Examen
MAT1503 Assignment 5 (COMPLETE ANSWERS) 2024 - DUE 10 September 2024
- Cours
- Établissement
- Book
MAT1503 Assignment 5 (COMPLETE ANSWERS) 2024 - DUE 10 September 2024
[Montrer plus]
Livre connecté
Titre de l’ouvrage:
Auteur(s):
- Édition:
- ISBN:
- Édition:
Plus de résumés pour
-
MAT1503 Assignment 5 (COMPLETE ANSWERS) 2024 - DUE 10 September 2024 ; 100% TRUSTED Complete, trusted solutions and explanations. Ensure your success with us ....
-
MAT1503 Assignment 5 (COMPLETE ANSWERS) 2024 - DUE 10 September 2024 ; 100% TRUSTED Complete, trusted solutions and explanations. Ensure your success with us ....
-
MAT1503 Assignment 5 (COMPLETE ANSWERS) 2024 - DUE 10 September 2024 ; 100% TRUSTED Complete, trusted solutions and explanations. Ensure your success with us ....
Vendeur
S'abonner
Novaace1
Avis reçus
Aperçu du contenu
,MAT1503 Assignment 5 (COMPLETE ANSWERS)2024 - DUE 10 September 2024 ; 100% TRUSTED
Complete, trusted solutions and explanations.
Question 1: 12 Marks (1.1) Let U and V be the planes given by:
(2) U : λx + 5y − 2λz − 3 = 0, V : −λx + y + 2z + 1 = 0. Determine
for which value(s) of λ the planes U and V are: (a) orthogonal,
(2) (b) Parallel. (2) (1.2) Find an equation for the plane that
passes through the origin (0, 0, 0) and is parallel to the (3) plane
−x + 3y − 2z = 6. (1.3) Find the distance between the point
(−1,−2, 0) and the plane 3x − y + 4z = −2. (3)
Let's break down each part of the question step-by-step:
1.1 (a) Orthogonal Planes
To determine for which value(s) of λ\lambdaλ the planes UUU
and VVV are orthogonal, we need to check the dot product of
their normal vectors.
The planes are given by: U:λx+5y−2λz−3=0U: \lambda x + 5y - 2\
lambda z - 3 = 0U:λx+5y−2λz−3=0 V:−λx+y+2z+1=0V: -\lambda x
+ y + 2z + 1 = 0V:−λx+y+2z+1=0
The normal vector of plane UUU is nU=(λ,5,−2λ)\mathbf{n}_U =
(\lambda, 5, -2\lambda)nU=(λ,5,−2λ).
The normal vector of plane VVV is nV=(−λ,1,2)\mathbf{n}_V =
(-\lambda, 1, 2)nV=(−λ,1,2).
Two planes are orthogonal if their normal vectors are
orthogonal. This means their dot product should be zero:
,nU⋅nV=(λ,5,−2λ)⋅(−λ,1,2)\mathbf{n}_U \cdot \mathbf{n}_V = (\
lambda, 5, -2\lambda) \cdot (-\lambda, 1, 2)nU⋅nV
=(λ,5,−2λ)⋅(−λ,1,2)
Calculate the dot product:
nU⋅nV=λ(−λ)+5⋅1+(−2λ)⋅2\mathbf{n}_U \cdot \mathbf{n}_V = \
lambda(-\lambda) + 5 \cdot 1 + (-2\lambda) \cdot 2nU⋅nV
=λ(−λ)+5⋅1+(−2λ)⋅2 =−λ2+5−4λ= -\lambda^2 + 5 - 4\
lambda=−λ2+5−4λ
Set the dot product to zero:
−λ2+5−4λ=0-\lambda^2 + 5 - 4\lambda = 0−λ2+5−4λ=0
Rearrange into standard quadratic form:
λ2+4λ−5=0\lambda^2 + 4\lambda - 5 = 0λ2+4λ−5=0
Solve this quadratic equation using the quadratic formula
λ=−b±b2−4ac2a\lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}
{2a}λ=2a−b±b2−4ac:
λ=−4±16+202\lambda = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 20}}
{2}λ=2−4±16+20 λ=−4±362\lambda = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}
{2}λ=2−4±36 λ=−4±62\lambda = \frac{-4 \pm 6}{2}λ=2−4±6
λ=1 or λ=−5\lambda = 1 \text{ or } \lambda = -5λ=1 or λ=−5
Thus, the planes UUU and VVV are orthogonal for λ=1\lambda =
1λ=1 and λ=−5\lambda = -5λ=−5.
1.1 (b) Parallel Planes
, Two planes are parallel if their normal vectors are parallel. This
means that one normal vector is a scalar multiple of the other.
For planes UUU and VVV:
nU=(λ,5,−2λ)\mathbf{n}_U = (\lambda, 5, -2\lambda)nU
=(λ,5,−2λ) nV=(−λ,1,2)\mathbf{n}_V = (-\lambda, 1, 2)nV
=(−λ,1,2)
We need to find λ\lambdaλ such that:
(λ,5,−2λ)=k(−λ,1,2)(\lambda, 5, -2\lambda) = k(-\lambda, 1, 2)
(λ,5,−2λ)=k(−λ,1,2)
Equate the components:
λ=−kλ\lambda = -k\lambdaλ=−kλ 5=k5 = k5=k −2λ=2k-2\lambda
= 2k−2λ=2k
From 5=k5 = k5=k, substitute kkk into the third equation:
−2λ=2×5-2\lambda = 2 \times 5−2λ=2×5 −2λ=10-2\lambda =
10−2λ=10 λ=−5\lambda = -5λ=−5
Substitute λ=−5\lambda = -5λ=−5 into λ=−kλ\lambda = -k\
lambdaλ=−kλ:
−5=−5k-5 = -5k−5=−5k k=1k = 1k=1
So, the planes UUU and VVV are parallel when λ=−5\lambda = -
5λ=−5.
1.2 Equation of a Plane Parallel to a Given Plane
Les avantages d'acheter des résumés chez Stuvia:
Qualité garantie par les avis des clients
Les clients de Stuvia ont évalués plus de 700 000 résumés. C'est comme ça que vous savez que vous achetez les meilleurs documents.
L’achat facile et rapide
Vous pouvez payer rapidement avec iDeal, carte de crédit ou Stuvia-crédit pour les résumés. Il n'y a pas d'adhésion nécessaire.
Focus sur l’essentiel
Vos camarades écrivent eux-mêmes les notes d’étude, c’est pourquoi les documents sont toujours fiables et à jour. Cela garantit que vous arrivez rapidement au coeur du matériel.
Foire aux questions
Qu'est-ce que j'obtiens en achetant ce document ?
Vous obtenez un PDF, disponible immédiatement après votre achat. Le document acheté est accessible à tout moment, n'importe où et indéfiniment via votre profil.
Garantie de remboursement : comment ça marche ?
Notre garantie de satisfaction garantit que vous trouverez toujours un document d'étude qui vous convient. Vous remplissez un formulaire et notre équipe du service client s'occupe du reste.
Auprès de qui est-ce que j'achète ce résumé ?
Stuvia est une place de marché. Alors, vous n'achetez donc pas ce document chez nous, mais auprès du vendeur Novaace1. Stuvia facilite les paiements au vendeur.
Est-ce que j'aurai un abonnement?
Non, vous n'achetez ce résumé que pour €2,47. Vous n'êtes lié à rien après votre achat.
Peut-on faire confiance à Stuvia ?
4.6 étoiles sur Google & Trustpilot (+1000 avis)
79271 résumés ont été vendus ces 30 derniers jours
Fondée en 2010, la référence pour acheter des résumés depuis déjà 14 ans