Het is een uitgebreide samenvatting van de theorie van de cursus aangevuld met theorie uit de powerpointslides muv van het hoofdstuk limieten. De samenvatting is geschreven in volgorde waarin de hoofdstukken behandeld zijn tijdens de hoorcolleges.
Hoofdstuk 3: Vergelijkingen
3.2. Lineaire vergelijking
Lineaire vergelijking:
=vergelijking waarbij de onbekende voorkomt in de eerste graad
Vorm: ax + b = 0
−b
Één oplossing: x 1=
a
Algemene regels:
Zowel bij linker als rechterlid mag het zelfde getal worden
opgeteld/afgetrokken worden
Zowel bij linkerlid als rechterlid mag met hetzelfde getal worden
vermenigvuldigd of door hetzelfde getal gedeeld, uitgezonderd 0!
Het getal wijzigt van teken bij wisselen van lid bij optelling of
aftrekking en de bewerking verandert bij vermenigvuldiging en
deling
Indien het antwoord strijdig is voor elke 𝑥∈ℝ, dan wordt de
oplossingsverzameling gezien als ledig en genoteerd als volgt: 𝑉=∅
indien het antwoord geldig is voor elke 𝑥∈ℝ, dan wordt de
oplossingsverzameling genoteerd als volgt: 𝑉=ℝ
3.3. De vierkantsvergelijking of kwadratische
vergelijking
vierkantsvergelijking/ kwadratische vergelijking:
=vergelijking waarbij de term met de hoogste graad van de tweede graad
is
vorm: ax² + bx + c = 0
discriminant: D = b² - 4ac
Discriminant # oplossingen Oplossing(en)
D>0 2 oplossingen −b+ √ D
V={ ,
2a
−b−√ D
}
2a
D=0 1 dubbele oplossing −b
V={ }
2a
D<0 Geen oplossingen V=∅
basisregel:
√ x 2 = |x|
x kan dus zowel positief als negatief zijn
, Som- en product regel:
D > 0 en x 1 ≠ x 2
−b
Som: = x 1+ x2
a
c
Product: = x 1∗x 2
a
Ontbinden in factoren:
ax² + bx + c (x + x 1 ¿ (x + x 2 ¿
ax² - bx - c of ax² + bx (x - x 1 ¿ (x + x 2 ¿
-c
ax² - bx + c (x - x 1 ¿ (x - x 2 ¿
Merkwaardige producten:
(a + b)² a² + 2ab + b²
(a – b)² a² - 2ab + b²
(a + b)² (a – b)² a² - b²
(a + b)³ a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a – b)³ a³ - 3a²b + 3ab² - b³
(a + b)(a² - 2ab + a³ + b³
b²)
(a – b)(a² + 2ab – a³ - b³
b²)
(a + b + c)² a² + b² + c² + 2ab +
2bc + 2ac
3.4. Bikwadratische vergelijking
Bikwadratische vergelijking:
Vorm: a x 4 +b x 2 +c of a x 6 +b x 3+ c
Herleiden tot vierkantsvergelijking door substitutie: t = x²
3.5. Hogere-graadsvergelijkingen:
Hogere-graadsvergelijking:
Vorm V(x) = 0 met V(x) veelterm van graad 3 of hoger
Linkerlid ontbinden in factoren
Regel van Horner:
Verkorte wijze van euclidische staartdeling
Algemene methode: mogelijkst restterm
Volgens criterium deelbaarheid: geen restterm
Functie van hogere graad: T(x)
Deler: N(x) = x – a
Quotiënt veelterm: Q(x)
Restterm: R(x)
, Noteren: T(x) = (x – a) * Q(x) + R(x)
Indien restterm nul is, is a een nulpunt van de functie
3.6. Rationale vergelijkingen
Rationale vergelijking:
T 1 (x ) T 2 ( x )
Vorm: =
N 1 (x) N 2 ( x)
Bestaansvoorwaarde: N 2 ( x ) ≠ 0
Wegwerken noemers zodaning dat we hogere-graadsvergelijking
bekomen
3.7. Irrationale vergelijkingen
Irrationale vergelijking:
=vergelijking waarbij de onbekende onder een wortelteken staat
Wegwerken door bede leden tot een bepaalde macht te verheffen
Bij evenmachtswortel: bestaansvoorwaarde dat alles onder te wortel
groter dan of gelijk aan 0 moet zijn
√ n n
a=B { A=B als n oneven en A=B n en A ≥ 0 als n even
Soms kwadrateringsvoorwaarde: alles wat gelijk is aan een
vierkantswortel moet positief zijn
3.8. Eigenschappen ongelijkheden in één
onbekende
Eigenschap 1:
=worden beide leden van een ongelijkheid met eenzelfde positief getal
vermenigvuldigd of gedeeld wordt een ongelijkheid in de zelfde zin
bekomen
Eigenschap 2:
=worden beide leden van ongelijkheid met eenzelfde negatief getal
vermenigvuldigd wordt een ongelijkheid in tegengestelde zin bekomen
Eigenschap 3:
=wordt in beide leden van een ongelijkheid eenzelfde getal opgeteld of
afgetrokken, dan wordt een ongelijkheid in zelfde zin bekomen
Bijzondere gevallen:
Voordelen van het kopen van samenvattingen bij Stuvia op een rij:
√ Verzekerd van kwaliteit door reviews
Stuvia-klanten hebben meer dan 700.000 samenvattingen beoordeeld. Zo weet je zeker dat je de beste documenten koopt!
Snel en makkelijk kopen
Je betaalt supersnel en eenmalig met iDeal, Bancontact of creditcard voor de samenvatting. Zonder lidmaatschap.
Focus op de essentie
Samenvattingen worden geschreven voor en door anderen. Daarom zijn de samenvattingen altijd betrouwbaar en actueel. Zo kom je snel tot de kern!
Veelgestelde vragen
Wat krijg ik als ik dit document koop?
Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.
Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?
Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.
Van wie koop ik deze samenvatting?
Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper vertentencaitlin. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.
Zit ik meteen vast aan een abonnement?
Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor €7,16. Je zit daarna nergens aan vast.
