Statistiek II
Samenvatting
H2: Kansrekenen
1.Basisconcepten van kansrekenen
Kansexperiment = Experiment waarvan uitkomst door toeval wordt bepaald
➢ Mogelijke uitkomsten wel gekend, experiment kan herhaald worden, herhaalde
experimenten zijn onafhankelijk
Uitkomstenruimte (universum,sample space) = verzameling van alle mogelijke uitkomsten
➢ Vb. Wanneer je dobbelsteen eenmaal opgooit, is uitkomstenruimte {1,2,3,4,5,6}
➢ Vb. Wanneer je muntstuk opgooit, is uitkomstenruimte (K=kop, M=munt) {K,M}
➢ Vb. Twee muntstukken opgooien geeft {KK,KM,MK,MM}
➢ Vb. Som van ogen van 2 dobbelstenen: {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
↳ Uitkomstenruimte voor meerdere observaties visualiseren via boomdiagram:
Gebeurtenis (event) = “Subset van uitkomstenruimte” of “Deelverzameling van uitkomsten”
↳ Meestal aangeduid met hoofdletter:
● Vb. Gebeurtenis A = “een zes gooien” = {6}
● Vb. Gebeurtenis B = “een even aantal ogen gooien” = {2,4,6}
Vb.
● Gebeurtenis A = alle studenten die drie
vragen incorrect beantwoord hebben
○ = {III}
● Gebeurtenis B = alle studenten die minstens
1 vraag correct beantwoord hebben
○ = {CCC, CCI, CIC, CII, ICC, ICI, IIC
Het concept kans = maat voor waarschijnlijkheid ve bepaalde uitkomst of gebeurtenis in
een kansexperiment
➢ Vb. gooien met dobbelsteen: P(6) = 1/6 = 16,666667% = 0,166667
➢ Kans ➜ een proportie ➜ waarde tussen 0 en 1 (∈ [ 0,1])
1
,3 benaderingen van kans:
1. Theoretische kans
= Op voorhand theoretisch te bepalen
➢ Vb: Eerlijke dobbelsteen (1/6)
★ Regel van Laplace in uniforme kansverdeling = alle uitkomsten hebben eenzelfde
kans
● Probleem: soms onmogelijk om theoretische kans te bepalen: bv punaise,
kans op hospitalisatie bij covid, slaagkans examen statistiek, …
2. Empirische kans
= kans op bepaalde uitkomst/gebeurtenis is de limiet vd relatieve frequenties
(wanneer het aantal experimenten/observaties oneindig groot wordt)
➢ Vb: punaise, kans op hospitalisatie bij covid
➢ Kans kwantificeert toeval (randomness) op lange termijn (dus groot aantal
observaties/experimenten)
➢ Oneindigheid kan nooit geobserveerd worden, dus deze kansen zijn altijd
benaderingen van theoretische hun limietwaarden
★ Wet vd grote aantallen (Bernoulli): aandeel van voorkomen bepaalde uitkomst /
gebeurtenis in totaal aantal experimenten/observaties lijkt op lange termijn naar
bepaalde waarde te convergeren
○ assumptie van onafhankelijkheid: Vb. 20 keer “6” na elkaar gooien. Wat is de
kans op 6 bij 21ste trial? => 1/6 want Dobbelstenen hebben geen geheugen
3. Subjectieve kans
= Kans op bepaalde uitkomst gebaseerd op eigen inschatting (want soms onmogelijk
om zeer veel observaties uit te voeren: bv kans op meteorietinslag)
↳ Verwant aan Bayesiaanse statistiek = starten ve a priori ingeschatte kans, die
verfijnd wordt obv nieuwe informatie
Doorsnede van gebeurtenissen = impliceert dat beide gebeurtenissen (A en
B) tegelijk voorkomen ➜ Notatie: A ⋂ B
2
,Disjuncte gebeurtenissen = Gebeurtenissen die geen enkele uitkomst
gemeenschappelijk hebben (sluiten elkaar uit, komen niet tegelijk voor)
➔ Gebeurtenis A en complement Ac per definitie disjunct
Unie van gebeurtenissen = Kans dat gebeurtenis A, gebeurtenis B of beide tegelijk
voorkomen ➜ Notatie: P (A U B)
P (A U B) =
16/52
2.Rekenregels voor kansen
3 basisregels:
1. Complementregel
Complement ve gebeurtenis A = alle uitkomsten in uitkomstenruimte die niet tot A
behoren ➜ Notatie: Ac
Uit P(A) + P(Ac) = 1 volgt dat P(Ac) = 1 – P(A)
2. Somregel
= Kans op unie van gebeurtenis A en B
3
, Bij disjuncte gebeurtenissen is P(A ⋂ B) = 0, dus …
3. Productregel
= Kans dat gebeurtenis A én gebeurtenis B voorkomen, op voorwaarde dat deze
onafhankelijk zijn (dus uitkomst 1ste observaties is onafhankelijk vd uitkomst van 2de
observatie) is gelijk aan het product vd kans op A en de kans op B
4
