H1: Algebra
1.1 Reële getallen
De optelling en de vermenigvuldiging van reële getallen zijn commutatief:
ab ba
De optelling en de vermenigvuldiging van reële getallen zijn associatief:
a (b c) (a b) c
Het getal 0 is het neutraal element voor de optelling: a 0 a 0 a
Het getal 1 is het neutraal element voor de vermenigvuldiging: a.1 a 1.a
0 als opslorpend element voor de vermenigvuldiging:
a.0 0 0.a
a.b 0 a 0 en/of b 0
Voor een reëel getal a is het reëel getal -a het tegengesteld element van a (of
het symmetrisch element van a voor de optelling), d.w.z. dat
a (a) 0 (a) a
Voor een niet-nul reëel getal a is het reëel getal a 1 het invers element van a
(of het symmetrisch element van a voor de vermenigvuldiging), d.w.z. dat
a.a 1 1 a 1.a
Twee reële getallen a en b heten tegengesteld als a = -b. het invers element a 1
1
van een niet-nul reëel getal a noteren we ook als
a
Distributiviteit van vermenigvuldiging t.o.v. optelling: a (b c) ab ac
a
Het is heel belangrijk te onthouden dat slechts zin heeft als b een niet-nul
b
reëel getal is
Prioriteitsregels:
(haakjes)
Eerst vermenigvuldigen en delen van links naar rechts
Vervolgens optellen en aftrekken van links naar rechts
Eigenschappen van symmetrische elementen:
(a) a
( a )b a (b) (ab)
( a )(b) ab
(1)a a
a a a
(als b 0 )
b b b
Bewerkingen met breuken:
a c
Gelijkheid van breuken: ad bc
b d
ka a ka kb a b
Vereenvoudigen van breuken: en
kb b kc c
a c ac
Vermenigvuldigen van breuken:
b d bd
a c ad
Delen van breuken: :
b d bc
DigitalUberPhoenix Wiskundige basisvaardigheden 1
, a c ad bc
Optellen van breuken:
b d bd
a c ac
Optellen van breuken met gelijke noemer:
b b b
Deelverzamelingen van de reële getallen:
De verzameling 0,1,2,3,4,... van de natuurlijke getallen
De verzameling {..., 3,2,1,0,1,2,3,...} van de gehele getallen
m
De verzameling Q { m Z , n Z , n 0} van de rationele getallen
n
De verzameling R\Q van de irrationele getallen, dit zijn alle reële getallen
die niet rationeel zijn
Decimale ontwikkeling
Een rij n0 , n1 , n2 , n3 , n4 ,... (met n0 N en alle getallen n1 , n2 ,... gelijk aan
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 of 9) heet een decimale ontwikkeling van een reëel
getal x indien x n0 n1.10 1 n2 .10 2 n3 .10 3 n4 .10 4 ...
We noteren n0 , n1n2 n3 n4 ...
Voorbeeld:
5/8 = 0.625 = 0 6.10 1 2.10 2 5.10 3
Deelbaarheid: voor een geheel getal m en een niet-nul geheel getal n zeggen we
dat m deelbaar is door n indien een geheel getal k bestaat zodat m kn en we
noteren dit als n|m. In dat geval zeggen we dat n een deler is van m en dat m
een veelvoud is van n.
Eigenschappen van deelbaarheid:
Als n een deler is van m, dan is ook -n een deler van m
Als n een deler is van m, dan is n ook een deler van -m
1 en -1 zijn delers van elk geheel getal
Elk niet-nul geheel getal is een deler van 0
0 is nooit een deler van een geheel getal
Elk niet-nul geheel getal is een deler van zichzelf
Het kleinste gemene veelvoud (afgekort k.g.v.) van twee gehele getallen m en n
is het kleinste natuurlijk getal dat een veelvoud is van beide getallen; we
noteren kgv(m, n)
DigitalUberPhoenix Wiskundige basisvaardigheden 2
, De grootste gemene deler (afgekort g.g.d.) van twee gehele getallen m en n is
het grootste natuurlijk getal dat een deler is van beide getallen; we noteren
ggd (m, n)
Euclidische deling:
Indien D een geheel getal is en d een niet-nul geheel getal, dan bestaat er
juist een geheel getal q en juist een geheel getal r met 0 r d zodat
D r
D d .q r of q
d d
Het unieke getal q wordt het quotiënt genoemd en het unieke getal r wordt
d rest genoemd bij deling van D door d
Een priemgetal is een natuurlijk getal dat verschillend is van 0 en 1 en dat buiten
1 en zichzelf geen positieve delers heeft
Hoofdstelling van de rekenkunde:
elk natuurlijk getal n > 1 kan op unieke wijze geschreven worden in de vorm
n n n
n p1 1 . p2 2 ..... pk k waarbij p1 ,..., pk verschillende priemgetallen zijn en
n1 ,..., nk niet-nulle natuurlijke getallen. De getallen p1 ,..., pk noemen we
de priemfactoren van n
Voorbeeld:
300 2
126 2
150 2
63 3
75 3
21 3
25 5
7 7
5 5
1
1
126 2.32.7
300 2 2.3.52
126 21 32 50 71
300 2 2 31 52 7 0
voor het kgv vermenigvuldigen we de delers met hun grootste exponent :
kgv (126,300) 2 2.32.52.7 6300
voor het ggd vermenigvuldigen we de delers met hun kleinste exponent :
ggd (126,300) 2.3 6
DigitalUberPhoenix Wiskundige basisvaardigheden 3
, 1.2 Orde op reële getallen
R : positieve reële getallen (incl. 0)
R : negatieve reële getallen (incl. 0)
R0 : strikt positieve reële getallen (excl. 0)
R0 : strikt negatieve reële getallen (excl. 0)
a b a is strikt groter dan b
a b a is strikt kleiner dan b
a b a is groter dan of gelijk aan b
a b a is kleiner dan of gelijk aan b
Eigenschappen van de orde op R
a R : a a ( is reflexief)
a, b, c R : (a b en b c) a c ( is transitief)
a, b R : (a b en b a ) a b ( is antisymmetrisch)
Totale orde: a, b R : a b of b a
Verbanden tussen orde en bewerkingen op R:
a, b, c, d R : a b en c d a c b d
a, b R geldt:
0 a en 0 b 0 ab
0 a en 0 b 0 ab
0 a en 0 b 0 ab
0 a en 0 b 0 ab
Behoud en omkering van orde:
a, b, c R : a b a c b c
a, b R, c R : a b ac bc
a, b R, c R : a b ac bc
Intervallen:
a, b x R; a x b gesloten interval
a, b x R; a x b open interval
a, b x R; a x b halfopen interval
a, b x R; a x b halfopen interval
a als a 0
Voor een reëel getal a is de absolute waarde van a: a
a als a 0
Voor reële getallen a en b is de afstand d(a,b) tussen a en b gelijk aan
d ( a, b) a b b a
DigitalUberPhoenix Wiskundige basisvaardigheden 4
