Uitleg aan de hand van veel voorbeelden!
Onderwerpen die behandeld zijn:
- M/M/1 Models
- Flow Balance Equations
- Equilibrium Formulas
- M/M/1/c
- Modelling Arrival & Service Processes
- M/M/s
- Finite Source Models
Julian Klep
OR Models for Pre-Master IEM
Winston Ch. 1, 3, 9, 15, 16, 18, 20
LECTURE 12 – QUEING
M/M/1
𝜆 questions an hour
𝜇 answers can be provided an hour
𝜆 < 𝜇 → statistical equilibrium
Little’s Law Stable equilibrium
o 𝐿=𝜆⋅𝑊
o L = average number of X
present in queuing system
o 𝜆 = average number of
arrivals entering the system
o 𝑊 = average time a
customer spends in the
system
Due to steady state behavior
(equilibrium), the steady state
probability of I customers in the Dynamical / statistical equilibrium
system is denoted by 𝑃𝑖
GEOMETRIC SERIES PROOF OF THEOREM
If 𝜌 < 1 → Σ 𝜌 =1+𝜌+𝜌 +𝜌 +⋯ =( )
If 𝜌 < 1 → Σ 𝑗𝜌 = 𝜌 + 2𝜌 + 3𝜌 + ⋯ = ( )
Thus;
o ∑ 𝜌 = , the formula holds for all 𝜌 (due to l’Hôpital’s rule)
To proof theorem
o ∑ 𝑗𝜌 = ∑ 𝑗𝜌
o Σ 𝑗𝜌 = ∑ (𝑗 + 1)𝜌 − ∑ 𝜌
o Σ 𝑗𝜌 = ∑ 𝜌 − ∑ 𝜌 −1
o Σ 𝑗𝜌 = ∑ 𝜌 − ( )
+1
o ∑ 𝑗𝜌 = 𝜌∑ 𝜌 −( )
+1
( )
o Σ 𝑗𝜌 = ( )
−1−( )
+1
o Σ 𝑗𝜌 = ( )
49
, Julian Klep
OR Models for Pre-Master IEM
Winston Ch. 1, 3, 9, 15, 16, 18, 20
FLOW BALANCE EQUATIONS
State transition diagram:
o 𝜆𝑃 = average number of transitions per hour from state n to state n + 1
o 𝜇𝑃 = average number of transitions per hour from state n to state n – 1
Due to equilibrium, and successive substitution
o 𝜆𝑃 = 𝜇𝑃 → 𝑃 = 𝑃
𝑃 = 𝜌𝑃
o 𝜆𝑃 = 𝜇𝑃 → 𝑃 = 𝑃
𝑃 = 𝜌𝑃
Substituting P1
𝑃 = 𝜌 ⋅ (𝜌𝑃 )
𝑃 =𝜌 𝑃
o 𝜆𝑃 = 𝜇𝑃
𝜆𝜌 𝑃 = 𝜇𝑃
𝑃 =𝜌 𝑃
o Etc.
In general, we state
o (𝜆 + 𝜇)𝑃 = 𝜆𝑃 + 𝜇𝑃
𝑃 = 𝜌 𝑃 (𝑖 = 1, 2, … )
Sum of all probabilities should equal 1, using above formula we get
o 1=∑ 𝑃
o 1=𝑃 ⋅Σ 𝜌 → (Σ 𝜌 = , 𝑖𝑠 𝑡ℎ𝑒 𝑠𝑢𝑚 𝑜𝑓 𝑔𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑔𝑒 46)
o 1=
o 𝑃 = 1−𝜌
In general (Important)
o 𝑃 = 𝑃 ⋅ 𝜌 = (𝟏 − 𝒑)𝝆𝒊 (𝑖 = 0, 1, … )
Utilization 𝜌
o 𝝆 = 𝟏 − 𝑷𝟎
50
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
√ Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, Bancontact of creditcard voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper julian19. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €2,99. Je zit daarna nergens aan vast.
