Samenvatting Kennisbasis Rekenonderwijs | Verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen
14 keer bekeken 1 keer verkocht
Vak
Rekenkundige ontwikkeling bij kinderen
Instelling
Hogeschool Viaa (Viaa)
Volledige en uitgebreide samenvatting van het boek 'Verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen - Reken- en wiskundedidactiek. 5378. Dit vak heb ik behaald met een 9. Ook goed te gebruiken als voorbereiding op de kennisbasis toets rekenonderwijs
Verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen
Hoofdstuk 1 | Samenhang verhoudingen, procenten, breuken
en kommagetallen
§ 1.1 | Verhoudingen zijn de basis
- Veel met elkaar te maken: ze zien er verschillend uit, maar je kunt er hetzelfde
mee tot uitdrukking brengen. En je kunt bijvoorbeeld breuken als kommagetallen
schrijven.
Overeenkomsten en verschillen
Overeenkomsten: je kunt bij ieder domein een relatief aspect beschouwen,
kommagetallen zijn decimale breuken en breuken en procenten kunnen allebei een
verhouding aangeven. Verschillen: eigen gebruik en verschijningsvorm van de realiteit.
Bij notatie van geldbedragen: kommagetallen en geen breuken. In het dagelijks leven
gebruiken we verhoudingen, breuken en procenten door elkaar. Bijvoorbeeld
getalsmatige informatie bij een artikel.
Absoluut en relatief
Absolute gegevens zijn getallen die naar daadwerkelijke hoeveelheden of aantallen
verwijzen. Relatieve gegevens over hoeveelheden of aantallen zijn verhoudingsmatige
gegeven waar je niet het daadwerkelijke getal of aantal aan kunt aflezen. Voor de zich
ontwikkelende gecijferdheid van kinderen is het onderscheid tussen absoluut en
relatief van groot belang. Zonder dit begrip kun je veel informatie niet goed begrijpen.
Belang om absolute en relatieve gegevens nadrukkelijk van elkaar te onderscheiden en
in verband te brengen. Bijvoorbeeld met het strookmodel. De strook maakt zichtbaar
hoe je in verschillende relatieve gegevens met elkaar kunt vergelijken. Om te voorkomen
dat kinderen getallen en percentages door elkaar halen, is het (vooral in het begin van
het leerproces) verstandig de getallen benoemd te noteren.
§ 1.2 | Onderlinge relaties
In de loop van groep 7 en 8 leren kinderen ook de domeinen door elkaar te gebruiken.
Belangrijk om bewust aandacht te besteden aan betekenisverlening.
Begrip
Om kinderen greep te laten krijgen op de betekenissen van verhoudingen, procenten en
gebroken getallen, besteden reken-wiskundemethodes aandacht aan de verschillende
verschijningsvormen ervan. Leren dat de domeinen in de realiteit door elkaar
voorkomen. Daarnaast leren kinderen de betekenis van bewerkingen met verhoudingen
te doorzien. Zodoende kunnen kinderen ook onderlinge relaties beredeneren, waardoor
ze deze niet allemaal afzonderlijk leren. Ook al hebben kinderen goed zicht op
betekenissen en verschijningsvormen blijft het helpen om onderlinge relaties te
visualiseren.
- Breuken en kommagetallen: kennen zowel overeenkomsten als verschillen. In
betekenis komen ze met elkaar overeen. Notatie verschilt echter: kommagetallen
lijken op hele getallen en niet op breuken. Wiskundig gezien zijn het hele getallen,
kommagetallen en breuken allemaal rationele getallen met verschillende
notatiewijzen. Qua verschijningsvorm in de realiteit is de opvallendste
overeenkomst dat je zowel breuken als kommagetallen tegenkomt als
meetgetallen. Verschillen zijn dat breuken vaker voorkomen als deel van een
geheel en deel van een hoeveelheid. Kommagetallen bijna nooit. Alle breuken
kunnen worden genoteerd als kommagetallen. Kinderen halen bij voldoende
onbegrip dit door elkaar: 1/5 is hetzelfde als 0,5. Gebruikmaken van
, verschijningsvorm meetgetal (bijvoorbeeld met geld). Moeilijkheid hierbij:
rekengetal 0,1 = 0,10. Is niet vanzelfsprekend voor het kind. Nullen toevoegen kan
dan wel, maar bij 0,01 niet. Gebruik van ondermaten om dat inzichtelijk te
maken.
- Breuk naar kommagetal: 1/7 als kommagetal breuk opvatten als een deling;
uitkomst van de deling heeft bijzonder uiterlijk. Aantal zevens in 10? Vanaf hier
gaat het zich herhalen. Breuk 1/7 heet een repeterende breuk en de sliert
142857 heet het repentendum.
- Kommagetal naar breuk: wel ingewikkelder. Als de breuk niet repeteert is het
eenvoudig. 3,152 = 1/10 + 5/100 + 2/1000 = 3 152/1000 = 3 19/125.
Vereenvoudigen tienvoudige breuk. Bij repeterende breuk: vermenigvuldigen van
het gezochte getal net zo vaak met 10 als het repentendum lang is. Trek je van de
uitkomst de gezochte breuk af, dan verdwijnen de decimalen. Overblijft is 999999
(=1000000-1) het gezichte getal met als uitkomst 461538. Breuk is dan
461538/999999 = 6/13.
- Breuken en procenten: een breuk kan zowel een absoluut getal als een operator
(relatief) zijn. Breuk als absoluut getal kun je weergeven als een punt op de
getallenlijn. Operator doet iets met het getal (hoeveelheid of prijs). Procenten
geven altijd een relatief gegeven aan, en is dus altijd een operator. Daarom ook
voorzichtig zijn met het plaatsen van percentages op de getallenlijn tussen 0 en 1:
alsof het gebroken getallen zijn. De strook is dan geschikter: ook absolute
gegevens plaatsen.
Weetjes
Allerlei relaties moeten uiteindelijk in de vorm van declaratieve kennis beschikbaar
zijn: feitenkennis. Moeten snel beschikbaar zijn, zodat kinderen het flexibel kunnen
toepassen. Sommige weetjes zijn aanwezig door informele voorkennis. In de bovenbouw
moet die kennis van onderlinge relaties worden uitgebreid. Eerst
modelondersteunend, en daarna op formeel niveau.
Hoofdstuk 2 | Verhoudingen
§ 2.1 | Verhoudingen zijn overal
We komen dagelijks in aanraking met verhoudingen. Het gaat vaak om
verhoudingsgewijs redeneren. In het dagelijks leven doe je dit, onbewust, veel.
Evenredige verbanden
Verhouding is een recht evenredig verband tussen twee of meer getalsmatige of
meetkundige beschrijvingen. Evenredig verband betekent dat als het ene getal zoveel
keer zo groot (of klein) wordt, het andere getal(len) ook zoveel keer zo groot (of klein)
worden. Bijvoorbeeld welk merk in verhouding het goedkoopst is. Je kijkt niet naar de
absolute prijs, maar naar de prijs en naar bepaalde, vergelijkbare eenheid. Verhouding
tussen prijs en gewicht: slager. Bij meer vlees stijgt de prijs naar rato (naar
verhouding). Veel verhoudingen hebben betrekking op grootheden, zoals lengte,
gewicht en inhoud. Verhoudingen maken het mogelijk zaken met elkaar te vergelijken.
Andere verschijningsvormen van verhoudingen zijn bijvoorbeeld sterkte van
koffie/alcohol of recepten (van 4 naar 6 personen), snelheid, bevolkingsdichtheid.
Snelheid en dichtheid zijn samengestelde grootheden. Km/u is samengesteld uit
grootheid lengte met de maateenheid kilometer en de grootheid tijd met de maat uur.
Andere verhouding is schaal: plattegronden, schaalmodellen of speelgoed. Bij een
formele schaalnotatie noteren we beide getallen in dezelfde maateenheid. Bij veel
getalsmatige informatie, bijvoorbeeld uit de media, gaat het om verhoudingen, ook al
wordt het soms in percentage of breuk uitgedrukt. Percentage is een
gestandaardiseerde verhouding (totaal is 100). Bij niet-gestandaardiseerde verhoudingen
kan het totaal van alles zijn (2 op de 7). Zijn lastiger te vergelijken dan procenten.
, Letterlijk en figuurlijk in verhouding te zien. Wanverhoudingen worden vaak gebruikt
om informatie over te brengen (politiek, reclame of kunst).
- Kwalitatieve en kwantitatieve verhoudingen: kwantitatieve verhoudingen: de
verhouding wordt uitgedrukt in een of meer getallen. Kwalitatieve
verhoudingen: geen getal; de schoenendoos is naar verhouding groot.
Kwalitatieve verhouding is vaak een meetkundig verband. Een meetkundige
verhouding is altijd kwalitatief. Zodra je er een getal aan toekent: kwantitatieve
verhouding.
- Interne en externe verhoudingen: verhouding kan betrekking hebben op
grootheden, maar ook op andere zaken waar een getal aan kan worden
toegekend. Interne verhoudingen: als een verhouding één grootheid of eenheid
betreft. Externe verhoudingen: twee verschillende grootheiden (afgelegde
afstand in een bepaalde tijd).
- Verhoudingsdeling en verdelingsdeling : verhoudingsdeling: interne verhouding
van het deel ten opzichte van het geheel. 12 snoepjes, hoeveel groepjes van 4 kun
je maken? Verdelingsdeling: de deler en het deeltal representeren iets anders. 3
kinderen verdelen 12 snoepjes. Bij verdelingsdeling kan het verhoudingsgewijs
denken een rol spelen.
- Lineair verband: verband tussen twee grootheden dat als grafie keen rechte lijn
heef. Gaat de grafiek door de oorsprong, dan is het een evenredig verband
verhouding. Bij het huren van een auto is er wel sprake van een evenredig
verband (verhouding), maar door startbedrag toe te voegen is er wel sprake van
een lineair verband, maar niet van een verhouding.
Niet evenredige verbanden
Niet-evenredige verbanden zijn geen verhouding. Goed verhoudingsgewijs
redeneren, maar hoeft niet te kloppen. Gaat hier om verbanden tussen lengte,
oppervlakte en inhoud. Als iets twee keer zo groot wordt, verdubbelt de lengte. Maar de
oppervlakte wordt in twee richtingen verdubbeld: dus wordt de oppervlakte 4 keer
vergroot. Bij een kubus is dit goed te zien. Cavalieri ontdekte al in de 17 e eeuw dat dit bij
andere ruimtelijke figuren net zo werkt. Taalgebruik: twee keer zo groot (twee keer zo
lang of oppervlakte twee keer zo groot) of drie keer meer (drie keer zo veel versus vier
keer zo veel [4 klopt]). Denk aan exponentiële, logaritmische, logistische of
wortelfuncties; niet-evenredige verbanden. Omgekeerd evenredige verbanden: hoe
sneller je rijdt, hoe minder tijd je nodig hebt. Break-even point: de kosten zijn gelijk
aan de winst: vanaf wanneer is het winstgevend?
Bijzondere verhoudingen
- Gulden snede: sinds 17e eeuw staat dit voor een schoonheidsideaal: de mooiste
verhouding die bestaat ‘goddelijke verhouding’. Kwam terug in architectuur en
kunst (Leonardo da Vinci), bloemen, planten en schelpen. Als je een lijnstuk in
tweeën verdeelt dat de verhouding van het kleinste deel ten opzichte van het
grootste deel dezelfde is als de verhouding van het grootste deel tot het hele
lijnstuk. Bij 1 meter: 38,2 en 61,8 cm. Of benadering van 0,618. Precieze
verhoudingsgetal: phi (oneindig aantal decimalen)
- Verhouding π: omtrek en diameter van cirkels hebben een vaste verhouding (+/-
22:7). Als je de omtrek van een cirkel deelt door de diameter, komt er altijd
hetzelfde getal uit. Wordt pi genoemd. Heeft oneindig aantal decimalen.
- Rij van Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8
Wiskundetaal bij verhoudingen
Verschillende zegswijzen met verhouding: naar verhouding, in verhouding, zij hebben
een verhouding in elkaar. Formele verhoudingentaal: 1 op de 4. Breuken kunnen een
verhouding aangeven: ¾ van de studenten is vrouw. Leren van de meer formele
wiskundetaal bij verhoudingen krijgt op de basisschool speciale aandacht. In de loop van
groep 3 en 4 komen getalsmatige verhoudingen (impliciet) voor het eerst aan de orde.
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
√ Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, Bancontact of creditcard voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper anne-185741. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €6,99. Je zit daarna nergens aan vast.
