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Samenvatting Lineaire Algebra - Hfst 9 Diagonalisering €2,99
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Samenvatting Lineaire Algebra - Hfst 9 Diagonalisering
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Hfst 19: Diagonalisering gegeven door prof Willem Waegeman Deze samenvatting beslaat de cursus waaraan extra inzichten en bevindingen zijn toegevoegd + !!stappenplannen voor verschillende soorten oefeningen uit te werken!!

Dernier document publié: 7 mois de cela

Aperçu 1 sur 3  pages

Infos sur le Document

  • 17 mai 2024
  • 10 juillet 2024
  • 3
  • 2023/2024
  • Resume

Sujets

École, étude et sujet

Tous les documents sur ce sujet (13)

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GregTheBioEngineer

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Hoofdstuk 9
Diagonalisering

Diagonalisering
Een vierkante matrix A is diagonaliseerbaar als er een diagonaalmatrix D en een inverteerbare matrix P
bestaat zodat A = PDP-1  een lineair onafhankelijke verzameling bestaat die n eigenvectoren van A bevat

▪ Diagonaalmatrix D bestaat uit de eigenwaarden van A op de hoofddiagonaal, de rest is 0
▪ Inverse matrix P bestaat uit de lineaire onafhankelijke eigenvectoren van A
=> de eigenvectoren zijn onafhankelijk want P is inverteerbaar




Ga na of A diagonaliseerbaar is:

▪ Bereken de eigenwaarden
▪ Bereken de eigenvectoren (eigenruimte berekenen)
▪ Stel P en D op !!!let op: de eigenvector in kolom 1 van P komt overeen met het eerste element op de
diagonaal van D enzo verder, eigenwaarden moeten hier niet van groot naar klein
▪ A = PDP-1 → AP = PD als P inverteerbaar is heb je A = PDP-1  AP = PD
▪ Of korter, heb je allemaal verschillende eigenwaarden? Is 𝛼 = 𝛾 voor alle eigenwaarden

Als je twee dezelfde eigenwaarden hebt zal je niet n eigenvectoren hebben bij n verschillende eigenwaarden

 Zal niet diagonaliseerbaar zijn want je zal geen lineair onafhankelijke verzameling eigenvectoren
hebben, dus P zal ook niet inverteerbaar zijn
 Is niet hetzelfde als twee eigenvectoren binnen eigenruimte van een eigenwaarde hebben


Machten van matrices
Indien A diagonaliseerbaar is: Ak = PDkP-1

Aangezien D een diagonaalmatrix is (enkele elementen op de diagonaal) mag je elk element afzonderlijk tot die
macht doen op de hoofddiagonaal


Discrete dynamische systemen
Het beschrijft een verandering in een biologisch, fysisch of chemisch proces doorheen discrete tijdstappen

𝑥⃗ 0 = starttoestand van de variabelen en met A = overgangsmatrix

𝑥⃗ 1 = A𝑥⃗ 0

𝑥⃗ 2 = A𝑥⃗ 1 = A²𝑥⃗ 0

⃗⃗k = Ak𝒙
𝒙 ⃗⃗0

Indien A ook diagonaliseerbaar is

 Hebt n lineair onafhankelijke eigenvectoren die samen een basis voor IRn vormen 𝒙
⃗⃗k = Ak𝒙
⃗⃗0 = PDkP-1𝒙
⃗⃗0
 Elke 𝑥⃗ 0, element van IR kan als een lineaire combo ervan geschreven worden
n

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