Samenvatting Wiskunde 2
Meetkunde
Artikel ‘Ontwikkeling meetkundige inzichten Piaget en Donaldson’ (onderzoek)
Piaget: Coördinatie van perspectieven
Opzet
Op een karton van 1 m2 zien de kinderen 3 bergen van 12 tot 30 cm hoogte
3 kinderen, elk kijkt vanuit ander standpunt
Vanuit A ziet kind rechts een groene berg met op de top een huisje. Link een bruine berg die
hoger is, met een kruis op. Achter beide bergen staat de hoogste berg, grijs van kleur met
sneeuw op de top.
Vanuit C: Slingerend pad op de groene berg
Vanuit B: Klein beekje op de bruine berg
Experiment/onderzoek
De kinderen krijgen serie van 10 prenten te zien bergen vanuit verschillende
gezichtspunten, met relevante detail
Kinderen krijgen 3 gekleurde kartons, elk staat voor 1 berg
Er verschijnt een popje op verschillende posities
Kinderen proberen met de drie kartonnen te weergeven hoe een foto gemaakt uit punt
A/B/C eruit zal zien
Vervolgens: kinderen zetten zich op standpunt B C D en proberen met de kartonnen aan te
geven welke foto van daaruit genomen kan worden
Tweede deel onderzoek: kinderen krijgen foto’s te zien en zoeken eentje uit die het meest
past bij de positie die het popje op dat moment inneemt
Doelpubliek : 4 – 13
Vaststellingen
Kinderen van 4-5 jaar snappen gewoonweg niet wat er gevraagd wordt
Kinderen van 5-7 jaar maken vrijwel geen onderscheid tussen eigen gezichtspunt en dat van
de andere observatoren
Vb ‘Zan’ krijgt de vraag ‘Zou jou foto er zo uitzien als je daar (bij B) zat?’ antwoord: ‘Ik weet
het niet, want ik heb dat nog nooit gedaan’
, Conclusie: De cognitieve ontwikkeling van kinderen wordt wel degelijk door de
ervaring beïnvloed
Kinderen als Zan hebben moeite met het innemen van perspectief Dit wordt veroorzaakt
door het feit dat hij moeite/ geen ervaring heeft met reversibel denken
Als kinderen tot 7/8 jaar gevraagd worden één prent uit te kiezen (ongeacht positie popje),
kiezen ze steeds voor de prent vanuit de eigen positie
VANAF 7/8 jaar: in toenemende mate in staat meerdere perspectieven te coördineren
Vanaf 9/10 jaar: écht inzicht in coördinatie van gezichtspunten!
Donaldson: Het replicatieonderzoek van Donaldson
Opzet
Onderzoek van Piaget herhaald, maar de context veranderd zodat kinderen zich makkelijker
kunnen inleven in de situatie: Je verbergen voor een politieagent
De kinderen zien 2 muren die samen een kruis vormen
Er worden 2 poppen gebruikt: een politiepop en een jongen
De vraag: ‘Kan de politieman de jongen zien?’ wordt meermaals gesteld (terwijl de jongen
zich verplaats, van A B C D)
Dan: Politieagent en jongen worden schuin naast elkaar gezet opnieuw wordt vraag aan
kind gesteld
Kinderen moeten de jongen nu ZELF verstoppen voor de politieagent
Meeste kinderen ondervinden niet veel moeite
Tweede deel onderzoek: er komt een 2de politieagent vraag: ‘Kan je de jongen voor beide
agenten verstoppen?’
Om dit op te lossen: twee gezichtspunten in de gaten houden én kunnen coördineren
Vaststellingen
90% van de kinderen (tussen 3,5 en 5 jaar) hadden GEEN moeite met deze problemen
Zelfs als de kinderen worden geconfronteerd met 5/6 gebieden en een 3 de agent wordt
toegevoegd, lossen 4-jarigen het probleem goed op
Conclusie/verklaring
Het verschil in taken:
De kinderen weten zich geen raad met bergenprobleem, omdat ze niet begrijpen wat
er van hen wordt gevraagd = te abstract, roept bij kinderen geen herkenning op
Het agentenprobleem is een ‘functionele situatie’ begrijpen ze wel
Kanttekening: we weten niets over kwaliteit van interactie tussen proefleider en kinderen
Les 1 - MEETKUNDE - Evolutie in het meetkundige denken
,1ste theorie - Fasen van meetkundig denken (Mayberry)
Mayberry onderscheidt vier niveaus in het meetkundig denken:
Basisniveau: Globaal herkennen van figuren
Kinderen leren meetkundige figuren waarnemen, herkennen en benoemen
Kleuterklas en 1ste graad LO
Vb. LK laat de lln naar de vloertegels kijken en zegt dat een tegel een vierkant is kinderen
zullen in staat zijn om in de klas voorbeelden van vierkanten te vinden
Niveau 1: Analyse van de eigenschappen
Eigenschappen worden afzonderlijk geleerd, zonder verbanden te leggen
2de graad LO
Vb: Lln onderzoeken eigenschappen van een vierkant en komen tot de conclusie dat een
vierkant 4 gelijke zijden en 4 gelijke hoeken heeft. Daarna wordt de rechthoek onderzocht.
Zonder hulp gaan de kinderen NIET inzien dat een vierkant ook een rechthoek is…
Niveau 2: Relatie tussen figuren
Verbanden leggen tussen meetkundige figuren + classificeren obv eigenschappen
3de graad LO + SO
Niveau 3: Deductieve redeneringen
Abstract redeneren + bewijzen opbouwen (deductie)
Vb; Congruente driehoeken, …
Secundair onderwijs
2de theorie - Evolutie in meetkundig denken (Gravemeijer en Kraemer)
Bij verkenning ruimte: belangrijk om dit te doen vanuit eigen leefwereld
= Ervaringsmeetkunde
Beschrijven de evolutie in meetkundig denken, vertrekkende vanuit ruimtelijke oriëntatie
kleuters
Fase 1 – Direct en indirect waarnemen
Intuïtieve meetkundige begrippen (ver, dichtbij, recht, schuin…)
Voorwerpen in de verte lijken veel kleiner, ze zijn echter niet zo klein
Direct waarnemen = waarnemen van de werkelijkheid
Indirect waarnemen: Warnemen via foto’s of afbeeldingen
‘Ga op je stoel staal, onder je bank zitten…’
Vb: De lln moeten aanduiden bij welke foto de fotograaf het verste stond
Fase 2 – (Mentaal) innemen van een standpunt
In realiteit, maquette, plattegrond, kaart…
Vaardigheden die nodig zijn bij het bedenken wat je vanuit ander standpunt ziet, worden
ontwikkeld
ALTIJD hulpmiddelen gebruiken
Vb: Bij spelen van verstoppertje, verplaatsen de kinderen zich in het standpunt van diegene die
zoekt (heb ik een goede verstopplaats gevonden?)
Fase 3 – Beschrijven van een object
, Beschrijven van een object wordt steeds preciezer en formeler
Beschrijven van de plaats van een object (links, recht, boven…)
Vb: aanzichten van een bouwsel bepalen // Het afleiden van een plattegrond met
hoogtegetallen van een bouwsel
Fase 4 – Een mentaal beeld volgen
Ons een mentaal beeld vormen van hetgeen dat omschreven wordt
Hulpmiddel wordt weggenomen
Vb Wegbeschrijving zonder kaart, geen hulpmiddel
Wegbeschrijving ipv aanduiden op kaart
Foto van blokkenbouwsel ipv écht bouwsel Ruimtelijk inzic
Fase 5 – Handelen aan een mentale voorstelling
Fase 4 en 5 vaak samen aan bod: beroep doen op ruimtelijk voorstellingsvermogen
In gedachten worden ruimtelijk objecten gemanipuleerd
Ontvouwingen…
3de theorie – Ontwikkeling meetkundig inzicht Piaget en Donaldson
Onderzoek Piaget: Houten constructie met ‘kwartjes’ ‘Kan de politieagent het poppetje zien?’
Zie artikel!
‘Leg het poppetje ergens waar de politie het poppetje niet kan zien?’ Inleven in standpunt
poppetje, inschatting maken
Speelt ‘verstoppertje’ Leefwereld kinderen, ze kunnen zelf ‘meedoen’
Concreet
Realistische context belangrijk – leefwereld kinderen
In turnzaal, speelplaats, werken met poppetjes…
Schematisch
Nadruk overgang concreet tekenen
Abstract
Verplaatsen <-> Niet verplaatsen
Op plaats van het poppetje gaan kijken Vanaf je bank naar het poppetje kijken
Didactische aanbevelingen
Bij opstellen leerlijn meetkunde: rekening houden met ontwikkelingsniveau leerlingen
Rekening houden met ontwikkelingsniveau leerling
Systematiek wiskundig systeem op tweede plaats
Voorzie voldoende activiteiten voor elke ontwikkelingsfase
Kans geven om terug te keren naar vorige denkfase
Handelen belangrijker dan tekenen
Les 1 - MEETKUNDE - Ruimtelijke oriëntatie
Begrippen aanbrengen
