WISKUNDE MET (BEDRIJFS)ECONOMISCHE TOEPASSINGEN 2021-
2022 DEFINITIES SEMESTER 1
1.2.2. SOMNOTATIE
Somnotatie Gegeven de waarden x i ∈ R , voor i∈ N 0.
Voor n ∈ N 0 geldt
n
∑ x i=x 1 + x 2+ ⋯+ xn
i=1
Gegeven de waarden x ij ∈ R , voor i , j∈ N 0.
Voor n , m∈ N 0 geldt
n n
∑ ∑ xij=x 11+ x12 +… + x 1 m
i=1 j=1
+ x 21+ x 22 +…+ x 2 m
+…+ xn 1 + x n 2+ …+ x nm
We noemen i en j een sommatie-index.
1.2.3. BINOMIUM NEWTON
Faculteiten Voor n ∈ N geldt n !=n ∙ ( n−1 ) ∙… ∙ 2∙ 1 voor n ≠ 0
0 !=1
Combinaties
Voor n , k ∈ N met k ≤ n geldt
n
= () n!
k k ! ( n−k ) !
1.4 MATRICES
Matrix Een matrix van orde m× n (m , n∈ N 0 ) is een blok waarden met m rijen en
n kolommen:
( )
a11 a 12 ⋯ a1 n
A=( a ¿ ¿ ij)i=1 , …, m ; j=1 , …, n= a21 a 22 ⋯ a2 n ¿
a31 a 32 ⋯ a33
Speciale matrices Een vierkante matrix heeft evenveel rijen als kolommen. De orde is m× n ¿):
Een kolom-matrix is een matrix met orde m ×1 (m∈ N 0)
()
a1
a= a2
am
Een rij-matrix is een matrix met orde 1 ×m ( m∈ N 0 ) :
'
a = ( a 1 a 2 ⋯ am )
1.4.2. BEWERKINGEN
Gelijkheid Twee matrices van dezelfde orde zijn gelijk als alle overeenkomstige
elementen aan elkaar gelijk zijn: A=B ⇔ ∀ i , ∀ j :a ij =bij
Product van een Een matrix vermenigvuldigen met een (reëel) getal betekent dat je elk
matrix met een element van een matrix met dat getal vermenigvuldigt:
getal k ∙ A=C ⇔ ∀i , ∀ j : cij =k ∙ a ij
Transponeren De getransponeerde matrix van een matrix van orde m× n is en matrix van
orde n × m die bestaat uit de elementen van de oorspronkelijke matrix
waarbij rijen en kolommen werden omgewisseld.
Notatie: A ' of AT
,Som en verschil van Twee matrices van dezelfde orde kunnen bij elkaar opgeteld (resp. van
twee matrices elkaar afgetrokken) worden door alle overeenkomstige elementen bij elkaar
op te tellen (resp. af te trekken); A ± B=C ⇔ ∀i , ∀ j : aij ±b ij =c ij
Product van twee Een matrix van orde m× k en een matrix van orde k × n kunnen met elkaar
matrices vermenigvuldigd worden als volgt:
k
A ∙ B=C ⇔ ∀i , ∀ j : c ij =∑ a il ∙ bl j
l=1
De matrix C heeft orde m× n. Het element c ij vind je door de i -de rij van de
matrix A te vermenigvuldigen met de j -de kolom van de matrix B.
Symmetrische Een symmetrische matrix is een vierkante matrix die gelijk is aan zijn
matrices getransponeerde, of A=A '
De driehoek boven en onder de hoofddiagonaal zijn elkaars spiegelbeeld.
1.5.1. KAPITALISATIE EN ACTUALISATIE
Kapitalisatie Wanneer je een startkapitaal A gedurende n jaar belegt aan een jaarlijkse
interestvoet r , dan kan het eindbedrag na n jaar berekend worden als
S= A ∙ ( 1+r )2
Dit bedrag noemt men het gekapitaliseerde bedrag of de slotwaarde of
eindwaarde. Men gebruikt meestal de notatie u=1+ r voor de
kapitalisatiefactor.
Actualisatie Om na een belegging gedurende n jaar aan een jaarlijkse interestvoet r een
eindbedrag S te bereiken, moet gestart worden met een kapitaal gelijk aan
−n
A=S ∙ ( 1+r )
Dit bedrag noemt men het geactualiseerde bedrag of de aanvangswaarde of
1 1
beginwaarde. Men gebruikt meestal de notatie v= = voor de
1+ r u
actualisatiefactor.
2.1 FUNCTIES KERNBEGRIPPEN
Functie Een reële functie f is een voorschrift dat aan elk element van een
verzameling A ⊂ R (domein of definitiegebied) een element van een
verzameling B⊂ R (bereik of beeldgebied) toekent.
Notatie: f : A → B : x ↦ f ( x)
of f : R → R : x ⟼ f (x )
2.1.2. ALGEMENE EIGENSCHAPPEN
Even – oneven Een reële functie f : R → R : x ⟼ f ( x ) is een even functie, indien voor elke
waarde x uit het domein geldt: f ( x )=f (−x )
De grafiek van de functie is symmetrisch ten opzichte van de Y −as.
Een reële functie f : R → R : x ⟼ f ( x ) is een oneven functie, indien voor
elke waarde x uit het domein geldt: f ( x )=−f (−x)
De grafiek van de functie is symmetrisch ten opzichte van de oorsprong.
Periodisch Een reële functie f : R → R : x ↦ f ( x) is een periodische functie met periode
p, indien p ∈ R+¿ ¿ de kleinste waarde is waarvoor voor elke waarde x uit
het domein geldt: f ( x + p )=f (x )
Samengestelde Een reële functie f : R → R : x ⟼ f ( x ) is een samenstelling van functies
functie g : R → R : x ⟼ g(x ) na h : R → R : x ⟼ h( x), of f =g ∘h ,
indien voor elke waarde van x geldt f ( x )=g (h ( x )).
Invers Een reële functie g : R → R : x ⟼ g(x ) is de inverse functie van
f : R → R : x ⟼ f (x ), indien voor elke waarde y uit het domein van f
, geldt: f ( y ) =x ⟺ g ( x )= y
Meestal noteert men de inverse functie als g=f −1 .
De beeldlijnen van de functies f en f −1 zijn gespiegeld ten opzichte van de
eerste bissectrice.
Stuksgewijs Een reële functie g : R → R : x ⟼ g(x ) is een stuksgewijs gedefinieerde
gedefinieerde functie indien het voorschrift verschilt voor verschillende delen van het
functie domein van de functie.
2.1.3. LINEAIRE FUNCTIES
Lineaire functie Een lineaire functie of affiene functie heeft voorschrift
f : R → R : x ⟼ f ( x )=mx+ q
Een lineaire functie wordt grafisch voorgesteld door een rechte.
De waarde m is de richtingscoëfficiënt of helling van de functie,
De waarde q bepaalt het snijpunt van de beeldlijn van de functie met de
Y −as
Absolute waarde De absolute waarde functie associeert met elk reëel getal zijn absolute
functie waarde:
|:| R → R : x ⟼|( x )|=|x|= −x
x { x< 0
x≥0
Grootste gehele De grootste gehele waarde functie associeert met elk reëel getal het
waarde functie grootste gehele getal dat niet groter is dan het beschouwde getal:
ggw : R→ R : x ⟼ ggw ( x ) =[ x ]=max { y ∈ Z : y ≤ x }
2.1.4. VEELTERMFUNCTIES
Veeltermfunctie Een veeltermfunctie van graad n heeft voorschrift
n n−1
f : R → R : x ⟼ f ( x )=a n x +an−1 x +…+ a1 x+ a0,
met n ∈ N en met a 0 , a 1 , … , an−1 , an ∈ R , an ≠ 0
Een veeltermfunctie heeft als domein de gehele reële as, en wordt grafisch
voorgesteld door een gladde éénwaardige kromme.
Parabool De vergelijking y− y 0=a ( x−x 0 ) ²
met x 0 , y 0 ∈ R 0 en a ∈ R 0, beschrijft een parabool.
De top van deze parabool heeft coördinaten ( x 0 , y 0 ).
De symmetrie-as is evenwijdig aan de Y −as en heeft vergelijking x=x 0.
De parabool heeft de holle zijde naar boven indien a> 0, naar beneden
indien a< 0.
2.1.5. RATIONALE FUNCTIES
Rationale functie Een rationale functie heeft voorschrift
an x n+ an−1 x n−1 +…+ a1 x +a 0
f : R → R : x ⟼ f ( x )=
bm x m+ bm−1 xm −1 +…+ b1 x +b 0
met n , m∈ N en met a 0 , a 1 , … , an , b0 , b1 , … ,b m ∈ R.
Het domein van een rationale functie is de reële as verminderd met de
waarden waarvoor de noemer nul wordt.
2.1.6. IRRATIONALE FUNCTIES
Irrationale functie Een irrationale functie heeft een voorschrift waarin een of meer
wortelvormen voorkomen. Het domein van een irrationale functie is
beperkt tot dat deel van de reële as waarvoor het argument onder de
wortel het juiste teken bevat.
2 2
Cirkel De impliciete vergelijking ( x−x 0 ) + ( y − y 0 ) =r ²
+¿ ¿
met x 0 , y 0 ∈ R en r ∈ R 0 beschrijft een cirkel.
