College aantekeningen

Intégrale de riemann

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Calcule d\'integralle (INTEGRALLE)

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Université Moulay Ismail

Introduction : L'intégrale de Riemann est l'un des concepts les plus importants de l'analyse mathématique. Développée par le mathématicien allemand Bernhard Riemann au milieu du XIXe siècle, cette théorie permet de calculer l'aire sous une courbe et d'analyser le comportement global d'une f...

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Type College aantekeningen
Docent(en) Zeglami
Bevat Intégrale de riemann

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Calcule d'integralle (INTEGRALLE)

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Chapitre 1

Intégrale de Riemann

Par Pr. Driss Zeglami

Dans ce chapitre, [a, b] désignera un segment de R (avec a < b) et toutes les fonctions considérées
seront à valeurs réelles.

1 Intégrale d'une fonction en escalier

1.1 Subdivisions d'un segment

Définition 1.1
Une subdivision du segment [a, b] est une suite
nie σ = (xi )0≤i≤n de points de [a, b] véri
ant

x0 = a < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b.

L'ensemble {a = xo , x1 , . . . , xn = b} est appelé le support de la subdivision σ .
Le nombre δ(σ) = max (xi+1 − xi ) s'appelle le pas de la subdivision σ .
0≤i≤n−1

Exemple
3
σ = (−1, 1, , 3, 4) est une subdivision de l'intervalle [−1, 4] dont le pas est égal à 2 :
2

Définition 1.2
Une subdivision σ = (xi )0≤i≤n de [a, b] est dite régulière (ou uniforme) si la diérence xi+1 − xi
est constante pour tout i ∈ {0, 1, . . . , n − 1}.

1

,2 Intégrale de Riemann

Cela revient à découper le segment [a, b] en n sous-intervalles de même longueur. Ainsi, pour n

xé, il n'y a en fait qu'une seule subdivision régulière possible. On peut parler donc de la subdivision
régulière d'ordre n de [a, b]. Elle est donnée par

i
xi = a + (b − a) pour tout i ∈ {0, 1, . . . , n},
n
et son pas est égal à n .
b−a

Exemple
1 3 11
σ = (−1, , , , 4) est la subdivision régulière d'ordre 4 de l'intervalle [−1, 4] :
4 2 4

Définition 1.3
Soient σ et σ 0 deux subdivisions de [a, b]. On dit que σ est plus
ne que σ 0 si le support de σ contient
celui de σ 0 .

Exemples 1. σ = (0, 31 , 21 , 23 , 1) et σ 0 = (0, 12 , 1) sont deux subdivisions de [0, 1] telles que σ
est plus
ne que σ 0 .
2. σ = (0, 31 , 1) et σ 0 = (0, 23 , 1) sont deux autres subdivisions de [0, 1] et aucune des deux
subdivisions n'est plus
ne que l'autre.

Soient σ et σ 0 deux subdivisions de [a, b]. Il existe une subdivision de [a, b] notée σ ∪ σ 0 dont le
support est la réunion de ceux de σ et σ 0 : on réunit les deux supports, puis on élimine les doublons
et en
n on classe les réels obtenus dans l'ordre croissant.
Par exemple, si σ = (0, 31 , 21 , 1) et σ 0 = (0, 14 , 12 , 23 , 1), alors σ ∪ σ 0 = (0, 14 , 13 , 12 , 23 , 1).

Lemme 1.1
Si σ et σ 0 sont deux subdivisions de [a, b], alors la subdivision σ ∪ σ 0 est plus
ne que σ et σ 0 .

1.2 Fonctions en escalier

Définition 1.4
Soit f une fonction dé
nie sur [a, b]. On dit que f est en escalier sur [a, b] s'il existe une subdivision
σ = (xi )0≤i≤n de [a, b] telle que f soit constante sur chaque intervalle ]xi , xi+1 [, où i ∈ {0, 1, 2, . . . , n−
1}. Une telle subdivision σ est dite adaptée (ou associée) à f .
On désignera par E([a, b]) l'ensemble des fonctions en escalier sur [a, b] à valeurs dans R.

, 1. Intégrale d'une fonction en escalier 3

Ainsi, si f est une fonction en escalier sur [a, b] et si σ = (xi )0≤i≤n est une subdivision adaptée
à f , il existe des constantes réelles λi , i ∈ {0, 1, 2, . . . , n − 1}, telles que
∀t ∈ ]xi , xi+1 [ , f (t) = λi .

La
gure ci-dessous représente une fonction en escalier f sur le segment [a, b].

Exemples 1. Toute fonction constante sur [a, b] est en escalier sur [a, b].
2. La fonction f : [0, 2] → R dé
nie par :

 1 si 0 ≤ t < 1


f (t) = −1 si t = 1
2 si 1 < t ≤ 2


est en escalier sur [0, 2]. Pour le voir, il su
t de remarquer que la subdivision (0, 1, 2) est
adaptée à f .
3. La fonction partie entière est en escalier sur tout segment de R.

Remarques 1.1 1. Si f ∈ E([a, b]) alors f est bornée sur [a, b]. En eet, f ne prend qu'un
nombre
ni de valeurs (au plus 2n + 1 valeurs).
2. Si σ est une subdivision adaptée à f , alors toute subdivision plus
ne que σ est également
adaptée à f .

Propriétés 1.1
Soient f, g ∈ E([a, b]) et α, β ∈ R. Alors
1. la fonction |f | est en escalier sur [a, b].
2. les fonctions αf + βg et f g sont en escalier sur [a, b].
f
3. si g ne s'annule pas sur [a, b], la fonction est en escalier sur [a, b].
g

Démonstration. Il est clair que la fonction |f | est en escalier sur [a, b].
Soient maintenant σ et σ 0 deux subdivisions de [a, b] adaptées respectivement à f et g . Comme la
subdivision σ ∪ σ 0 est plus
ne que σ et σ 0 donc elle est adaptée en même temps aux deux fonctions
f et g . Ainsi, si on note σ ∪ σ 0 = (xi )0≤i≤n , les fonctions f et g sont constantes sur chacun des
intervalles ]xi , xi+1 [, i ∈ {0, 1, 2, . . . , n − 1}, et par conséquent il en est de même pour les fonctions
f
αf + βg , f g et . Ce qui achève la preuve.
g

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