Statistiek I – semester 2 “van lot naar kans”
HOOFDSTUK 8: MAYBE YES MAYBE NO
1 VAN LOT NAAR KANS
Beschrijvende statistiek = het beschrijven van de gegevens van een steekproef of populatie met behulp
van tabellen, grafieken en kengetallen. (zie semester 1)
Inferentiële statistiek = op basis van steekproefgegevens uitspraken doen over de populatie, inferenties
maken (semester 2)
Kansberekening
Waarom? De mens wil in toenemende mate onzekerheid vatten en inzicht verkrijgen in de kansen op
bepaalde gebeurtenissen. (vb. verzekeringsmaatschappijen, beleidsmakers…)
Maar: we zijn hier intuïtief hel slecht in (vb. het werk van Kahneman, de Gamblers Fallacy1)
2 DE TAAL VAN DE KANS: BASISBEGRIPPEN
stochastisch proces / toevalsproces / kansexperiment = een proces waarvan de uitkomsten onzeker zijn
<-> deterministisch proces = een proces waarvan de uitkomsten zeker zijn (vb. uur van zonsondergang)
Kwantitatieve kansrekening: geen interesse in deterministische processen
synoniem: stochastiek
kansvariabelen worden ‘stochasten’ genoemd (hoofdletter X)
Toevaslgebeuren / gebeurtenis = een specifieke (groep van) uitkomst(en) van een stochastisch proces
elementair toevasgebeuren: slechts één uitkomst vb. A = { 1 }
samengesteld toevalsgebeuren: heeft betrekking op meerdere elementaire toevalsgebeurens van
het stochastisch proces vb. B = { 2,4,6 }
elk toevalsgebeuren x i is een deelverzameling of partitie uit de uitkomstenruimte S: x i ⊂ S
o G 1= {1 } , G 2={ 2,4,6 } en G 3= {3,5 } vormen een partitie/volledig stelsel, want ze zijn
exhaustief (G 1 ∪ G 2 ∪ G 3={ 1,2,3,4,5,6 } =S ) en twee-aan-twee-disjunct (lege
doorsnedes)
Uitkomstenruimte S = de verzameling van alle mogelijke elementaire toevalsgebeurens die horen bij een
bepaald stochastisch proces, ‘de verzameling van alle mogelijke uitkomsten van een kansexperiment’
S komt van Sample Space en drukt uit dat het gaat om alle mogelijke uitkomsten die in
aanmerking komen voor een steekproef uit deze verzameling
S bevat alle mogelijke elementaire toevalsgebeurens, dus het is een exhaustief stelsel
De elementaire toevalsgebeurens van S vormen een volledig stelsel, dus ze zijn mutueel exclusief
en exhaustief
Voorbeeld: voor het stochastisch proces ‘opgooien eerlijke dobbelsteen en registreren aantal
ogen’ is S = { 1, 2,3, 4, 5, 6 }
Verzameling = een duidelijk afgebakend geheel van objecten, waarbij de objecten (= elementen) aan
bepaalde voorwaarden moeten voldoen om tot die verzameling te behoren. Een verzameling wordt
afgekort d.m.v. een hoofdletter en een opsomming geeft vervolgens weer welke elementen ertoe
behoren.
Voorbeeld: A = { a , b , c , d , e }
1
Gamblers Fallacy: “Je hebt al 3x 6 gegooid met een dobbelsteen. De kans dat je nog een 4 de keer 6 gooit is
miniem.” FOUT! De kans is nog steeds 1/6. Elke worp is onafhankelijk van de voorgaande worp.
1
,Statistiek I – semester 2 “van lot naar kans”
Soorten verzamelingen
Lege verzameling
o De verzameling bevat geen enkel element
o Symbool: ϕ (‘fi’)
o Voorbeeld: er bestaat geen natuurlijk getal dat strikt kleiner is dan 2 en tegelijkertijd ook
minstens 4 bedraagt D = { x ∈ N |x< 2 en x ≥ 4 } =ϕ
Een singleton
o De verzameling bevat slechts één element
o Voorbeeld: E = { 1 }
o Voorbeeld: F = { x ∈ N |x ≤ 2 en x>1 }
Gelijke verzameling
o Twee verzamelingen bevatten exact dezelfde elementen
o Voorbeeld: A = { a , e ,i , k , s , t } en B{ x |x is een letter uit het woord ' statistiek ' }
o Notatie: A = B
Deelverzameling
o Indien verzameling A slechts een deel van de elementen uit verzameling B bevat, is A een
deelverzameling van B
o Notatie: A⊂B
o Voorbeeld:
M = { x |x is een student die Statistiek volgt aan een bepaalde universiteit } en
N = { x| x is een student die Communicatiew . volgt aan diezelfde universiteit }
Unie en doorsnede van twee verzamelingen
Doorsnede = de verzameling die bestaat uit elementen die zowel in verzameling A als B zitten
o Notatie: A∩B
o Voorbeeld: A= { a , b , c , d , e } en B = { a , e ,i , k , s , t }, dan A∩B = { a , e }
o Voorbeeld: A = { 1,2 } en B = { oneven }, dan A∩ B = { 1 }
o Disjuncte2 verzameling / disjuncte gebeurtenis:
doorsnede A∩ B=ϕ (lege doorsnede)
gebeurtenissen die geen gemeenschappelijke uitkomsten bevatten
Voorbeeld: A = { 1 } enB = { 2,4,6 }
Unie = de verzameling die bestaat uit elementen die ofwel in verzameling A, ofwel in B, ofwel in
beide verzamelingen zitten
o Notatie: A∪B
o Voorbeeld: A = { a , b , c , d , e } en B = { a , e ,i , k , s , t }, dan A∪ B =
{ a , b , c , d , e ,i , k , s , t }
o Voorbeeld: A = { 1,2 } en B = { oneven }, dan A∪ B = { 1,2,3,5 }
DOORSNEDE UNIE DISJUNCT
A∩B A∪B A∩B = ∅
2
Synoniem: mutueel exclusief
2
,Statistiek I – semester 2 “van lot naar kans”
Het verschil van 2 verzamelingen
Verschil = de verzameling die bestaat uit alle elementen van verzameling A die niet in B zitten
o Notatie: A∖ B
o Voorbeeld: A = { a , b , c , d , e } en B = { a , e ,i , k , s , t }, dan A∖ B = { b , c , d }
Machtsverzameling M(S)
Machtsverzameling = een verzameling die als elementen opnieuw verzamelingen heeft.
Voorbeeld: de machtsverzameling van S = { 1,2,3 } is gelijk aan
M(S) = { ∅ , {1 } , { 2 } } , {3 } , { 1,2 }, { 1,3 } , { 2,3 } , {1,2,3 } }
Indien verzameling S in totaal n verschillende elementen bevat, is het mogelijk om 2n deelverzamelingen
te maken:
Als #S = n dan #M(S) = 2n
Voorbeeld: de M(S) van de uitkomstenruimte S = { 1,2,3,4,5,6 } , die hoort bij het stochastisch proces
‘opgooien van een eerlijke dobbelsteen en registreren van het aantal ogen’, bevat dus 26 elementen (=64).
Er zijn m.a.w. 64 mogelijke elementaire of samengestelde toevalsgebeurens die verbonden kunnen
worden met het stochastisch proces: M(S)={Ø,{1},{2},{3},{4},{5},{6},{1,2},{1,3},... {1,2,3},{1,2,4},...,
{1,2,3,4,5,6}}
3 DE KANSDEFINITIE
Kans P
= een functie die elk toevalsgebeuren A met een welbepaald getal P(A) verbindt, waarbij P(A) een
kwantitatieve weergave is van de mogelijkheid dat het gebeuren A plaatsvindt.
(m.a.w. de kans P(A) is een wiskundige functie die de elementen uit een bepaald domein (de
uitkomsten uit de uitkomstenruimte) afbeeldt op een reëel getal (het beeld = de kans op
voorkomen), volgens een bepaald functievoorschrift of een kansdefinitie)
P = functie die met elke G uit M(S) een reëel getal P(G) tussen 0 en 1 associeert (definitie ppt)
3
, Statistiek I – semester 2 “van lot naar kans”
Soorten kansdefinities
Subjectieve kansdefinitie (gokkans)
o vb. ‘kans om lotto te winnen is erg klein’
o vaak gebaseerd op ervaring, vaag
Empirische kansdefinitie (zweetkans) -> inductief
o vb. kans om 2 te gooien bij een eerlijke dobbelsteen
o dobbelsteen heel vaak opwerpen (n oneindig)3
f
o geregeld ( i ) berekenen (= benadering voor kans)
n
f
o kijken waar de waarden ( i ) naartoe gaan als n toeneemt (de ‘limietwaarde’ is de
n
gezochte kans)
fi
o P(A) = lim
n→∞ n
Theoretische kansdefinitie / kansdefinitie van Laplace (weetkans) -> deductief
o Belangrijk: Laplace veronderstelt dat elke uitkomst even plausibel is, elk elementair
toevalsgebeuren wordt dus verbonden met eenzelfde kans, alle uitkomsten zijn even
waarschijnlijk = uniforme kansverdeling
vb. toepassen bij eerlijke dobbelsteen
o Aantal gunstige uitkomsten (successen) delen door aantal mogelijke uitkomsten
3
De steekproefgrootte n moet zeer groot zijn vooraleer men de empirische kansdefinitie kan toepassen.
4
