Wiskunde, theorie
Kansen, tellen, stochasten, stati sti ek en Exel
Hoofdstuk 1 (A4) systematisch tellen
Bij het oplossen van een telprobleem is het handig om een boomdiagram maken. Het geeft
je een overzicht van welke mogelijkheden en hoeveel mogelijkheden er zijn.
Zoek uit hoeveel keer je moet kiezen, dit wordt je aantal kolommen. Ze boven elke kolom
wat je kiest. Zet de keuzemogelijkheden bij de takken. Bij elk resultaat van de eerste keuze,
volgt eventueel een tweede keuze. Zoek uit hoeveel takken daarbij horen en zet de
keuzemogelijkheden erbij. Doe dit bij elke kolom. Als je het aantal keuzes bij elke kolom
vermenigvuldigt, krijg je het totaal aantal mogelijkheden (bijvoorbeeld kiezen uit 3 kleuren
en 2 merken 3 x 2 = 6 mogelijkheden).
Telproblemen vereisen een systematische aanpak en redenering .Als de
structuur van het boomdiagram regelmatig is, kun je het berekenen
zonder te tekenen. Anders moet je het wel tekenen of systematisch
opschrijven. Andere hulpmiddelen zijn wegendiagrammen en
schema’s.
Een boomdiagram waarbij bij elk keuzemoment het aantal takken gelijk is noem je een
machtsboom. Het totaal aantal volgordes/routes is een macht. 3 keuzemomenten van 2
keuzes 32. Bij een faculteitsboom heb je na elk keuzemoment 1 tak minder, omdat er
telkens een keuze vervalt. Het totaal aantal volgorden is bijvoorbeeld 3 x 2 x 1 = 6 = n!
5! : 4! = ??
Een ander woord voor volgorde of rangschikking is permutatie. Een permutatie van 3 uit 10
is een rangschikking van 3 dingen die je kiest uit een totaal van 10 verschillende dingen, dus
10 x 9 x 8 = 720. Een boomdiagram is een geschikt telmodel voor het aantal permutaties.
Bij telproblemen waarbij steeds gekozen moet worden uit 2 mogelijkheden is een rooster
een handig telmodel. Hoe bereken je het aantal kortste routes in een rooster? Noteer bij elk
punt dat maar op 1 manier te bereiken is het getal 1. Stel bij elk ander punt op wat de
voorgangers zijn en tel de bijbehorende aantallen daar bij op. Als je het aantal kortste routes
van A naar B vermenigvuldigt met het aantal kortste routes van B
naar C, weet je het aantal kortste routes van A naar C via B. Je kunt
namelijk elke route van A naar B combineren met elke route van B
naar C.
Deze driehoek van getallen is de driehoek van Pascal. De bovenste
rij met alleen het getal 1 is de nulde rij. Rij 1 bestaat uit een 1 en
een 1. Elke rij begint met het getal 1 en elk volgend getal is de som van de 2 getallen die
, erboven staan. De 7 getallen op rij 6 stellen van links naar rechts het aantal mogelijke
kortste routes voor van (0,0) naar (6,0), (5,1), (4,2), (3,3), (2,4), (1,5) en (0,6). Terugtellen!!! +
nog even oefenen Een ander woord voor een selectie is combinatie. Een combinatie is ook
op te vatten als een herhaalde keuze tussen 2 alternatieven, de volgorde is niet van belang.
Een combinatie van 3 uit 10 dingen betekent 3 wel, 7 niet. Oftewel 10 boven 3 of 10 boven
7. Een rooster is een geschikt model om dat aantal drietallen te berekenen, want het komt
overeen met de vraag: op hoeveel manieren kun je in een rooster 3 stappen naar rechts en 7
stappen omhoog doen. Het 4e getal op de 7e rij geeft het aantal kortste routes van (0,0) naar
(3,7).
Nog een voorbeeld: het aantal kortste routes van (0,0) naar (6,14) (want 6 wel en 14 niet) =
20 boven 6 = 20nCr6 (op de grafische rekenmachine MATH, PRB permutaties, faculteiten
en combinaties)
! De aanpak van een telprobleem
1. Ga na of je van een boomdiagram/wegendiagram/rooster/schema/tabel gebruik
kunt maken
Boomdiagram met faculteiten of machtsboom?
Keus tussen 2 alternatieven met vaste aantallen per alternatief rooster
2. Teken (een deel van) de boom/het rooster
3. Bereken het aantal mogelijkheden
Faculteiten bij faculteitsbomen
Machten bij machtsbomen
Combinaties bij roosters
Permutaties
Er zijn ook telproblemen waarbij je het aantal mogelijkheden vindt door de deelresultaten te
combineren, dus meerdere manieren vormen samen het antwoord. En = vermenigvuldigen,
of = optellen!
Hoofdstuk 3 (A4) Statistiek
Gegevens kun je op verschillende manieren in beeld brengen, bijvoorbeeld in een
cirkeldiagram (met sectoren, percentage en hoek kunnen uitrekenen), staafdiagram,
lijndiagram of een steelbladdiagram.
Frequenties kunnen absoluut (getelde aantal) en relatief (het getelde aantal in verhouding
tot het totale aantal, bijvoorbeeld een percentage). De waarneming van de grootste
frequentie is de modus. Van een rij waarnemingen die van klein naar groot staan is de
middelste de mediaan. Om het gemiddelde te berekenen vermenigvuldig je de gegeven
telkens met de frequentie en dat deel je door de som van de frequenties.
De statistieken van het CBS (Centraal Bureau voor Statistiek) verzamelen gegevens,
waardoor je de veranderingen in de loop van de jaren kunt analyseren. Statistiek is de naam
van het vakgebied dat zich bezig houdt met het verzamelen, ordenen, samenvatten en
Kansen, tellen, stochasten, stati sti ek en Exel
Hoofdstuk 1 (A4) systematisch tellen
Bij het oplossen van een telprobleem is het handig om een boomdiagram maken. Het geeft
je een overzicht van welke mogelijkheden en hoeveel mogelijkheden er zijn.
Zoek uit hoeveel keer je moet kiezen, dit wordt je aantal kolommen. Ze boven elke kolom
wat je kiest. Zet de keuzemogelijkheden bij de takken. Bij elk resultaat van de eerste keuze,
volgt eventueel een tweede keuze. Zoek uit hoeveel takken daarbij horen en zet de
keuzemogelijkheden erbij. Doe dit bij elke kolom. Als je het aantal keuzes bij elke kolom
vermenigvuldigt, krijg je het totaal aantal mogelijkheden (bijvoorbeeld kiezen uit 3 kleuren
en 2 merken 3 x 2 = 6 mogelijkheden).
Telproblemen vereisen een systematische aanpak en redenering .Als de
structuur van het boomdiagram regelmatig is, kun je het berekenen
zonder te tekenen. Anders moet je het wel tekenen of systematisch
opschrijven. Andere hulpmiddelen zijn wegendiagrammen en
schema’s.
Een boomdiagram waarbij bij elk keuzemoment het aantal takken gelijk is noem je een
machtsboom. Het totaal aantal volgordes/routes is een macht. 3 keuzemomenten van 2
keuzes 32. Bij een faculteitsboom heb je na elk keuzemoment 1 tak minder, omdat er
telkens een keuze vervalt. Het totaal aantal volgorden is bijvoorbeeld 3 x 2 x 1 = 6 = n!
5! : 4! = ??
Een ander woord voor volgorde of rangschikking is permutatie. Een permutatie van 3 uit 10
is een rangschikking van 3 dingen die je kiest uit een totaal van 10 verschillende dingen, dus
10 x 9 x 8 = 720. Een boomdiagram is een geschikt telmodel voor het aantal permutaties.
Bij telproblemen waarbij steeds gekozen moet worden uit 2 mogelijkheden is een rooster
een handig telmodel. Hoe bereken je het aantal kortste routes in een rooster? Noteer bij elk
punt dat maar op 1 manier te bereiken is het getal 1. Stel bij elk ander punt op wat de
voorgangers zijn en tel de bijbehorende aantallen daar bij op. Als je het aantal kortste routes
van A naar B vermenigvuldigt met het aantal kortste routes van B
naar C, weet je het aantal kortste routes van A naar C via B. Je kunt
namelijk elke route van A naar B combineren met elke route van B
naar C.
Deze driehoek van getallen is de driehoek van Pascal. De bovenste
rij met alleen het getal 1 is de nulde rij. Rij 1 bestaat uit een 1 en
een 1. Elke rij begint met het getal 1 en elk volgend getal is de som van de 2 getallen die
, erboven staan. De 7 getallen op rij 6 stellen van links naar rechts het aantal mogelijke
kortste routes voor van (0,0) naar (6,0), (5,1), (4,2), (3,3), (2,4), (1,5) en (0,6). Terugtellen!!! +
nog even oefenen Een ander woord voor een selectie is combinatie. Een combinatie is ook
op te vatten als een herhaalde keuze tussen 2 alternatieven, de volgorde is niet van belang.
Een combinatie van 3 uit 10 dingen betekent 3 wel, 7 niet. Oftewel 10 boven 3 of 10 boven
7. Een rooster is een geschikt model om dat aantal drietallen te berekenen, want het komt
overeen met de vraag: op hoeveel manieren kun je in een rooster 3 stappen naar rechts en 7
stappen omhoog doen. Het 4e getal op de 7e rij geeft het aantal kortste routes van (0,0) naar
(3,7).
Nog een voorbeeld: het aantal kortste routes van (0,0) naar (6,14) (want 6 wel en 14 niet) =
20 boven 6 = 20nCr6 (op de grafische rekenmachine MATH, PRB permutaties, faculteiten
en combinaties)
! De aanpak van een telprobleem
1. Ga na of je van een boomdiagram/wegendiagram/rooster/schema/tabel gebruik
kunt maken
Boomdiagram met faculteiten of machtsboom?
Keus tussen 2 alternatieven met vaste aantallen per alternatief rooster
2. Teken (een deel van) de boom/het rooster
3. Bereken het aantal mogelijkheden
Faculteiten bij faculteitsbomen
Machten bij machtsbomen
Combinaties bij roosters
Permutaties
Er zijn ook telproblemen waarbij je het aantal mogelijkheden vindt door de deelresultaten te
combineren, dus meerdere manieren vormen samen het antwoord. En = vermenigvuldigen,
of = optellen!
Hoofdstuk 3 (A4) Statistiek
Gegevens kun je op verschillende manieren in beeld brengen, bijvoorbeeld in een
cirkeldiagram (met sectoren, percentage en hoek kunnen uitrekenen), staafdiagram,
lijndiagram of een steelbladdiagram.
Frequenties kunnen absoluut (getelde aantal) en relatief (het getelde aantal in verhouding
tot het totale aantal, bijvoorbeeld een percentage). De waarneming van de grootste
frequentie is de modus. Van een rij waarnemingen die van klein naar groot staan is de
middelste de mediaan. Om het gemiddelde te berekenen vermenigvuldig je de gegeven
telkens met de frequentie en dat deel je door de som van de frequenties.
De statistieken van het CBS (Centraal Bureau voor Statistiek) verzamelen gegevens,
waardoor je de veranderingen in de loop van de jaren kunt analyseren. Statistiek is de naam
van het vakgebied dat zich bezig houdt met het verzamelen, ordenen, samenvatten en
