝒕) + integralen opstellen
Massamiddelpunt van een dunne draad via lijnintegraal
, f(s) vervangen door dichtheidsfunctie
Vectorvelden
= kent aan elk punt in de ruimte een vector toe: meerdere inputs (x,y,…) en meerdere outputs: component
functies M en N
In elk punt van het vlak krijg je een vector Volgende zaken niet door elkaar slaan
▪ f(x) een variabele
▪ f(x,y) 2 of meerdere variabelen
▪ ⃗⃗(𝒕)
𝒓 vectorfunctie
Wordt gebruikt in weerbericht en stroming van rivier ▪ ⃗𝑭⃗(𝒙) Vectorveld met n-tal inputs
Geeft vector in punt: richting en grootte ▪ ⃗𝑭⃗(𝒙, 𝒚) Vectorveld in het vlak (2 inputs)
Del-operator
⃗∇⃗ = de nabla met een pijl boven = vector van de partieel afgeleiden
▪ Scalaire vermenigvuldiging met kleine f (meerdere inputs, 1 output)
o Gradiënt = steilste weg omhoog = vector van de partieel afgeleiden
▪ Scalair product met vectorveld
o Divergentie van het vectorveld = div𝑭 ⃗⃗
= maat voor de samendrukbaarheid van het vectorveld
o Kan kijken of er bv in een punt van rivier meer water toekomt dan weggaat (doos erover zetten)
▪ Positief = meer weg dan toekomt = bronnetje, explosie
▪ Negatief = meer komt toe dan weggaat = zinkgat
▪ 0 = evenveel in als uit
▪ Vectoriëel product met vectorveld
o ⃗⃗ = curl𝑭
Rotatie van het vectorveld = rot𝑭 ⃗⃗
= snelheid waarmee het vectorveld van richting veranderd
o Kan het voorstellen door bv in een rivier een schoepenwiel te plaatsen in een punt
▪ Positief = tegenwijzerzin
▪ Negatief = wijzerzin
Les avantages d'acheter des résumés chez Stuvia:
Qualité garantie par les avis des clients
Les clients de Stuvia ont évalués plus de 700 000 résumés. C'est comme ça que vous savez que vous achetez les meilleurs documents.
L’achat facile et rapide
Vous pouvez payer rapidement avec iDeal, carte de crédit ou Stuvia-crédit pour les résumés. Il n'y a pas d'adhésion nécessaire.
Focus sur l’essentiel
Vos camarades écrivent eux-mêmes les notes d’étude, c’est pourquoi les documents sont toujours fiables et à jour. Cela garantit que vous arrivez rapidement au coeur du matériel.
Foire aux questions
Qu'est-ce que j'obtiens en achetant ce document ?
Vous obtenez un PDF, disponible immédiatement après votre achat. Le document acheté est accessible à tout moment, n'importe où et indéfiniment via votre profil.
Garantie de remboursement : comment ça marche ?
Notre garantie de satisfaction garantit que vous trouverez toujours un document d'étude qui vous convient. Vous remplissez un formulaire et notre équipe du service client s'occupe du reste.
Auprès de qui est-ce que j'achète ce résumé ?
Stuvia est une place de marché. Alors, vous n'achetez donc pas ce document chez nous, mais auprès du vendeur BioIngenieur. Stuvia facilite les paiements au vendeur.
Est-ce que j'aurai un abonnement?
Non, vous n'achetez ce résumé que pour €2,99. Vous n'êtes lié à rien après votre achat.
