Le chapitre "Vecteurs, droites et plans dans l'espace" aborde la géométrie dans un espace à trois dimensions, en s'appuyant sur l'utilisation des vecteurs pour représenter des directions et des grandeurs. Il traite des opérations vectorielles (addition, multiplication par un scalaire, produit ...
Chapitre 4
Vecteurs, droites et plans de l'espace
Commençons par quelques rappels ou résultats de base :
1. Par deux points distincts de l'espace, il passe une droite et une seule. Une droite dé
nie par
deux points s'écrit avec des parenthèses : (AB).
2. Par trois points non alignés, il passe un plan et un seul. Un plan dé
ni par trois points non
alignés s'écrit avec des parenthèses : (ABC) (pour le diérencier du triangle ABC).
Si D est une droite de l'espace et A est un point de l'espace n'appartenant pas à D , il existe
un plan et un seul contenant la droite D et le point A.
Si D et D ′ sont deux droites sécantes de l'espace, il existe un plan et un seul contenant les
droites D et D ′ .
3. Si un plan contient deux points distincts A et B , alors la droite (AB) toute entière est contenue
dans le plan P .
4. Tout résultat de géométrie plane s'applique à l'intérieur d'un plan de l'espace.
4.1 Vecteurs de l'espace
4.1.1 Notion de vecteur dans l'espace
Dé
nition 1
Un vecteur de l'espace est dé
ni par une direction de l'espace, un sens et une norme
(longueur).
Remarque. Les vecteurs de l'espace suivent les mêmes règles de construction qu'en géométrie plane :
relation de Chasles, propriétés en rapport avec la colinéarité, . . .
4.1.2 Translation
Dé
nition 2
−→
Soit A et B deux points distincts de l'espace. La translation de vecteur AB est la trans-
−−→ −→
formation qui à tout point C associe l'unique point D tel que CD = AB .
35
, Proposition 3
Soit E et F deux points de l'espace, ⃗u un vecteur de l'espace et t la translation de vecteur
⃗u.
On note E ′ et F ′ les images respectives de E et F par la translation t. On a alors :
−− → −→
E ′ F ′ = EF
−−→
Démonstration. On note t : E 7→ E ′ la translation de vecteur ⃗u ; autrement dit t(E) = E ′ ⇔ EE ′ =
−−→
⃗u ; de même t(F ) = F ′ ⇔ F F ′ = ⃗u.
−−→ −−→ −→ −−→ −→ −→
D'après la relation de Chasles : E ′ F ′ = E ′ E + EF + F F ′ = −⃗u + EF + ⃗u = EF . ■
Remarque. Les translations gardent les mêmes propriétés qu'en géométrie plane : conservation du
parallélisme, de l'orthogonalité, du milieu, . . .
4.1.3 Vecteurs colinéaires, vecteurs coplanaires
Dé
nition 4
Soient ⃗u et ⃗v deux vecteurs de l'espace.
⃗u et ⃗v sont colinéaires si et seulement si ou bien ⃗u = ⃗0 ou bien ⃗u ̸= ⃗0 et il existe un réel k
tel que ⃗v = k⃗u.
Théorème 5
Soient A, B et C trois points de l'espace.
−→ −→
A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires.
−→ −→ −→ −→
Démonstration. Les vecteurs AB et AC sont colinéaires si et seulement si les vecteurs AB et AC
ont la même direction, si et seulement si (AB) et (AC) sont parallèles.
Or A appartient à ces deux droites. Elles sont donc confondues, ce qui équivaut à dire que A, B
et C sont alignés. ■
Dé
nition 6
On considère quatre points distincts de l'espace O, A, B et C et on dé
nit trois vecteurs ⃗u,
−→ −−→ −→
⃗v et w
⃗ par ⃗u = OA, ⃗v = OB et w ⃗ = OC .
On dit que ⃗u, ⃗v et w
⃗ sont coplanaires lorsque les points O, A, B et C appartiennent à un
même plan.
Proposition 7
Soit ⃗u, ⃗v et w
⃗ trois vecteurs de l'espace tels que ⃗u et ⃗v ne sont pas colinéaires (ainsi ⃗u et ⃗v
ne sont pas nuls).
Les vecteurs ⃗u, ⃗v et w⃗ sont coplanaires si et seulement si il existe deux nombres λ et µ tels
que w⃗ = λ⃗u + µ⃗v .
36
Les avantages d'acheter des résumés chez Stuvia:
Qualité garantie par les avis des clients
Les clients de Stuvia ont évalués plus de 700 000 résumés. C'est comme ça que vous savez que vous achetez les meilleurs documents.
L’achat facile et rapide
Vous pouvez payer rapidement avec iDeal, carte de crédit ou Stuvia-crédit pour les résumés. Il n'y a pas d'adhésion nécessaire.
Focus sur l’essentiel
Vos camarades écrivent eux-mêmes les notes d’étude, c’est pourquoi les documents sont toujours fiables et à jour. Cela garantit que vous arrivez rapidement au coeur du matériel.
Foire aux questions
Qu'est-ce que j'obtiens en achetant ce document ?
Vous obtenez un PDF, disponible immédiatement après votre achat. Le document acheté est accessible à tout moment, n'importe où et indéfiniment via votre profil.
Garantie de remboursement : comment ça marche ?
Notre garantie de satisfaction garantit que vous trouverez toujours un document d'étude qui vous convient. Vous remplissez un formulaire et notre équipe du service client s'occupe du reste.
Auprès de qui est-ce que j'achète ce résumé ?
Stuvia est une place de marché. Alors, vous n'achetez donc pas ce document chez nous, mais auprès du vendeur thomaschiousse2007. Stuvia facilite les paiements au vendeur.
Est-ce que j'aurai un abonnement?
Non, vous n'achetez ce résumé que pour €5,49. Vous n'êtes lié à rien après votre achat.
