MODELLEN PARAMETERSCHATTING HYPOTHESETOESTING Stappenplan type-1 fout:
Voor discrete variabele Puntschatting Stappenplan: tweezijdige en eenzijdige alternatieve hypothesen 1. Hypothesetoetser:
BERNOULLI: X~Bern(θ) → twee mogelijke uitkomsten Kwaliteit van de schatter 1. ℋ1 en ℋ) opstellen a) Kies toetsstatistiek
𝜃 = kans op succes met 0 < 𝜃 < 1 Zuiverheid: 𝐸[𝜃W% ]=θ 2. 𝛼 en n bepalen b) Bepaal steekproevenverdeling onder ℋ1
1- 𝜃 = kans op mislukking Asymptotisch zuiver: lim 𝐸X𝜃W% Y = 𝜃 3. Bepalen toetsstatistiek en steekproevenverdeling onder ℋ1 c) Beslissingsregel
%→0
µX = θ σX2 = 𝜃(1 − 𝜃) 4. Berekenen van ts
Nauwkeurigheid/betrouwbaarheid: 𝜎*D$ zo klein mogelijk
9 5. Verdachte waarden/staarten zoeken 2. Waarheid:
BINOMIAAL: Y~Bin(n, θ) → n iid herhalingen bernoulli-exp. Mean squared error: MSE = 𝐸 ZX𝜃W% − 𝜃Y [ = 𝜎D9 + (𝐸]𝜃W% ^ − 𝜃)² *$ 6. Beslissing via kritieke waarden of p-waarde a) Steekproevenverdeling onder ℋ1 en ware
- Independent: muteel statistisch onafhankelijk MSE is variantie van de schatter als deze zuiver is a) Kritieke waarde: steekproevenverdeling zijn identiek
- Identically distributed: identiek verdeeld = stationariteit Consistent: lim 𝑀𝑆𝐸 = 0 - Tweezijdig toetsen: b) P(type-1 fout) = 𝛼
% →0
Bern(θ) = Bin(1, θ) n ≠ steekproefgrootte - Zoek 𝑧)∗ en 𝑧)&
∗
- lim 𝜎D9 =0 )
0<Y<n Xi ~!!" 𝐵𝑒𝑟𝑛(𝜃) %→0 *$ ! !
T-toetsen
𝑛 - lim 𝐸X𝜃W%Y = 𝜃 - Kritisch gebied:
𝜋# (𝑦) = 𝑃(𝑌 = 𝑦) = 1 2 ∙ 𝜃 $ ∙ (1 − 𝜃)%&$ %→0 ∗
𝑧)& ∗
) ≤ ts of ts ≤ 𝑧)
1 steekproef op ZTW
𝑦 ! ! 6G&<"
µY=nθ σY = 𝑛 ∙ 𝜃 ∙ (1 − 𝜃)
2 - 𝜎6 gekend: z-toets: Z = =" ~ N(0,1)
ccc%
Steekproevenverdeling en statistiek 𝑋 - Eenzijdig toetsen: L
√%
∗
Voorwaarde: trekking ZTW → X’s iid - Zoek 𝑧)&K (rechts verdacht) of -
6G& <
𝜎6 ongekend: t-toets: T = M* " ~ 𝑡"OP%&) met
GEOMETRISCH: Z~Geo(θ) → tijd (discreet) tot eerste succes ccc /.…/6$ 𝑧K∗ (links verdacht) "N
𝑋% = % ! √%
𝜃 = kans op succes bij elk bernoulli-experiment %
- ∗
Kritisch gebied: 𝑧)&K ≤ ts )
𝜇6G$ = 𝜇6 → ##
𝑋##& is een (asymptotisch) zuivere schatter van 𝜇' 𝑆′6 = n ∑(𝑥! − 𝑋c)² en df = #vrijheidsgraden =
Z = [1, +∞]: oneindig bereik ! (rechts verdacht) of 𝑧K∗ ≥ ts %&)
="
𝜋' (𝑧) = 𝑃(𝑍 = 𝑧) = (1 − 𝜃)(&) ∙ 𝜃 𝜎6G9$ = → hoe groter n, hoe betrouwbaarder de schatter ##
𝑋##& b) p-waarde: #onafhankelijke observaties - #te schatten
%
) ()&*) !
µZ= σZ2 = ccc% = =" dus lim 𝑀𝑆𝐸 = 0 → 𝑋
MSE 𝑋 #### - Tweezijdig toetsen: parameters
* *! & is een consistente schatter van 𝜇'
% % →0
- ts negatief: 2∙P(TS ≤ ts)
Eigenschappen:
POISSON: Y~Poisson(λ) → aantal successen in tijd of ruimte ! - ts positief: 2∙P(TS ≥ ts) Intervalschatting:
="
λ = verwacht aantal successen in gekozen eenheid met λ > 0 - Als X~N(𝜇6 , 𝜎69 ) dan is ccc
𝑋% ~N 9𝜇6 , : - Eenzijdig toetsen: -
=
𝜎6 gekend: niveau C BI voor 𝜇6 is 𝑥̅ ± 𝑧 ∗ ∙ "
% √%
Assumpties poissonmodel: - Als X≁N(𝜇6 , 𝜎69 ) dan centrale limietstelling: - Links verdacht: P(TS ≤ ts) *
Q"
- 𝜎6 ongekend: niveau C BI voor 𝜇6 is 𝑥̅ ± 𝑡 ∗ ∙ →
- Voorkomen van gebeurtenis in stukje tijd is onafhankelijk van 𝜎9 - Rechts verdacht: (TS ≥ ts) √%
voorkomen gebeurtenis in ander niet-overlappend stukje tijd
ccc% ≈ N g𝜇6 , 6 h
𝑋 foutenmarge is ongelijk voor verschillende
𝑛 - Kritisch gebied:
- Mate waarin gebeurtenis voorkomt binnen stukje tijd is steekproeven
Voorwaarde: - 𝑝 ≤ 𝛼 → ℋ1 verwerpen
proportioneel aan grootte van dat stukje: Yt ~Poisson (λt)
- Als n>30 → als n<30: enumeratief - 𝑝 > 𝛼 → ℋ1 aanvaarden
lim 9%: ∙ 𝜃 $ ∙ (1 − 𝜃)%&$ met 𝑛 ∙ 𝜃 = 𝜆 Significantietoetsing t-toets is idem als bij z-toets
%→ /0 $ - Als steekproeftrekking op ZTW
*→1
𝜆$ &2 - Gevolg centrale limietstelling: Link tussen toetsing en BI
𝜋# (𝑦) = 𝑃(𝑌 = 𝑦) = ∙𝑒 X~Bin(n,θ) → X≈N(nθ,nθ(1-θ)) Enkel bij tweezijdig toetsen: ts = hoeveel SD 𝑥̅ afwijkt van µ₀ Vergelijken van 2 gekoppelde paren (afhankelijke steekproeven)
𝑦! (6G&#G)&(<"&<#)
𝜇# = 𝜆 σY2 = 𝜆 Voorwaarde: - 𝜇6 − 𝜇# als 𝜎6&# gekend : Z =
="
+,#
+
- Als nθ ≥ 15 en n(1-θ) ≥ 15 BI: alle waarden die op basis van geobserveerde data niet
~ N(0,1)
Voor continue variabele - Als ZTL: N ≥ 20n significant verchillen van ware µ (6G&#
G)&(< &< )
- 𝜇6 − 𝜇# als 𝜎6&# ongekend= T = M* " #
EXPONENTIEEL: T~Expon(λ) → tijd (continu) tot eerste succes - Pas continuïteitscorrectie toe ",#N
√%
λ = verwacht aantal successen in gekozen eenheid met λ > 0 Power ~ 𝑡"OP%&)
Assumpties expontentieel model: zelfde als poissonmodel Continuïteitscorrectie: Soorten fouten
&2∙5 Binomiaalkans Via N met continuïteitscorrectie ℋ1 waar ℋ1 vals
𝜑 3 (𝑡) @𝜆 ∙ 𝑒 𝑎𝑙𝑠 𝑡 ≥ 0
Type-1 fout Correcte beslissing =
Vergelijken 2 onafhankelijke steekproeven
0 𝑎𝑙𝑠 𝑡 < 0 X=c c-0.5<X<c+0.5 ℋ1 Statistisch model: 𝑋c − 𝑌c~𝑁(𝜇6G&#G , 𝜎6G&#
9
G)
𝛷3 (𝑡) = 𝑃 (𝑇 ≤ 𝑡) = 1 − 𝑃(𝑇 > 𝑡) = 1 − 𝑃(𝑌 5 = 0) = 1 − 𝑒 &2∙5 X>c X>c+0.5 verwerpen power/ (6G&#G)&(<"&<#)
) ) onderscheidingsvermogen - 𝜎6 en 𝜎# gekend: Z = ~ N(0,1)
𝜇3 = σT2 = ! X<c X<c-0.5 -! - !
2 2 R "/ #
X≥c X>c-0.5 ℋ1 Correcte Type-2 fout $" $#
X≤c X<c+0.5 aanvaarden beslissing - 𝜎6 en 𝜎# ongekend:
UNIFORM: X~U(a,b) met a < b
1 - Niets bekend over 𝜎6 en 𝜎# :
𝜑6 (𝑥) L𝑏 − 𝑎 𝑎𝑙𝑠 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 Intervalschatting Formules:
𝑇=
(6G&#G)&(<"&<#)
≈ 𝑡"OPS
0 𝑎𝑙𝑠 𝑎𝑛𝑑𝑒𝑟𝑠 X waarbij X~N(𝜇6 , 𝜎69 ) of n>30 met gekende variantie → BI of - P(type-2 fout) = P(aanvaarden | ℋ1 vals) * !* !
R. "/. #
𝜇6 =
7/8
σX2 =
(7&8)²
confidence level voor µX met niveau C: - Power/OV = P(verwerpen | ℋ1 vals) $" $#
9 )9 !
! *!
= = - Power + P(type-2 fout) = 1 /* / 1
OG = 𝑋c − 𝑧 ∗ ∙ " BG = 𝑋c + 𝑧 ∗ ∙ " T$ 0 / $ U
" #
√% √%
NORMAAL: X~N(𝜇6 , σX2 ) 𝑧 ∗ > 0 zo gekozen dat C kans is dat een standaardnormaal met k = ! ! ! !
) 6&<" ! verdeelde toevalsvariabele een waarde aanneemt tussen −𝑧 ∗ en 𝑧 ∗
Stappenplan: type-2 fout en power % .*0
/
%
T
.*1
U
1 & ; > $",%V $" W $#,% $#
𝜑6 (𝑥) = ∙ 𝑒 9 =" 1. Hypothesetoetser:
√2 ∙ 𝜋 ∙ 𝜎6 → Satterthwaitebenadering
)&J a) Kies toetsstatistiek
Kwantielen = - 𝜎6 = 𝜎# : homoscedasticiteit
9
="
b) Bepaal steekproevenverdeling onder ℋ1
BIVARIAAT NORMAALMODEL: (X,Y)~N(𝜇6 ,𝜇# ; σX2,σY2, 𝜌6# ) (6G&#G)&(<"&<#)
Foutenmarge: m = 𝑧 ∗ ∙ → daalt bij grotere n, kleinere 𝜎' , kleinere C c) Beslissingsregel 𝑇= ~ 𝑡"OP%"/%#&9
√% % %
𝜑6,# (𝑥, 𝑦) =X$ /$
" #
) B&<" ! $&<# ! 9@"#(B&<")($&<#) met pooled estimator:
1 & ! A; > /; = > & C Andere OG en BG: zie tabellenboekje of toetsstatistiek 2. Waarheid:
= ∙ 𝑒 9()&@"#) =" # ="=#
!
(%"&))∙Q* 0/(%#&))∙Q* 1
!
9
2𝜋𝜎6 𝜎# T1 − 𝜌6# uitwerken naar parameter a) Bepaal ware steekproevenverdeling 𝜎9 =
%"/%#&9
b) Bereken gevraagde → gebruik ware gegevens
Keuze model Intervalschatting:
Continu: normaalmodel, exponentieel, uniform - 𝜎6 en 𝜎# gekend: niveau C BI voor 𝜇6 − 𝜇# is
Discreet: ! !
=" =#
- Eindig waardegebied: bernoulli, binomiaal 𝑥̅ − 𝑦c ± 𝑧 ∗ ∙ n +
%" %#
- Oneindig waardegebied: geometrisch, poisson - 𝜎6 en 𝜎# ongekend: niveau C BI voor 𝜇6 − 𝜇#
is 𝑥̅ − 𝑦c ± 𝑡 ∗ ∙ 𝑆𝐸 met SE = onder de breukstreep
