Vecteurs, droites et plans de l'espace

Chapitre 4
Vecteurs, droites et plans de l'espace
Commençons par quelques rappels ou résultats de base :
1. Par deux points distincts de l'espace, il passe une droite et une seule. Une droite dé
nie par
deux points s'écrit avec des parenthèses : (AB).
2. Par trois points non alignés, il passe un plan et un seul. Un plan dé
ni par trois points non
alignés s'écrit avec des parenthèses : (ABC) (pour le diérencier du triangle ABC).
Si D est une droite de l'espace et A est un point de l'espace n'appartenant pas à D , il existe
un plan et un seul contenant la droite D et le point A.
Si D et D ′ sont deux droites sécantes de l'espace, il existe un plan et un seul contenant les
droites D et D ′ .
3. Si un plan contient deux points distincts A et B , alors la droite (AB) toute entière est contenue
dans le plan P .
4. Tout résultat de géométrie plane s'applique à l'intérieur d'un plan de l'espace.

4.1 Vecteurs de l'espace
4.1.1 Notion de vecteur dans l'espace
Dé
nition 1
Un vecteur de l'espace est dé
ni par une direction de l'espace, un sens et une norme
(longueur).


Remarque. Les vecteurs de l'espace suivent les mêmes règles de construction qu'en géométrie plane :
relation de Chasles, propriétés en rapport avec la colinéarité, . . .

4.1.2 Translation
Dé
nition 2
−→
Soit A et B deux points distincts de l'espace. La translation de vecteur AB est la trans-
−−→ −→
formation qui à tout point C associe l'unique point D tel que CD = AB .




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, Proposition 3
Soit E et F deux points de l'espace, ⃗u un vecteur de l'espace et t la translation de vecteur
⃗u.
On note E ′ et F ′ les images respectives de E et F par la translation t. On a alors :
−− → −→
E ′ F ′ = EF

−−→
Démonstration. On note t : E 7→ E ′ la translation de vecteur ⃗u ; autrement dit t(E) = E ′ ⇔ EE ′ =
−−→
⃗u ; de même t(F ) = F ′ ⇔ F F ′ = ⃗u.
−−→ −−→ −→ −−→ −→ −→
D'après la relation de Chasles : E ′ F ′ = E ′ E + EF + F F ′ = −⃗u + EF + ⃗u = EF . ■
Remarque. Les translations gardent les mêmes propriétés qu'en géométrie plane : conservation du
parallélisme, de l'orthogonalité, du milieu, . . .

4.1.3 Vecteurs colinéaires, vecteurs coplanaires
Dé
nition 4
Soient ⃗u et ⃗v deux vecteurs de l'espace.
⃗u et ⃗v sont colinéaires si et seulement si ou bien ⃗u = ⃗0 ou bien ⃗u ̸= ⃗0 et il existe un réel k
tel que ⃗v = k⃗u.


Théorème 5
Soient A, B et C trois points de l'espace.
−→ −→
A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires.


−→ −→ −→ −→
Démonstration. Les vecteurs AB et AC sont colinéaires si et seulement si les vecteurs AB et AC
ont la même direction, si et seulement si (AB) et (AC) sont parallèles.
Or A appartient à ces deux droites. Elles sont donc confondues, ce qui équivaut à dire que A, B
et C sont alignés. ■

Dé
nition 6
On considère quatre points distincts de l'espace O, A, B et C et on dé
nit trois vecteurs ⃗u,
−→ −−→ −→
⃗v et w
⃗ par ⃗u = OA, ⃗v = OB et w ⃗ = OC .
On dit que ⃗u, ⃗v et w
⃗ sont coplanaires lorsque les points O, A, B et C appartiennent à un
même plan.


Proposition 7
Soit ⃗u, ⃗v et w
⃗ trois vecteurs de l'espace tels que ⃗u et ⃗v ne sont pas colinéaires (ainsi ⃗u et ⃗v
ne sont pas nuls).
Les vecteurs ⃗u, ⃗v et w⃗ sont coplanaires si et seulement si il existe deux nombres λ et µ tels
que w⃗ = λ⃗u + µ⃗v .



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