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Mathématiques - Dérivabilités €5,49
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Mathématiques - Dérivabilités
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  • Montpellier I (UMI)

Le document est un cours sur les fonctions et la dérivation en mathématiques. Il est organisé en deux grandes parties, chacune subdivisée en unités et sous-unités. La première partie, intitulée "Approche graphique et nombre dérivé", comprend trois sections. La première section est une...

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Voorbeeld 3 van de 17  pagina's

Document informatie

  • 1 maart 2023
  • 17
  • 2020/2021
  • Overig
  • Onbekend

Onderwerpen

  • rappel bac
  • mathématiques
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  • licence gestion
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  • statistiques
  • dérivé
  • fonction
  • fonction composée
  • variation
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  • propriétés
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Geschreven voor

  • Montpellier I (UMI)
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Voorbeeld van de inhoud

L1-SDG-Mathématiques 1 P. Loup - L. Bonifas




Module 2:
Dérivabilité

Table des matières

Unité 1 - Approche graphique et nombre dérivé ...................................................................... 2
I - Introduction ................................................................................................................................. 2
II - Approche graphique................................................................................................................... 3
III - Nombre dérivé ........................................................................................................................... 4
1 ) Définition............................................................................................................................................... 4
2 ) Interprétation graphique : équation d’une tangente ................................................................................. 5
3 ) Nombre dérivé à gauche, nombre dérivé à droite .................................................................................... 6
Unité 2 - Fonction dérivée......................................................................................................... 7
I - Dérivation sur un intervalle ........................................................................................................ 7
II - Dérivées des fonctions usuelles .................................................................................................. 7
III - Règles de dérivation .................................................................................................................. 8
1 ) Forme f+g .............................................................................................................................................. 8
2 ) Forme kf (k réel) .................................................................................................................................... 8
3 ) Forme f x g ............................................................................................................................................ 9
4 ) Forme f x f ............................................................................................................................................. 9
5 ) Forme 1/f ............................................................................................................................................. 10
6 ) Forme f/g ............................................................................................................................................. 10
7 ) Tableau récapitulatif des opérations sur les fonctions dérivables :......................................................... 11
8 ) Exemples de dérivation nécessitant l’utilisation de différentes opérations ............................................. 12
IV - Dérivée d’une fonction composée ........................................................................................... 13
V - Dérivées et variations ............................................................................................................... 14
VI - Recherche des extrema d’une fonction .................................................................................. 14
1 ) Définitions et propriétés ....................................................................................................................... 14
2 ) Exemple d’application.......................................................................................................................... 16




Page

,L1-SDG-Mathématiques 1 P. Loup - L. Bonifas




Module 2:
Dérivabilité

Unité 1 - Approche graphique et nombre dérivé

I - Introduction

Le « taux de variation » mesure la variation relative entre deux grandeurs, il peut représenter
par exemple un taux d'évolution entre deux dates.

Mathématiquement, c'est l'écart entre deux valeurs prises par une fonction rapporté à l'écart
qui existe entre leurs deux antécédents.

f ( x) − f (a)
taux de variation =
x−a

Donc, ici, a et x correspondent à deux abscisses.

Il est équivalent de raisonner directement avec l'écart entre a et x, qu'on appelle généralement
h , soit : h = x − a ce qui permet d’écrire : x = a + h


f ( a + h) − f ( a )
taux de variation =
h

Pourquoi évoquer ces notions ici ?

Parce que la définition de la dérivée en un point a , f  ( a ) ,fait intervenir le taux de
variation.

C'est la limite de celui-ci lorsque h tend vers zéro.


f ( a + h) − f ( a )
f '(a) = lim
h →0 h




Page

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II - Approche graphique

La dérivée est un outil mathématique qui permet de déterminer la pente d'une courbe.

Prenons une fonction f et un point a sur l'axe des abscisses et essayons de mesurer la pente de
la courbe au point M d'abscisse a.




Cette pente est égale à la pente de sa tangente au même point.


On sait calculer la pente c d'une droite qui passe par deux points A et B avec la formule :


yB − y A
c=
xB − xA

Mais ici nous n'avons qu'un point M.
Prenons donc un nombre h au hasard et plaçons sur la courbe le point N d'abscisse a+h.




Les points M et N ont pour coordonnées :

M (a, f (a))
N(a+ h, f (a+ h))

La droite (MN) a donc pour coefficient directeur :

f (a+ h) - f (a) f (a+ h) - f (a)
c= =
(a+ h) - a h




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