Wiskunde B
Inleiding
Principes van goed wiskundeonderwijs:
▪ Focus op inzichtelijk leren (realiteitsprincipe)
▪ Betekenisvolle situaties (motivatieprincipe)
▪ Wiskundige verwoording (activiteitsprincipe)
Koppelen aan de materialen, zelfde verwoording gebruiken bij elke stap CSA
▪ Concreet – schema – abstract (aanschouwelijkheidsprincipe)
▪ Handelingsniveau: materiaal, perceptueel, verbaal en mentaal (geleidelijkheidsprincipe)
▪ Inductief werken (differentiatieprincipe)
Vertrekken van wat de leerlingen kunnen, aantonen dat je een nieuw inzicht aanleert
<=> deductief werken (regel vertellen en oefeningen maken, geen logica zoeken)
▪ Automatiseren (herhalingsprincipe)
Maaltafels, volgorde van bewerkingen, basisbewerkingen van getallen tot 100, …
Vakdidactiek; getallenkennis
1. Natuurlijke getallen en negatieve getallen
1.1. !! Hint !! Het triple code model (boek p242)
Noteer een willekeurig getal in het Triple Code Model.
Woord
Achtenzestig
Hoeveelheid Symbool
Turven 68
MAB-materiaal 6T 8E
LXVIII
Hoeveelheid => woord (‘Hoeveel streepjes en blokjes zijn er?’)
Woord => symbool (‘Schrijf het getal achtenzestig op jullie whiteboardje’)
Symbool => hoeveelheid (‘Turf het getal 68 op jullie whiteboardje’)
1.2. Inzichtelijk leren: tiendelig talstelsel
Turven? Vroeger, voor het tiendelig talstelsel werden streepjes gebruikt om de hoeveelheden aan te duiden. Uiteindelijk
groepeerden ze de streepjes per 5 of 10. (De vondsten over turven was de eerste aanzet van het gebruik van getallen)
Kenmerken van tiendelig talstelsel:
▪ 10 cijfers (0 1 2 3 4 5 6 7 8 9)
▪ Groeperen per 10
▪ Met 10 cijfers kunnen we alle getallen maken
Het tiendelig talstelsel is een zuiver positiesysteem, werken met een fictief talstelsel is interessant om het inzicht
te verwerven in de posities.
In het 1ste leerjaar maken ze kennis met het talstelsel, zonder begrippen te gebruiken. Ze leren groeperen in
groepjes van 10. Geleidelijk aan wordt het concrete materiaal ontstaan van zijn werkelijkheidsgehalte en kom je
tot gestructureerd concreet materiaal (MAB).
!! Vanaf 10 zijn de blokjes aan elkaar en kunnen deze niet apart gemanipuleerd worden.
Pas wanneer de leerlingen tot 100 hebben geteld, breng je de positietabel aan.
=> 1ste leerjaar leert tot 20, 2de tot 100, 3de tot 1000, 4de tot 10 000 en de 3de graad tot 1 miljoen.
Breng dit aan met een betekenisvolle situatie: Een rijk persoon heeft veel goudstukken
en gaat elke dag naar de bank. Hij vraagt hoeveel goudstukken hij heeft. Het duurt zo
lang om al dat geld te tellen dat men de tel kwijt geraakt. Zou jij een slimme manier
kunnen bedenken om de bankbediende te helpen? (We maken stapeltjes van 10
goudstukken, zo 1 stapeltje verpakken we in een doosje) De eerste zet van een
positietabel is opgebouwd.
, Uiteindelijk bereid je uit naar links, de honderdtallen en duizendtallen. Tot hier is een verhaal altijd goed. Vanaf
1000 ga je enkel verder met de positietabel die je uitbreidt met de symbolen TD en HD en M)
Hoe kan je kinderen inzicht geven in het tiendelig talstelsel?
Je koppelt een verhaal aan de leerstof; betekenisvolle situatie. Ik wil alles kunnen tellen en direct weten hoeveel
ik heb. Als ik nu 10 munten neem en in een doosje steek, en zo heb ik 6 doosjes. Hoeveel muntjes heb ik dan?
Als ik 10 dozen heb, dan steek ik ze in een grote kist. Hoeveel munten zitten er dan in een grote kist?
Welke symbolen hanteert het ZILL-leerplan?
20 TE 6-7 jaar
100 HTE 7-8 jaar
1000 DHTE 8-9 jaar
100 000 HD TD 9-10 jaar
100 000 000 M 10-12 jaar
Kinderen hebben moeilijkheden met het vormen van woorden omdat we een andere volgorde hebben qua
uitspraak; zesennegentig => 69 of 96?
!! Het gebruik van getallenkaarten kan een ondersteuning bieden van schematisch materiaal naar abstract
materiaal
Abacus kan je niet gebruiken voor het aanleren voor het tiendelig talstelsel. Waarom?
Een abacus is geen concreet materiaal, er vergt een hoger inzicht (bij de tientallen kunnen ze nog niet tellen
zoals de eenheden, er is inzicht nodig om de tientallen te kunnen omzetten naar de eenheden)
!! Hint !! Wat is het allerbelangrijkste als je een honderdveld inzet? Wat wil je bereiken?
Voordeel => Compact systeem met rangen van 10, ondersteunende vakjes, steeds dezelfde volgorde van cijfers
Nadeel => de sprong van 10 naar 11 is ook maar een sprong van +1 maar lijkt groter, ‘zoek het getal dat 2T meer
is dan 37’ : meer dan maar we gaan naar beneden? Niet logisch! Startfout door bij het optellen of aftrekken bij
het verkeerde te starten (100-3=98)
Alternatieven? Getallenas met als voordeel dat de sprongen 1 blijven, de getallen staan naast elkaar (bij een
honderdveld kunnen de kinderen in de war zijn met de grootte van de sprongen)
!! Combinatie van beide: geef de kinderen een honderdveld die ze moeten verknippen in strookjes, die kunnen
ze dan open leggen tot een getallenas én kunnen het opbouwen van boven naar onder/onder naar boven
!! Variaties? Je kan een spiraal maken rond een cilinder waarbij elke sprong even groot is én omhoog gaat
1.3. Functies van getallen
Hoeveelheid (30 appels)
De vaardigheid classificatie ligt aan de basis: het aantal is belangrijk, hoeveel ervan zijn.
De leerling moet getalbegrip hebben én moet de getallen juist kunnen uitspreken.
Rangorde (3de verdieping)
Om het getal als rangorde te begrijpen, moet de leerling de telrij kunnen opzeggen (zowel opgaand als
terugtellend) in de juiste volgorde en moet hij synchroon kunnen tellen.
Tegelijkertijd gebruik je rangtelwoorden, een bepaald rangtelwoord verwijst het meeste naar getallen en
onbepaalde rangtelwoorden oefen je best ook.
Code (70: nummer van een bus)
De leerlingen worden van jongs af aan geconfronteerd met codes, deze functie herkennen leerlingen vlug.
Een code heeft niks te maken met een rangorde of hoeveelheid.
(Heb jij dat T-shirt in de winkel gevonden tussen NY75 en NY77?)
Maatgetal of verhouding (30 km/uur)
Het vormt geen probleem bij oudere leerlingen, het heeft geen zin om het aan te leren aan jongere leerlingen.
De leerlingen moeten voldoende breukbegrip hebben en vertrouwd zijn met het uitdrukken van een verhouding.
Om het maatgetal te vinden, is het handig om te vermelden dat het altijd bij een maateenheid staat.
De context bepaalt ALTIJD de functie van het getal:
, - Ik neem elke dag dus 13, mijn bus wordt morgen bus 27. Dat maakt voor mij niet veel uit, het traject blijft
hetzelfde. Busnummers zijn dus wisselbaar en is een code.
- Cafe 1 is een restaurant in Schotland, het is niet het eerste huis van de straat want het heeft huisnummer 75.
De 1 bij de Cafe is een code, terwijl het huisnummer een rangorde is.
Aangeboden werkvormen:
- Laat de leerlingen in hun omgeving kijken naar getallen. Neem foto’s, laat de kinderen een tekening maken en
bespreek het in de klas.
- Verpakkingen onderzoeken op alle functies. Bij elk getal vragen de leerlingen zich af welke functie dat getal
heeft. Ze duiden de getallen aan via de gemaakte legende met kleurtjes.
!! Er zijn 3 belangrijke aandachtspunten om deze leerinhoud onder de knie te krijgen:
1. Begripsvorming:
2. Regelmatig herhalen:
3. Betekenisvolle situaties en leerlingactiviteit:
1.4. Negatieve getallen
1.4.1. Link met wereldoriëntatie
Bij het verkennen van negatieve temperaturen kan gewerkt worden met weerkaarten, tabellen en grafieken
met temperaturen, … Het verband is nuttig om de werking van een thermometer, soorten thermometers en
verschillende temperatuurschalen te ontdekken.
=> Ze lenen zich uitstekend bij het uitvoeren van proefjes: Welke vloeistof bevriest na een tijd en bij welke
negatieve temperatuur?
1.4.2. Aanbrengt negatieve getallen: lezen en schrijven
Zoals bij natuurlijke getallen bestaan de eerste oefeningen op negatieve getallen uit het lezen en noteren.
Dat gebeurt steeds in contexten, speel in op de situaties die zinvol zijn voor je leerlingen.
Verwijs hierbij zo veel mogelijk naar de concrete betekenis en laat die verwoorden: -2°C betekent 2 graden
onder nul, verdieping -3 betekent de 3de verdieping onder de grond, …
Vervolgens komt de notatie: drie graden onder nul wordt -3°C. Hierna kan het gebruik van negatieve getallen
uitgebreid worden naar andere contexten.
!! Opgelet !!
- Betekenisvolle situatie
- Werk niet met concreet materiaal, het gaat over de verdeling van bv een thermometer
- Wel materieel EN perceptueel handelen
- Negatieve getallen kunnen NOOIT concreet zijn
Mogelijke betekenisvolle situaties:
Temperaturen in noordelijke landen – Verdiepingen in een lift – Verhoudingen met de zeespiegel
1.4.3. Vergelijken als vorm van interpreteren
De hoogste en laagste temperatuur aanduiden op een weerkaart is een vorm van interpreteren: hiermee
toon je aan dat de leerling begrijpt wat bedoeld wordt met die -8°C.
Hoe groter het getal, hoe meer verwijderd van nul, hoe kouder het is. Dat is verwarrend voor de leerlingen,
wanneer geen – voor het getal staat, gaat het over graden boven nul. Dan kijk je enkel naar het grootste
getal dat de warmste temperatuur aanduidt.
1.4.4. Ordenen
!! Dit kan een probleem opleveren, de ordening is omgekeerd in vergelijking met de ordening bij positieve
getallen. 3 is kleiner dan 5, dus -3 zal ook kleiner zijn dan -5. Deze misperceptie zal vlugger voorkomen
wanneer enkel getallen gebruikt worden zonder context.
Om het inzicht te bevorderen, is het belangrijk om te verwijzen naar de context. Hiervoor is de thermometer
ideaal. De ordening wordt vaak voorgesteld op een getallenas waarbij de negatieve getallen links worden
geplaatst. Om de getallenas te vormen, kan je je thermometer horizontaal leggen.
, 1.4.5. Verschil bepalen tussen 2 negatieve getallen
Je kunt de volgende richtvragen stellen:
▪ Hoeveel graden is het overdag? (2 graden)
▪ Hoeveel graden is het s’ nachts? (-3 graden)
▪ Wat is de warmste temperatuur? Hoe weet je dat? (2 graden want er staat geen – voor)
▪ Hoe groot is het verschil tussen deze 2 temperaturen? Kijk op de thermometer: van -3° naar 0° (3
graden), en van 0° naar 2° (2 graden). Samen is dat? (5 graden). Het is ’s nachts dus 5 graden kouder
dan overdag.
Je merkt dat het inzicht toeneemt wanneer je visueel blijft ondersteunen. Dankzij de geleidelijke opbouw en
de richtvragen, zien en horen de leerlingen jouw redenering. Alle leerlingen moeten de basisleerstof
beheersen, niet het geval? Laat extra basisoefeningen maken en houd de uitbreidingoefeningen bij de hand
voor de leerlingen die meer kunnen. (tempodifferentiatie)
1.4.6. Negatieve getallen oefenen in de klas
Weerkaarten bieden een gemotiveerde werkvorm met veel leerlingenactiviteit.
Zoek de hoogste/laagste temperatuur.
Zoek een plaats waar het kouder is dan -10°C, hoeveel kouder is dat?
Zoek een plaats waar het minstens 5 graden kouder is dan waar jij staat.
Je buur duidt een temperatuur aan, jij leest deze hardop voor
UITBREIDING:
Lees de temperatuur af in het Frans/Engels.
Ik wil verhuizen van land, wat trek ik aan als ik vertrek en welke kleren steek ik in mijn valies?
Ik wil op vakantie in een land waar het vriest: waar zal het koudst zijn?
Andere inspiratie: Liften in China/Japan hebben geen verdieping 4 omdat vier ‘dood’ betekent – In
Angelsaksische landen staat geen ‘-‘ in de lift, ze werken met G van groundfloor, B1 is below 1, …
1.4.7. Verwervingsstappen
STAP 1: Koppelen aan een betekenisvolle situatie en correcte verwoording/notatie
STAP 2: Vergelijken en bereken (negatieve-positieve getallen)
STAP 3: Negatieve getallen op een getallenas plaatsen (puur abstract)
Bv. van een thermometer naar een getallenas => verticaal naar horizontaal
Nadien kunnen de kinderen regelmatigheden gaan ontdekken (de sprongen en afstand zijn regelmatig)
!! Alleen wanneer je de getallen op een getallenas plaatst => NIET ALTIJD KANTELEN
Voorbeeld van inductief werken: ze gaan van een thermometer, bekend, naar een abstracte getallenas
1.5. Getallenverzameling
Alle getallen kunnen we ordenen in een getallenverzameling:
In de lagere school worden de begrippen ‘getallenverzameling’ en ‘rationale getallen’ … niet aangeleerd. Ze leren
wel over breuken en kommagetallen, niet de begrippen.
Natuurlijke getallen (N) Gehele getallen (Z)
Aantallen die je effectief kunt aanraken en tellen. De negatieve getallen zijn de natuurlijke getallen met
een negatief toestandsteken. Samen met de
De leerling bereidt zijn getalbegrip uit naar 10, dat is
natuurlijke getallen vormen ze de gehele getallen.
de aanzet tot het inzicht in ons 10delig talstelsel. Door
te groeperen weten ze de plaats van de cijfers in het Negatieve getallen worden enkel in zinvolle situaties
getal de waarde bepaalt. gebruikt, nooit abstract. Het minteken moet juist
geïnterpreteerd worden naargelang de context.
De koppeling tussen de verwoording, de voorstelling
en het cijfer is een oefening. Volgende stappen:
11 en 12 zijn speciaal omdat je de structuur niet kan - Vergelijken
afleiden van het woord zelf. - Berekenen
!! Werken met getal-kaarten kan helpen! Wanneer negatieve en positieve getallen
(oorspronkelijk van Montessorionderwijs) samenkomen, wordt het abstracter. Je kunt negatieve
getallen ordenen op een getallenas. Je ontdoet ze van
hun betekenisvolle situatie en behandelt ze als getal.
Rationale getallen (Q) Reële getallen (R)
Inleiding
Principes van goed wiskundeonderwijs:
▪ Focus op inzichtelijk leren (realiteitsprincipe)
▪ Betekenisvolle situaties (motivatieprincipe)
▪ Wiskundige verwoording (activiteitsprincipe)
Koppelen aan de materialen, zelfde verwoording gebruiken bij elke stap CSA
▪ Concreet – schema – abstract (aanschouwelijkheidsprincipe)
▪ Handelingsniveau: materiaal, perceptueel, verbaal en mentaal (geleidelijkheidsprincipe)
▪ Inductief werken (differentiatieprincipe)
Vertrekken van wat de leerlingen kunnen, aantonen dat je een nieuw inzicht aanleert
<=> deductief werken (regel vertellen en oefeningen maken, geen logica zoeken)
▪ Automatiseren (herhalingsprincipe)
Maaltafels, volgorde van bewerkingen, basisbewerkingen van getallen tot 100, …
Vakdidactiek; getallenkennis
1. Natuurlijke getallen en negatieve getallen
1.1. !! Hint !! Het triple code model (boek p242)
Noteer een willekeurig getal in het Triple Code Model.
Woord
Achtenzestig
Hoeveelheid Symbool
Turven 68
MAB-materiaal 6T 8E
LXVIII
Hoeveelheid => woord (‘Hoeveel streepjes en blokjes zijn er?’)
Woord => symbool (‘Schrijf het getal achtenzestig op jullie whiteboardje’)
Symbool => hoeveelheid (‘Turf het getal 68 op jullie whiteboardje’)
1.2. Inzichtelijk leren: tiendelig talstelsel
Turven? Vroeger, voor het tiendelig talstelsel werden streepjes gebruikt om de hoeveelheden aan te duiden. Uiteindelijk
groepeerden ze de streepjes per 5 of 10. (De vondsten over turven was de eerste aanzet van het gebruik van getallen)
Kenmerken van tiendelig talstelsel:
▪ 10 cijfers (0 1 2 3 4 5 6 7 8 9)
▪ Groeperen per 10
▪ Met 10 cijfers kunnen we alle getallen maken
Het tiendelig talstelsel is een zuiver positiesysteem, werken met een fictief talstelsel is interessant om het inzicht
te verwerven in de posities.
In het 1ste leerjaar maken ze kennis met het talstelsel, zonder begrippen te gebruiken. Ze leren groeperen in
groepjes van 10. Geleidelijk aan wordt het concrete materiaal ontstaan van zijn werkelijkheidsgehalte en kom je
tot gestructureerd concreet materiaal (MAB).
!! Vanaf 10 zijn de blokjes aan elkaar en kunnen deze niet apart gemanipuleerd worden.
Pas wanneer de leerlingen tot 100 hebben geteld, breng je de positietabel aan.
=> 1ste leerjaar leert tot 20, 2de tot 100, 3de tot 1000, 4de tot 10 000 en de 3de graad tot 1 miljoen.
Breng dit aan met een betekenisvolle situatie: Een rijk persoon heeft veel goudstukken
en gaat elke dag naar de bank. Hij vraagt hoeveel goudstukken hij heeft. Het duurt zo
lang om al dat geld te tellen dat men de tel kwijt geraakt. Zou jij een slimme manier
kunnen bedenken om de bankbediende te helpen? (We maken stapeltjes van 10
goudstukken, zo 1 stapeltje verpakken we in een doosje) De eerste zet van een
positietabel is opgebouwd.
, Uiteindelijk bereid je uit naar links, de honderdtallen en duizendtallen. Tot hier is een verhaal altijd goed. Vanaf
1000 ga je enkel verder met de positietabel die je uitbreidt met de symbolen TD en HD en M)
Hoe kan je kinderen inzicht geven in het tiendelig talstelsel?
Je koppelt een verhaal aan de leerstof; betekenisvolle situatie. Ik wil alles kunnen tellen en direct weten hoeveel
ik heb. Als ik nu 10 munten neem en in een doosje steek, en zo heb ik 6 doosjes. Hoeveel muntjes heb ik dan?
Als ik 10 dozen heb, dan steek ik ze in een grote kist. Hoeveel munten zitten er dan in een grote kist?
Welke symbolen hanteert het ZILL-leerplan?
20 TE 6-7 jaar
100 HTE 7-8 jaar
1000 DHTE 8-9 jaar
100 000 HD TD 9-10 jaar
100 000 000 M 10-12 jaar
Kinderen hebben moeilijkheden met het vormen van woorden omdat we een andere volgorde hebben qua
uitspraak; zesennegentig => 69 of 96?
!! Het gebruik van getallenkaarten kan een ondersteuning bieden van schematisch materiaal naar abstract
materiaal
Abacus kan je niet gebruiken voor het aanleren voor het tiendelig talstelsel. Waarom?
Een abacus is geen concreet materiaal, er vergt een hoger inzicht (bij de tientallen kunnen ze nog niet tellen
zoals de eenheden, er is inzicht nodig om de tientallen te kunnen omzetten naar de eenheden)
!! Hint !! Wat is het allerbelangrijkste als je een honderdveld inzet? Wat wil je bereiken?
Voordeel => Compact systeem met rangen van 10, ondersteunende vakjes, steeds dezelfde volgorde van cijfers
Nadeel => de sprong van 10 naar 11 is ook maar een sprong van +1 maar lijkt groter, ‘zoek het getal dat 2T meer
is dan 37’ : meer dan maar we gaan naar beneden? Niet logisch! Startfout door bij het optellen of aftrekken bij
het verkeerde te starten (100-3=98)
Alternatieven? Getallenas met als voordeel dat de sprongen 1 blijven, de getallen staan naast elkaar (bij een
honderdveld kunnen de kinderen in de war zijn met de grootte van de sprongen)
!! Combinatie van beide: geef de kinderen een honderdveld die ze moeten verknippen in strookjes, die kunnen
ze dan open leggen tot een getallenas én kunnen het opbouwen van boven naar onder/onder naar boven
!! Variaties? Je kan een spiraal maken rond een cilinder waarbij elke sprong even groot is én omhoog gaat
1.3. Functies van getallen
Hoeveelheid (30 appels)
De vaardigheid classificatie ligt aan de basis: het aantal is belangrijk, hoeveel ervan zijn.
De leerling moet getalbegrip hebben én moet de getallen juist kunnen uitspreken.
Rangorde (3de verdieping)
Om het getal als rangorde te begrijpen, moet de leerling de telrij kunnen opzeggen (zowel opgaand als
terugtellend) in de juiste volgorde en moet hij synchroon kunnen tellen.
Tegelijkertijd gebruik je rangtelwoorden, een bepaald rangtelwoord verwijst het meeste naar getallen en
onbepaalde rangtelwoorden oefen je best ook.
Code (70: nummer van een bus)
De leerlingen worden van jongs af aan geconfronteerd met codes, deze functie herkennen leerlingen vlug.
Een code heeft niks te maken met een rangorde of hoeveelheid.
(Heb jij dat T-shirt in de winkel gevonden tussen NY75 en NY77?)
Maatgetal of verhouding (30 km/uur)
Het vormt geen probleem bij oudere leerlingen, het heeft geen zin om het aan te leren aan jongere leerlingen.
De leerlingen moeten voldoende breukbegrip hebben en vertrouwd zijn met het uitdrukken van een verhouding.
Om het maatgetal te vinden, is het handig om te vermelden dat het altijd bij een maateenheid staat.
De context bepaalt ALTIJD de functie van het getal:
, - Ik neem elke dag dus 13, mijn bus wordt morgen bus 27. Dat maakt voor mij niet veel uit, het traject blijft
hetzelfde. Busnummers zijn dus wisselbaar en is een code.
- Cafe 1 is een restaurant in Schotland, het is niet het eerste huis van de straat want het heeft huisnummer 75.
De 1 bij de Cafe is een code, terwijl het huisnummer een rangorde is.
Aangeboden werkvormen:
- Laat de leerlingen in hun omgeving kijken naar getallen. Neem foto’s, laat de kinderen een tekening maken en
bespreek het in de klas.
- Verpakkingen onderzoeken op alle functies. Bij elk getal vragen de leerlingen zich af welke functie dat getal
heeft. Ze duiden de getallen aan via de gemaakte legende met kleurtjes.
!! Er zijn 3 belangrijke aandachtspunten om deze leerinhoud onder de knie te krijgen:
1. Begripsvorming:
2. Regelmatig herhalen:
3. Betekenisvolle situaties en leerlingactiviteit:
1.4. Negatieve getallen
1.4.1. Link met wereldoriëntatie
Bij het verkennen van negatieve temperaturen kan gewerkt worden met weerkaarten, tabellen en grafieken
met temperaturen, … Het verband is nuttig om de werking van een thermometer, soorten thermometers en
verschillende temperatuurschalen te ontdekken.
=> Ze lenen zich uitstekend bij het uitvoeren van proefjes: Welke vloeistof bevriest na een tijd en bij welke
negatieve temperatuur?
1.4.2. Aanbrengt negatieve getallen: lezen en schrijven
Zoals bij natuurlijke getallen bestaan de eerste oefeningen op negatieve getallen uit het lezen en noteren.
Dat gebeurt steeds in contexten, speel in op de situaties die zinvol zijn voor je leerlingen.
Verwijs hierbij zo veel mogelijk naar de concrete betekenis en laat die verwoorden: -2°C betekent 2 graden
onder nul, verdieping -3 betekent de 3de verdieping onder de grond, …
Vervolgens komt de notatie: drie graden onder nul wordt -3°C. Hierna kan het gebruik van negatieve getallen
uitgebreid worden naar andere contexten.
!! Opgelet !!
- Betekenisvolle situatie
- Werk niet met concreet materiaal, het gaat over de verdeling van bv een thermometer
- Wel materieel EN perceptueel handelen
- Negatieve getallen kunnen NOOIT concreet zijn
Mogelijke betekenisvolle situaties:
Temperaturen in noordelijke landen – Verdiepingen in een lift – Verhoudingen met de zeespiegel
1.4.3. Vergelijken als vorm van interpreteren
De hoogste en laagste temperatuur aanduiden op een weerkaart is een vorm van interpreteren: hiermee
toon je aan dat de leerling begrijpt wat bedoeld wordt met die -8°C.
Hoe groter het getal, hoe meer verwijderd van nul, hoe kouder het is. Dat is verwarrend voor de leerlingen,
wanneer geen – voor het getal staat, gaat het over graden boven nul. Dan kijk je enkel naar het grootste
getal dat de warmste temperatuur aanduidt.
1.4.4. Ordenen
!! Dit kan een probleem opleveren, de ordening is omgekeerd in vergelijking met de ordening bij positieve
getallen. 3 is kleiner dan 5, dus -3 zal ook kleiner zijn dan -5. Deze misperceptie zal vlugger voorkomen
wanneer enkel getallen gebruikt worden zonder context.
Om het inzicht te bevorderen, is het belangrijk om te verwijzen naar de context. Hiervoor is de thermometer
ideaal. De ordening wordt vaak voorgesteld op een getallenas waarbij de negatieve getallen links worden
geplaatst. Om de getallenas te vormen, kan je je thermometer horizontaal leggen.
, 1.4.5. Verschil bepalen tussen 2 negatieve getallen
Je kunt de volgende richtvragen stellen:
▪ Hoeveel graden is het overdag? (2 graden)
▪ Hoeveel graden is het s’ nachts? (-3 graden)
▪ Wat is de warmste temperatuur? Hoe weet je dat? (2 graden want er staat geen – voor)
▪ Hoe groot is het verschil tussen deze 2 temperaturen? Kijk op de thermometer: van -3° naar 0° (3
graden), en van 0° naar 2° (2 graden). Samen is dat? (5 graden). Het is ’s nachts dus 5 graden kouder
dan overdag.
Je merkt dat het inzicht toeneemt wanneer je visueel blijft ondersteunen. Dankzij de geleidelijke opbouw en
de richtvragen, zien en horen de leerlingen jouw redenering. Alle leerlingen moeten de basisleerstof
beheersen, niet het geval? Laat extra basisoefeningen maken en houd de uitbreidingoefeningen bij de hand
voor de leerlingen die meer kunnen. (tempodifferentiatie)
1.4.6. Negatieve getallen oefenen in de klas
Weerkaarten bieden een gemotiveerde werkvorm met veel leerlingenactiviteit.
Zoek de hoogste/laagste temperatuur.
Zoek een plaats waar het kouder is dan -10°C, hoeveel kouder is dat?
Zoek een plaats waar het minstens 5 graden kouder is dan waar jij staat.
Je buur duidt een temperatuur aan, jij leest deze hardop voor
UITBREIDING:
Lees de temperatuur af in het Frans/Engels.
Ik wil verhuizen van land, wat trek ik aan als ik vertrek en welke kleren steek ik in mijn valies?
Ik wil op vakantie in een land waar het vriest: waar zal het koudst zijn?
Andere inspiratie: Liften in China/Japan hebben geen verdieping 4 omdat vier ‘dood’ betekent – In
Angelsaksische landen staat geen ‘-‘ in de lift, ze werken met G van groundfloor, B1 is below 1, …
1.4.7. Verwervingsstappen
STAP 1: Koppelen aan een betekenisvolle situatie en correcte verwoording/notatie
STAP 2: Vergelijken en bereken (negatieve-positieve getallen)
STAP 3: Negatieve getallen op een getallenas plaatsen (puur abstract)
Bv. van een thermometer naar een getallenas => verticaal naar horizontaal
Nadien kunnen de kinderen regelmatigheden gaan ontdekken (de sprongen en afstand zijn regelmatig)
!! Alleen wanneer je de getallen op een getallenas plaatst => NIET ALTIJD KANTELEN
Voorbeeld van inductief werken: ze gaan van een thermometer, bekend, naar een abstracte getallenas
1.5. Getallenverzameling
Alle getallen kunnen we ordenen in een getallenverzameling:
In de lagere school worden de begrippen ‘getallenverzameling’ en ‘rationale getallen’ … niet aangeleerd. Ze leren
wel over breuken en kommagetallen, niet de begrippen.
Natuurlijke getallen (N) Gehele getallen (Z)
Aantallen die je effectief kunt aanraken en tellen. De negatieve getallen zijn de natuurlijke getallen met
een negatief toestandsteken. Samen met de
De leerling bereidt zijn getalbegrip uit naar 10, dat is
natuurlijke getallen vormen ze de gehele getallen.
de aanzet tot het inzicht in ons 10delig talstelsel. Door
te groeperen weten ze de plaats van de cijfers in het Negatieve getallen worden enkel in zinvolle situaties
getal de waarde bepaalt. gebruikt, nooit abstract. Het minteken moet juist
geïnterpreteerd worden naargelang de context.
De koppeling tussen de verwoording, de voorstelling
en het cijfer is een oefening. Volgende stappen:
11 en 12 zijn speciaal omdat je de structuur niet kan - Vergelijken
afleiden van het woord zelf. - Berekenen
!! Werken met getal-kaarten kan helpen! Wanneer negatieve en positieve getallen
(oorspronkelijk van Montessorionderwijs) samenkomen, wordt het abstracter. Je kunt negatieve
getallen ordenen op een getallenas. Je ontdoet ze van
hun betekenisvolle situatie en behandelt ze als getal.
Rationale getallen (Q) Reële getallen (R)
